2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）若，则的最小值为　　
A．2 B．3 C． D．
2．（5分）已知，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）等比数列中，，则等于　　
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（5分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　
A． B． C．或 D．
5．（5分）已知等差数列，其前项的和为，，则　　
A．24 B．36 C．48 D．64
6．（5分）如果关于的不等式的解集是，那么等于　　
A． B．9 C． D．
7．（5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与的值分别为　　
A． 369 B． 369 C． 360 D． 365
8．（5分）已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）下列函数中，最小值是的有　　
A． B．
C． D．
10．（5分）若存在，，使得成立是假命题，则实数可能取的值是　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知等差数列，其前项的和为，则下列结论正确的是　　
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．若，，则
D．若，，则
12．（5分）已知数列，下列结论正确的有　　
A．若，，则．
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“，”的否定是　　．
14．（5分）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为　　．
15．（5分）已知数列，分别是等差数列，的前项和，且，那么　　．
16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测试点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度（假设车辆以相同的速度行驶，单位：米秒）、平均车长（单位：米）的值有关，其公式为．
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为　　辆小时；
（2）如果限定车型，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加　　辆小时．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）给出下列三个条件：
①，，成等差数列；②；③对于，点均在函数的图象上，其中为常数．
请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解．
设是一个公比为的等比数列，且它的首项，_____（填所选条件序号）．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求．
19．（12分）设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，，恒成立，求的取值范围．
20．（12分）已知数列是公差不为零的等差数列，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
22．（12分）设数列的前项和为，对任意的满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）若，则的最小值为　　
A．2 B．3 C． D．
【分析】利用基本不等式可知，从而可求最小值．
【解答】解：，
（当且仅当即时取等号），
故的最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式性质的应用，属于基础题．
2．（5分）已知，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由“” “”，反之不成立，即可判断出关系．
【解答】解：由“” “”，反之不成立，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）等比数列中，，则等于　　
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由是、的等比中项，求得
【解答】解：
故选：．
【点评】本题主要考查等比中项．
4．（5分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　
A． B． C．或 D．
【分析】不等式的解集为，△，列出不等式求解即可．
【解答】解：不等式的解集为，
则△，
解得，
实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
5．（5分）已知等差数列，其前项的和为，，则　　
A．24 B．36 C．48 D．64
【分析】由等差数列的通项公式得，解得，从而，由此能求出结果．
【解答】解：等差数列的前项和为，且，
，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
6．（5分）如果关于的不等式的解集是，那么等于　　
A． B．9 C． D．
【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系求出、的值，再计算的值．
【解答】解：不等式可化为
，
其解集是，
那么，由根与系数的关系得：，
解得，；
所以．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题，是基础题目．
7．（5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与的值分别为　　
A． 369 B． 369 C． 360 D． 365
【分析】设“衰分比”为，甲衰分得石，由题意列出方程组，由此能求出结果．
【解答】解：设“衰分比”为，甲衰分得石，
由题意得，
解得，，．
故选：．
【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
8．（5分）已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】先根据等比数列的性质和通项公式求出首项和公比，再根据指数幂的运算求出，利用“乘1”法，根据基本不等式即可求出．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
正项等比数列，
，
，
，
，
，
，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的性质和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）下列函数中，最小值是的有　　
A． B．
C． D．
【分析】利用基本不等式逐项求解即可，需要注意取等的条件．
【解答】解：对于，当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，即错误；
对于，，当且仅当时等号成立，即正确；
对于，令，则在，上单调递增，所以，即错误；
对于，，当且仅当时等号成立，即正确．
故选：．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
10．（5分）若存在，，使得成立是假命题，则实数可能取的值是　　
A． B． C． D．
【分析】若“，，使得成立”是假命题，即“，，使得成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出，时，的最值，可得实数的取值范围．
【解答】解：若“，，使得成立”是假命题，
即“，，使得成立”是假命题，
由，，当时，函数取最小值，
故实数的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档．
11．（5分）已知等差数列，其前项的和为，则下列结论正确的是　　
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．若，，则
D．若，，则
【分析】根据等差数列定义判断，根据等比数列的定义判断，根据通项公式判断，根据求和公式判断．
【解答】解：设等差数列的公差为，
对于，则，则，
故数列为等差数列，故正确；
对于，则数列为等比数列，故正确；
对于，，
，则，，则，故正确；
对于，，
，
解得，，
，
故不正确；
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式以及等比数列的定义，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
12．（5分）已知数列，下列结论正确的有　　
A．若，，则．
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，，则
【分析】直接利用叠加法求出的结果，直接利用构造新数列判断的结论，直接利用前项和的关系式判断的结论．
【解答】解：对于，，
所以，，，，
所有的式子相加得：，
所以，
故，故正确．
对于，，所以，整理得（常数），
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列．
则，所以，
所以，故正确；
对于：由于①，当时，，当时，于②，
①②得：（首项不符合通项），
故数列不是等比数列，故错误；
对于，，所以，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．故错误．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，叠加法，构造新数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“，”的否定是　　．
【分析】根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在；
【解答】解：命题“，”
“任意”的否定为“存在”
命题的否定为：，
故答案为：
【点评】此题主要考查命题的否定规则，是一道基础题，注意常见的否定词；
14．（5分）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为　，　．
【分析】根据等比数列的通项公式先求出，问题得以解决．
【解答】解：是正项等比数列，且，，
则，
即，
解得，（舍去），
，
故答案为：，．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
15．（5分）已知数列，分别是等差数列，的前项和，且，那么　　．
【分析】利用等差数列的性质可得：，代入即可得出．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测试点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度（假设车辆以相同的速度行驶，单位：米秒）、平均车长（单位：米）的值有关，其公式为．
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为　1425　辆小时；
（2）如果限定车型，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加　　辆小时．
【分析】（1）把代入中，分子分母同时除以，再利用基本不等式即可求出的最大值．
（2）把代入中，分子分母同时除以，再利用基本不等式即可求出的最大值，再与（1）的最大车流量相减即可求出结果．
【解答】解：（1）由题意可知，
，当且仅当即时，等号成立，
，即最大车流量为1425辆小时．
（2）当时，，
，当且仅当即时，等号成立，
，即最大车流量为1500辆小时，
（辆，
故答案为：（1）1425，（2）75．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）分别解出不等式，，利用交集运算性质可得：．
（2）根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，，，（2分）
时，或，（4分）
或．（5分）
（2）或，
是的充分不必要条件
所以是的真子集，（8分）
所以，或，
所以，或．（10分）
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）给出下列三个条件：
①，，成等差数列；②；③对于，点均在函数的图象上，其中为常数．
请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解．
设是一个公比为的等比数列，且它的首项，_____（填所选条件序号）．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求．
【分析】（1）直接利用已知条件的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：若选①：因为，，成等差数列，
所以．
又因为数列是等比数列，
即，
解得或（舍去），
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式．
若选②：，因为是公比为的等比数列，
所以，
即解得或（舍去），
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
若选③：点均在函数的图象上，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，．
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）证明：因为，所以
所以，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19．（12分）设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）不等式可化为，讨论与2的大小，即可写出不等式的解集．
（2）不等式恒成立，等价于，时恒成立；利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）不等式，即为，
可化为；
当时，解不等式得，
所以不等式的解集为；
当时，原不等式为，
所以该不等式的解集为；
当时，解不等式得，
所以不等式的解集为．
（2）由题意，当，时，恒成立，
即，时，恒成立．
由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，
所以；
所以实数的取值范围是．
【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
20．（12分）已知数列是公差不为零的等差数列，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）由已知结合等比数列的性质列式求得等差数列的公差，进一步可得数列的通项公式；
（2）把（1）中求得的数列的通项公式代入求得，再由错位相减法求数列的前项和．
【解答】解：（1）设数列的公差为，
，，成等比数列且，，
即，，解得，
则；
（2）由（1）得，则，
，
，
，
两式作差可得：
，
从而得．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题．
21．（12分）某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
【分析】（1）由题意知每件产品的销售价格为，根据利润销售收入产品成本年促销费用，即可得到利润万元表示为年促销费用万元的函数．
（2）分情况讨论，当时利用基本不等式求出的最大值，当时利用定义法得到函数在，上单调递增，进而求出函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为，
所以，，
所以．
（2）①当时，
由
当且仅当，即时取等号．又，
当时，有最大值，
②当时，令
在，上任取，，且，
则，
，
，，，，，，
，
是，上的增函数，
所以时，有最大值，
综上所述：当时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；
当时，该服装厂2020年的促销费用投入万元时，利润最大．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，考查了定义法证明函数的单调性，是中档题．
22．（12分）设数列的前项和为，对任意的满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用和等比数列的的定义和性质的应用求出数列的通行公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）因为，①
所以当时，．　②
①②得，
即．
由于，则
所以，
当时，有，
又当时，由及，得，
所以数列是等差数列，
其通项公式为．
综上，数列的通项公式为．
（2）由（1）知，所以
为偶数时
．
为奇数时

．
综上所述：为偶数时，．
为奇数时，．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:39:26；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394