2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于　　
A．186 B．90 C．45 D．30
2．（5分）下列函数的最小值为2的是　　
A． B．
C． D．
3．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　
A．174 B．184 C．188 D．160
4．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
5．（5分）记为数列的前项和，且，则的值为　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值不可能的是　　
A． B．1 C．2 D．
7．（5分）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．（5分）设是等差数列，下列结论中正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是　　
A．至少有一个实数，使 B．所有正方形都是矩形
C． D．，
10．（5分）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为　　

A． B． C． D．
11．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则下列说法正确的是　　
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为
D．此数列的前项和为
12．（5分）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，则下列结论成立的是　　
A．数列的前10项和为100
B．若，，成等比数列，则
C．若，则的最小值为6
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）命题“，”的否定是　　．
14．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　．
15．（5分）对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．
16．（5分）已知数列的前项和为，，且，，记，若对恒成立，则的最小值为　　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）命题：实数满足（其中，命题：实数满足．
（1）若，且命题、均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数，．
（1）若，试求函数的最小值；
（2）不等式对于任意，恒成立，试求的取值范围．
19．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，　　．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列的前项和．
20．（12分）已知函数，．
（1）若关于的不等式在有解，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
21．（12分）某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园，公园由三个相同的矩形休闲区（如图空白部分所示）和公园人行道组成（如图阴影部分所示）．已知口袋公园占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米．
（1）若设口袋公园的长米，试求休闲区所占地总面积关于的函数的解析式；
（2）要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园的长和宽如何设计？

22．（12分）已知数列的各项均为正数，其前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于　　
A．186 B．90 C．45 D．30
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于，的方程组，解出，，可得，进而得到，然后利用前项和公式求解即可．
【解答】解：设的公差为，首项为，
由题意得，解得；
，
，且，公差为6，
．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
2．（5分）下列函数的最小值为2的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据基本不等式的性质，结合三角函数的性质以及二次根式的性质判断即可．
【解答】解：①对于时，，当且仅当时“”成立，
时，，当且仅当时“”成立，
故错误；
②对于，由得：，但，取不到“”，
故错误；
③对于，，
当且仅当即时“”成立，
显然“”不成立，故错误；
④对于，当且仅当：时“”成立，
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，利用性质时，注意其性质满足的条件，是一道基础题．
3．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　
A．174 B．184 C．188 D．160
【分析】设此数列为，可得：，，，，．利用即可得出．
【解答】解：设此数列为，可得：，，，，．
．
．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】设矩形的高为，由三角形相似可得，且，，，再由，得，代入得到关于的二次不等式，解此不等式即可得出答案．
【解答】解：设矩形的高为，由三角形相似得：
，且，，，
由，得，
，
解得．
故选：．
【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．
5．（5分）记为数列的前项和，且，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】本题根据题意可应用公式进行计算即可判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式计算出的值．
【解答】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的判定，以及等比数列求和公式的运用，考查化归思想，分类讨论思想，定义法，以及逻辑思维能力和数学运算能力，题属中档题．
6．（5分）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值不可能的是　　
A． B．1 C．2 D．
【分析】根据条件得到的范围，进而得到的范围，再根据是的充分不必要条件判断的取值范围即可．
【解答】解：因为，条件，所以对应的集合为；
当时，
此时是的充分不必要条件，故恒成立，
故，
故选：．
【点评】本题考查不等式与命题之间的关系，属于基础题．
7．（5分）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】利用不等式的基本性质，逐一分析即可．
【解答】解：若，，则，所以不正确；
若，，可得，即，所以正确；
反例，，，，满足，，但，所以不正确；
反例，，，，满足，，但结，所以不正确，
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，属于基础题．
8．（5分）设是等差数列，下列结论中正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若，则，，时，结论成立，即不正确；
若，则，，时，结论成立，即不正确；
是等差数列，，，，即正确；
若，则，即不正确．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是　　
A．至少有一个实数，使 B．所有正方形都是矩形
C． D．，
【分析】直接利用存在性问题的应用和恒成立问题的应用及命题真假的判定的应用求出结果．
【解答】解：对于：当时，，故选项正确．
对于：所有的正方形为矩形，为全称命题，故选项错误．
对于，故选项正确．
对于，为假命题，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题，真假命题的判断，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．（5分）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为　　

A． B． C． D．
【分析】二次函数图象是抛物线，根据抛物线的性质可以得到系数、、的关系．
【解答】解：由抛物线的开口向下知，
与轴的交点在轴的正半轴上得；
因为二次函数的图象与轴有2个不同交点，
所以，△，
因此选项正确；
因为对称轴为，
所以，，即，，
因此不正确；
又因为图象过点，且对称轴为，
所以，图象与轴的另一个交点是；
把点代入解析式得：，
故选项不正确；
把，代入解析式得：，和，
两式相加并整理得：，即，，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象抛物线的性质．属于简单题目．
11．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则下列说法正确的是　　
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为
D．此数列的前项和为
【分析】根据题中给出的数列的前10项进行观察，可以得到偶数项通项公式，再分析奇数项，可得奇数项是后一项减去后一项的项数，从而得到奇数项求解公式，然后对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：因为数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
观察此数列，偶数项通项公式为，
奇数项是后一项减去后一项的项数，
所以，
由此可得，故选项正确；
，故选项错误；
偶数项通项公式为，故选项正确；
是一个等差数列的前项和，
而题中的数列不是等差数列，不可能有前项和为，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是数列的应用，主要考查了如何研究一个新数列，解题的关键是分析数列的项，得到数列项之间的关系，从而确定数列的通项公式．
12．（5分）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，则下列结论成立的是　　
A．数列的前10项和为100
B．若，，成等比数列，则
C．若，则的最小值为6
D．若，则的最小值为
【分析】先由题设求得与，再逐个选项判断正误即可．
【解答】解：由题设可得：，，
，数列的前10项和为，故选项正确；
又若，，成等比数列，则，即，解得，故选项正确；
，
，
由可得：，故选项错误；
又，由等差数列的性质知：，，，
，当且仅当时取“ “，等号取不到，即，故选项错误，
故选：．
【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及性质、裂项相消法在数列求和中的应用、基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）命题“，”的否定是　，　．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　．
【分析】由，，利用基本不等式的性质即可求得的最小值．
【解答】解：，
，，
，
当且仅当时，取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
15．（5分）对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．
【分析】设，，，由题意可得，且（2），解不等式可得所求范围．
【解答】解：任意，，不等式恒成立，
设，，，
可得，
即，即有，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知数列的前项和为，，且，，记，若对恒成立，则的最小值为　　．
【分析】推导出，从，进而是首项为1，公差为的等差数列，由此得到，由此利用裂项求和法能求出的最小值．
【解答】解：数列的前项和为，，且，，


，
，
是首项为1，公差为的等差数列，
，，
，
，
对恒成立，
，
或时，有最大值，，
的最小值为．
故答案为：．
【点评】裂项相减法是最难把握的求和法之一，其原因是有时很验证找到裂项的方向，突破这一难点的方程是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，要注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果出错．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）命题：实数满足（其中，命题：实数满足．
（1）若，且命题、均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出时，为真时的实数的取值范围，以及为真时实数的取值范围；
从而求得、均为真命题时实数的取值范围；
（2）根据是的充分不必要条件时列不等式组求出的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
又，所以；
当时，，即为真时，实数的取值范围是；
由，得，
解得，
即为真时，实数的取值范围是；
则、均为真命题时，实数的取值范围是；
（2）由（1）知，，
；
当是的充分不必要条件时，；
解得，
所以实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
18．（12分）已知函数，．
（1）若，试求函数的最小值；
（2）不等式对于任意，恒成立，试求的取值范围．
【分析】（1）由题意求得，，运用基本不等式可得所求最小值；
（2）由题意可得，求得的对称轴，对讨论，结合函数的单调性，可得的最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）依题意得，
因为，所以．当且仅当时，即时，等号成立．
所以，
所以当时，的最小值为；
（2）在，上恒成立，则，
函数的对称轴为，
①时，在，递减，可得（2），无解；
②时，在，递增，可得，则；
③时，（a），解得．
综上可得，．
【点评】本题考查函数的最值求法和函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，　，　．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列的前项和．
【分析】选择②，；（1）设，，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：
选择①
（1），，，，，
解得或（舍去），
，，，
（2），，
，
，
，
．

选择②，；
（1）设，，由，，可得，，
又，解得，，
可得；；
（2），
前项和，
，
两式相减可得，
，
化简可得．

选择③，，，，，
，
解得或（舍去），，．
（2），
，
，
，
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数，．
（1）若关于的不等式在有解，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【分析】（1）原问题可等价于在有解，参变分离后，即，再利用基本不等式求出的最小值即可；
（2）不等式可等价于且，再分、、、和五种情况讨论的取值范围即可．
【解答】解：（1）在有解，即在有解，
，即，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
故的取值范围是，．
（2），即且，
①当时，不等式化为且，；
②当时，或；
③当时，；
④当时，不等式化为且，无解；
⑤当时，．
综上所述，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为或；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为；
⑤当时，不等式的解集为．
【点评】本题考查分式不等式和含参一元二次不等式的解法，还涉及基本不等式的性质、参变分离法等，考查学生的分类讨论思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园，公园由三个相同的矩形休闲区（如图空白部分所示）和公园人行道组成（如图阴影部分所示）．已知口袋公园占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米．
（1）若设口袋公园的长米，试求休闲区所占地总面积关于的函数的解析式；
（2）要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园的长和宽如何设计？

【分析】（1）由题意可知：，，再用表示出每个空白小矩形的长和宽，从而得到休闲区所占地总面积关于的函数的解析式；
（2）由（1）可知，再利用基本不等式即可求出的最大值，以及此时的值．
【解答】解：（1）由题意可知：，，
每个空白小矩形的长为，宽为，
休闲区所占地总面积，
由，解得，
函数，其中．
（2），当且仅当即时，等号成立，
此时，
所以口袋公园的长和宽分别为60米和15米时，休闲区占地总面积最大．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
22．（12分）已知数列的各项均为正数，其前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和．
【分析】先由题设条件整理得到与，从而说明数列是等差数列，求得；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求出，再求数列的前项和，再由“优化数”的定义求得区间内所有“优化数”的和．
【解答】解：由数列的前项和．知：当时，有，又，；
当，整理得：，
因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列，
．
由知：，
所以数列的前项和为
．
令，则有，
由，知：且
所以区间内所有“优化数”的和为
．
【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及根据“优化数”的定义求数列和的问题，属于一道有一定难度的题．
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日期：2021/2/23 14:37:43；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394