2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
2．（5分）已知，则“且”是“曲线为椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）在正项等比数列中，若，，依次成等差数列，则的公比为　　
A．2 B． C．3 D．
4．（5分）已知等差数列中，，，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是　　
A． B． C． D．3
7．（5分）为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的，两点为平行四边形一组相对的顶点，当平行四边形的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为　　

A．6 B．12 C．18 D．24
8．（5分）已知正项数列的前项和为，，且．若对于任意实数，．不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，， C．，， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是　　
A． B． C． D．0
10．（5分）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是　　
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
11．（5分）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是　　
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．数列中
D．数列的前项和为
12．（5分）已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，，，两点，则下列说法一定正确的是　　
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知命题，，，且是真命题，则实数的取值范围是　　．
14．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？” “钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为　　钱．
15．（5分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为　　．
16．（5分）设二次函数，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，，其中．
（1）若，且和均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知数列为等比数列，，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20．（12分）已知抛物线的顶点为，焦点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于、两点．若直线、分别交直线于、两点，求的最小值．

21．（12分）设数列的前项和为，且满足，，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，若数列是递增数列，求实数的取值范围．
22．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求的值；
（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．


2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，
命题“，”的否定是：，．
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（5分）已知，则“且”是“曲线为椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的根据．
【解答】解：当时，表示半径为1的圆，即充分性不成立，
若为椭圆，则，且且，即必要性成立，
故“且”是“曲线为椭圆”必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用椭圆的定义和方程是解决本题的关键．
3．（5分）在正项等比数列中，若，，依次成等差数列，则的公比为　　
A．2 B． C．3 D．
【分析】正项等比数列的公比设为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比．
【解答】解：正项等比数列的公比设为，，
，，依次成等差数列，可得，
即有，
化为，解得舍去），
则的公比为2，
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．（5分）已知等差数列中，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】求得．利用，再累加求和即可．
【解答】解：等差数列中，，，所以公差，可得．
，
则．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的性质、裂项求和，属于中档题．
5．（5分）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【分析】先求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出，的值，可得双曲线的方程．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，
则直线的方程为，
双曲线的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，
，，
双曲线的方程为，
故选：．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
6．（5分）已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是　　
A． B． C． D．3
【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．
【解答】解：是不等式的解集，
，是方程的两个实数根且，
，，
；且，；

，
当且仅当时“”成立；
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，考查了不等式的解集与对应方程之间的关系，是综合性题目．
7．（5分）为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的，两点为平行四边形一组相对的顶点，当平行四边形的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为　　

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】由题意可得出，在三角形中，使用余弦定理可得的关系式，再利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的最大值，进而求解．
【解答】解：设，，则由已知可得，在中，，
由余弦定理可得：，
当且仅当时等号成立，此时，，所以，
所以四边形的最大面积为，此时四边形是边长为5的菱形，
故选：．
【点评】本题考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知正项数列的前项和为，，且．若对于任意实数，．不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，， C．，， D．，
【分析】根据与的关系，求得的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得取值范围．
【解答】解：由，
当时，．解得，
当时，，两式相减得，整理得，
由，所以，所以，
所以数列是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，
所以，
因此原不等式转化为对于任意的，，恒成立，
化为：，
设（a），，，
可得（2）且，
即有，即，
可得或，
则实数的取值范围是，，．
故选：．
【点评】本题考查数列与不等式的关系，考查与的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，考查转化思想，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是　　
A． B． C． D．0
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【解答】解：由得或，
“”是“”的必要不充分条件，
则，
即实数的取值范围是，，
则可以为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．
10．（5分）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是　　
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
【分析】在项中，，且，解得，此时不等式为，解得，即可判断项错误；
在项中，取，，即可判断项正确；
在项中，依题意可得，且，即可判断项正确．
在选中，取特殊值，令，即可判断选错误；
【解答】解：在项中，依题意可得，且，解得，此时不等式为，解得，故项错误；
在项中，取，，可得，解集为，故项正确；
在项中，依题意可得，且，解得，符合题意，故项正确．
在选中，当时，，可得其解集不为，故选错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（5分）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是　　
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．数列中
D．数列的前项和为
【分析】直接利用关系式的变换和数列的递推关系式的应用判定、、、的结论．
【解答】解：首项为1的数列的前项和为，已知，
对于选项：已知①，当时，②，
①②得：，整理得，
所以（常数），
所以数列是从第二项起为以2为首项、2为公比的等比数列，故选项错误；
由时，，可得，
所以，
则，，
故，故选项正确；
由于，
所以，即（常数），
所以数列为等比数列，故选项正确．
由于数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，则：，
则数列的前项和为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12．（5分）已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，，，两点，则下列说法一定正确的是　　
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
【分析】根据抛物线的性质和定义即可判断，根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断．
【解答】解：抛物线，焦点为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以的最小值为，故不正确，
如图：设线段的中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可得，，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；
设直线所在的直线方程为，
由，消去可得，
所以，，
所以，故正确；
所以，故正确．
故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知命题，，，且是真命题，则实数的取值范围是　，，　．
【分析】转化为二次函数恒成立问题即可求解．
【解答】解：，，恒成立，
，
或，
故答案为：，，．
【点评】本题考查复合命题真假的关系，参数取值范围，考查转化、逻辑推理、计算能力．
14．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？” “钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为　　钱．
【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，由题意求得，结合求得，则答案可求．
【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，
则由题意可知，，即，
又，，
则．
故答案是：．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
15．（5分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为　　．
【分析】设，，运用双曲线的定义和勾股定理、以及矩形的周长和面积公式，化简可得，的关系，进而得到所求离心率．
【解答】解：设，，
由双曲线的定义可得，①
由，，
可得四边形为平行四边形，
由直径所对的圆周角为直角，可得
四边形为矩形，
即有，②
，，
可得，③
由①②③可得，
即为，
可得．
故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查直径所对的圆周角为直角，以及勾股定理和化简运算能力，属于中档题．
16．（5分）设二次函数，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为　　．
【分析】由已知结合二次函数的性质，然后对已知不等式进行赋值可得，然后进行换元，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由的解集为，可得恒成立，
且△，
即，
令可得，即，
，
令，则，
，
当且仅当即时取等号，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及基本不等式的综合应用，属于中档试题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，，其中．
（1）若，且和均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
（2）根据充分不必要条件与不等式解集关系，建立不等式条件进行求解即可．
【解答】解：由得得，即，
由得，即，．
（1）若，此时，
若和均为真命题，，此时的取值范围是．
（2）若是的充分不必要条件，则成立反之不成立，则，
解得，即实数的取值范围是，．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合不等式和充分条件和必要条件的关系进行转化是解决本题的关键．难度中等．
18．（12分）已知数列为等比数列，，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）根据题意，设设等比数列的公比为，求出、的值，计算可得的值，由等比数列的通项公式分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论可得，由分组求和法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，
若，且，，
则，，
则其公比，
则，
故
（2）根据题意，由（1）的结论，则，
则

．
【点评】本题考查数列的求和，涉及等比数列的通项公式的计算，属于基础题．
19．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【分析】（1）根据年利润年销售量销售价格成本年促销费用即可列出与的函数关系；
（2）结合（1）中所得的函数关系和均值不等式即可得解．
【解答】解：（1）不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即时，，
，解得，，
．
（2）
，
当且仅当，即时，等号成立，
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线的顶点为，焦点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于、两点．若直线、分别交直线于、两点，求的最小值．

【分析】由抛物线的几何性质及题设条件焦点可直接求得，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
由题意，可，，，，直线的方程为，将直线方程与中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
【解答】解：由题意可设抛物线的方程为则，解得，故抛物线的方程为
设，，，，直线的方程为，
由消去，整理得，
所以，，从而有，
由解得点的横坐标为，
同理可得点的横坐标为，
所以，
令，，则，
当时，，
当时，．
综上所述，当，即时，的最小值是．
【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量，就起到了简化计算的作用．
21．（12分）设数列的前项和为，且满足，，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，若数列是递增数列，求实数的取值范围．
【分析】（1）由已知条件推导出，从而求出．．利用叠加法能求出．
（2）由．利用错位相减法求出，从而得到．
（3）由（1）知，由数列是递增数列，得到对恒成立，由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，，．
，即，．
两式相减：．
即，故有，
，，
．（2分）
，2，3，，．
得，，，，，3，．
将这个等式相加，得

．
又，，2，．（4分）
（2）证明：．
，①
，②
①②得：，

，2，3，．（8分）
．（9分）
（3）由（1）知，
由数列是递增数列，对，恒成立，
即
对恒成立，
即对恒成立，（11分）
当为奇数时，即恒成立，，（12分）
当为偶数时，即恒成立，，（13分）
综上实数的取值范围为．（14分）
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
22．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求的值；
（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．

【分析】（1）根据椭圆的性质和离心率公式即可求出，的值，即可求出，椭圆方程可得；
（2）设点，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理，根据三角形的面积，可得，的关系，解方程可得所求的值；
（3）由（2）求得的坐标，直线的方程，可得的坐标，可得，计算，化简整理，运用韦达定理，可得所求值．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为．
依题意可得，，解得，．
故．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点，，，．
若，则，即有，①
设直线的方程为，与椭圆方程，可得，
可得，，②
将①代入②可得，解得，
则；
（3）由（2）得
，，
所以直线的方程为，
令，得，即．
所以．
所以
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是难题．
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日期：2021/2/24 20:23:02；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394