2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题5分，共8题）
1．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
2．（5分）抛物线的准线方程为　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知等比数列满足，，则　　
A．64 B．81 C．128 D．243
4．（5分）在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
5．（5分）设为等差数列的前项和，若，则　　
A．56 B．66 C．77 D．78
6．（5分）在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，为的中点，则与所成角的大小为　　

A． B． C． D．
7．（5分）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为　　
A． B． C． D．9
8．（5分）已知是上的奇函数，，，则数列的通项公式为　　
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）
9．（5分）已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的　　
A．， B． C．， D．
10．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则　　
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
11．（5分）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有　　
A．当时，取最大值 B．当时，
C．当时， D．当时，
12．（5分）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面．以下命题正确的有　　

A．侧面上存在点，使得
B．直线与直线所成角可能为
C．平面与平面所成锐二面角的正切值为
D．设正方体棱长为1，则过点、、的平面截正方体所得的截面面积最大为
三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）
13．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．
14．（5分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为　　．

15．（5分）无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，则　　；　　．
16．（5分）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为　　．
四、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．
（1）若，，都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列是等比数列，且，其中，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记_____，求数列的前项和．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，．
（1）求点到面的距离；
（2）求二面角的正切值．

21．（12分）已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
22．（12分）已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点．当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）若直线上存在点满足，，成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．

2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共8题）
1．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是命题的否定，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）抛物线的准线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及的值，由抛物线的准线方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：，
则其标准方程为：，
其焦点在轴正半轴上，且，
则其准线方程为：；
故选：．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线变形为标准方程．
3．（5分）已知等比数列满足，，则　　
A．64 B．81 C．128 D．243
【分析】由，的关系求得，进而求得，再由等比数列通项公式求解．
【解答】解：由，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．
4．（5分）在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，证明在平面上的射影落在上，可得为直线与平面所成角，则答案可求．
【解答】解：如图，
在长方体中，平面平面，
平面平面，在平面内过作，
则平面，则为在平面内的射影．
，，，
则．
即直线与平面所成角的余弦值为．
故选：．

【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
5．（5分）设为等差数列的前项和，若，则　　
A．56 B．66 C．77 D．78
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：，，
，
．
则．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，为的中点，则与所成角的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】以为原点，在平面内，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以为原点，在平面内，过作的垂线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，，，，，，
，，，，，，
设与所成角的大小为，
则．
与所成角的大小为．
故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．（5分）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为　　
A． B． C． D．9
【分析】设直线方程为，联立方程组消元，设，，，，根据根与系数的关系计算，于是．
【解答】解：，设直线的方程为：，
联立方程组，消去可得，
设，，，，则，
线段的中点在直线上，，
，
．
故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
8．（5分）已知是上的奇函数，，，则数列的通项公式为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意首先确定函数的对称性，然后利用倒序相加的方法即可确定数列的通项公式．
【解答】解：由题意可知：，即：，
函数关于点 对称，
令，则，
得到，
，
，
以上两式相加可得，
即，
故选：．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，函数的对称性，倒序相加求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）
9．（5分）已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的　　
A．， B． C．， D．
【分析】命题，△，解得范围，进而得出结论．
【解答】解：命题，，△，解得：．
则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的：，，或．
故选：．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则　　
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【分析】由双曲线的方程可得，的值，求出准线方程与渐近线的方程可得正确答案．
【解答】解：由双曲线 的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，
所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，
因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．
故选：．
【点评】考查双曲线的性质，属于基础题．
11．（5分）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有　　
A．当时，取最大值 B．当时，
C．当时， D．当时，
【分析】由，利用等差数列的通项公式求出，由此利用等差数列的性质能求出结果．
【解答】解：，分别为等差数列的公差与前项和，，
，
解得，
，
当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值，故错误；
当时，，故正确；
当时，，故正确；
当时，，
，
当时，，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面．以下命题正确的有　　

A．侧面上存在点，使得
B．直线与直线所成角可能为
C．平面与平面所成锐二面角的正切值为
D．设正方体棱长为1，则过点、、的平面截正方体所得的截面面积最大为
【分析】：在平面内找到点证明垂直即可；
：找到与所成角的最大值进行验证即可；
：找到二面角的平面角，进而求出其正切值进行验证；
：找到截面面积大于，即可证明选项错误．
【解答】解：取中点，中点，连接，，，
易证，，
从而平面平面，
所以点的运动轨迹为线段，
取为中点，
因为△是等腰三角形，
所以，
又因为，
所以，
故正确；
设正方体棱长为，
当点与点或点重合时，直线与直线所成角最大，
此时，
所以错误；
平面平面，
取为中点，则，，
即为平面与平面所成的锐二面角，
，
所以正确；
当为与交点时，易知截面为菱形为中点），
因为正方体棱长为1，
所以，
此时截面面积可以为，
故错误．
故选：．

【点评】本题考查空间几何中二面角的平面角，线面垂直，线线所成角，及截面积求解的相关知识，属于中档题．
三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）
13．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　，　．
【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：命题“，”是假命题，
则命题，恒成立为真命题．
所以①当时，，恒成立，
②，即，解得，
故的范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查的知识要点：特称命题和全称命题，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
14．（5分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为　　．

【分析】因为侧面为等腰三角形，故取的中点有，因为底面是边长为2的正方形，取的中点，则，所以为二面角的平面角，再解即可．
【解答】解：取、的中点、，连接、、

为等腰三角形

又是正方形，则



为二面角的平面角


为等边三角形

即二面角为
故答案为：
【点评】本题考查二面角的求法和对正棱锥的认识，考查识图能力和运算能力．
15．（5分）无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，则　1　；　　．
【分析】直接利用数列的关系式和数列的周期的应用求出结果．
【解答】解：根据和谐递进数列：数列满足：只要，必有，
所以，，，，，，
由于，
所以，
所以数列满足1，，2，，，
数列的周期为3，
故，
则．
故答案为：1；．
【点评】本题考查的知识要点：数列的关系式，数列的周期，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16．（5分）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为　　．
【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由题意可得，再由椭圆与双曲线的定义列式可得，代入，再由基本不等式求最值．
【解答】解：由椭圆与双曲线的对称性，不妨令椭圆与双曲线的焦点在轴上，
如图，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由题意可知，，
又，，
，，
两式相减可得，

．
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题是椭圆与双曲线的综合题，考查椭圆与双曲线的几何性质，关键是圆锥曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．
（1）若，，都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】先分别求出命题，为真时对应的集合，取交集即可求出的范围；再根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）当时，解得，
解得，即，
所以当，都是真命题时，解得，
故实数的取值范围为；
（2）命题，因为是的充分不必要条件，
所以，，，
解得，故实数的取值范围为，．
【点评】本题主要考查由命题的真假求参数的取值范围以及集合间的基本关系与充分、必要条件的关系应用，属于基础题．
18．（12分）（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
【分析】（1）设所求双曲线方程为：，，代入点的坐标，求解双曲线方程即可．
（2）化简椭圆方程，推出的范围，结合离心率，求解即可．
【解答】解：（1）所求双曲线与双曲线有相同焦点，
设所求双曲线方程为：，，
双曲线过点，，
或．（舍
所求双曲线方程为．
（2）椭圆方程可化为，
因为，所以，
即，，，
由，得，解得，
所以．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列是等比数列，且，其中，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记_____，求数列的前项和．
【分析】（1）设数列的公比为，由题设条件求得，即可求得；
（2）若选择条件①，先由（1）和题设求得，再利用错位相减法求得其前项和即可．
若选择条件②，先由（1）和题设求得，再利用分组求和法求得其前项和即可．
若选择条件③，先由（1）和题设求得，再利用裂项相消法求得其前项和即可．
【解答】解：（1）设数列的公比为，，，成等差数列，
，
又，，即，
或（舍，
；
（2）由（1）知，
若选择条件①，则，
，
又，
两式相减得：，
整理得：．
若选择条件②，则，



．
若选择条件③，则，
．
【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法、分组求和法、裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，．
（1）求点到面的距离；
（2）求二面角的正切值．

【分析】（1）设点到平面的高为，利用，转化求解即可．
（2）取中点，连接，作垂直于，连接，说明为二面角的平面角，通过在中，求解二面角的正切值即可．
【解答】解：（1），，，
故，
则，
，，
平面，
，
，
设点到平面的高为，
由，
得，
即，
．
（2）如图所示，取中点，连接，
作垂直于，连接，
在中，，，
由（1）知平面，平面，
，
而，，平面，
平面，平面，
，
又，
，又，
平面，
为二面角的平面角，
，
，
在中，，
，
即二面角的正切值为．

【点评】本题考查空间点线面的距离的求法，二面角飞平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
21．（12分）已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）直接利用构造新数列的方法求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果，进一步利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．
【解答】（1）证明：因为数列满足，
所以，整理得，
即（常数）．
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，即．
所以．
当为偶数时，．
当为奇数时，．
当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；
当为奇数时，是递增的，此时，则．
综上，的取值范围是．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22．（12分）已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点．当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）若直线上存在点满足，，成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．
【分析】（Ⅰ）根据题意得：，，及，解得，，进而可得椭圆得方程．
（Ⅱ）分两种情况：当直线与轴重合时，，不合题意．当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，，由，得，组成方程组解得，进而可得直线得方程．
（Ⅲ）设，，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，所以点在定直线上．
【解答】解：（Ⅰ）由题设：，，解得，，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线与轴重合时，，不合题意．
当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，，
联立，消去整理得，
有①，
②，
由，得③，
联立①②③得，解得．
所以直线的方程为．
（Ⅲ）设，
当直线与轴重合时，因为点在椭圆外，所以，同号，
由，得，解得，
当直线与轴不重合时，由（Ⅱ）知，，
因为，，，
因为点在椭圆外，所以，同号，
由，得，解得，
整理得，即，
解得，代入直线方程，得，
所以点在定直线上．
【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．
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日期：2021/2/23 14:37:24；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394