2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
2．（5分）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若点，在角的终边上，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）设等比数列中，每项均为正数，且，等于　　
A．5 B．10 C．20 D．40
5．（5分）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，，为底面半径，且，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为　　

A． B． C． D．
6．（5分）过抛物线的焦点且垂直于轴的直线被双曲线所截得线段长度为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是　　

A．1 B． C． D．
8．（5分）若都有成立，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．

则下列关于甲，乙两省新增确诊人数的说法，正确的是　　
A．甲省的平均数比乙省低 B．甲省的方差比乙省大
C．甲省的中位数是27 D．乙省的极差是12
10．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，则　　
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为的奇函数
D．函数的递减区间为
11．（5分）设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有　　
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
12．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是　　
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某校高二年级期末测试所有学生的数学成绩，且，若该校高二年级共有学生1000人，则本次测试成绩高于120分的学生人数约为　　．
14．（5分）展开式中的常数项是　　．（用数字作答）
15．（5分）已知直线与直线相交于点，点是上的动点，则的最大值为 　　．
16．（5分）在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 　　；则三棱锥的内切球的半径为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式，
（2）设，为数列的前项和，记，求．
18．（12分）已知中，角、、的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
19．（12分）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中组合：物理、化学、生物，组合：历史、政治、地理，组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择组合的概率为，选择组合的概率为，选择组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．
（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；
（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．
20．（12分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率，上顶点是，左、右焦点分别是，，若椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标．
22．（12分）设函数．
（1）若，有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的最大值．

2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
【分析】因为，所以将代入，得到的代数形式，即可求其共轭复数．
【解答】解：，
所以的共轭复数为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，复数的代数形式以及共轭复数．属于基础题．
2．（5分）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：若“”则：，；当且大于0时；“方程表示焦点在轴上的椭圆”，当时；方程表示焦点在轴上的双曲线”，故“”推不出“方程表示焦点在轴上的双曲线”．
若“方程表示焦点在轴上的双曲线”则“且”即，则能推出：．
由充分条件和必要条件的判断”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
3．（5分）若点，在角的终边上，则　　
A． B． C． D．
【分析】由点的坐标求得点到坐标原点的距离，再由任意角的三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求．
【解答】解：点，，在角的终边上，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式，是基础题．
4．（5分）设等比数列中，每项均为正数，且，等于　　
A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为，再把已知的条件代入运算求得结果．
【解答】解：等比数列中，每项均为正数，且，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，对数的运算性质的应用，把要求的式子化为，是解题的关键，属于中档题．
5．（5分）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，，为底面半径，且，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为　　

A． B． C． D．
【分析】求出母线长，画出侧面展开图，通过扇形图形，结合三角形求解即可．
【解答】解：由题意，在底面半径为1，高为的圆锥中，
是底面圆心，为圆锥顶点，圆锥的侧面展开图是半圆，如图，
，是底面圆周上的两点，，
所以在展开图中，，母线长为：，为母线的中点，
所以，
所以从到的最短路径的长是．
故选：．

【点评】本题考查圆锥表面距离最短的求法，侧面展开图的应用，三角形的解法，是基础题．
6．（5分）过抛物线的焦点且垂直于轴的直线被双曲线所截得线段长度为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解弦长，求解，然后求解离心率即可．
【解答】解：抛物线的焦点，，
过抛物线的焦点且垂直于轴的直线被双曲线所截得线段长度为，
可得，解得，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题．
7．（5分）如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是　　

A．1 B． C． D．
【分析】由题意把转化为含有的代数式，再求出的最小值，则答案可求．
【解答】解：，
当为中点时，，
则的最小值为：．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
8．（5分）若都有成立，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
【分析】根据题意，分析可得，设，，则在，函数为增函数；求出函数的导数，分析可得函数的递增区间，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若，
，
设，，
则在，函数为增函数，
对于，其导数，
若，解可得，
即函数的递增区间为；
若都有成立，即在，函数为增函数，
则的最大值为1；
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．

则下列关于甲，乙两省新增确诊人数的说法，正确的是　　
A．甲省的平均数比乙省低 B．甲省的方差比乙省大
C．甲省的中位数是27 D．乙省的极差是12
【分析】根据频率分布折线图，结合选项一一判断，即可得结论．
【解答】解：对于项：2月7日到2月13日一周时间内，
每天甲省的新增“新冠肺炎“确诊人数都小于或等于乙省的新增“新冠肺炎“确诊人数，
故甲省的平均数比乙省低，故项正确；
对于项：由折线图可知，乙省数据的波动范围大于甲省数据的波动范围，
故乙省方差小于甲省的方差，故项正确；
对于项：由折线图数据可得甲省的数据从小到大排列为：
9，11，13，24，27，28，28
故甲省的中位数为24，故项错误；
对于项：由折线图数据可得乙省的极差为，故项正确，
故选：．
【点评】本题主要考查理解频率分布折线图，掌握平均数、方差、中位数、极差的定义，属于基础题．
10．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，则　　
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为的奇函数
D．函数的递减区间为
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故错误；
令，求得，为最大值，可得直线是函数图象的一条对称轴，故正确；
显然，是周期为的非奇非偶函数，故错误；
令，求得，
可得的减区间为，，，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11．（5分）设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有　　
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
【分析】由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由，得，
，即，
又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故正确；
当时，，
，数列的最大项为，故错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的确定，训练了利用数列的求和公式求通项，是中档题．
12．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是　　
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，错误；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某校高二年级期末测试所有学生的数学成绩，且，若该校高二年级共有学生1000人，则本次测试成绩高于120分的学生人数约为　100　．
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性求得，乘以1000得答案．
【解答】解：由，得正态分布曲线的对称轴方程为，
，，
则．
则本次测试成绩高于120分的学生人数约为（人．
故答案为：100．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14．（5分）展开式中的常数项是　　．（用数字作答）
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：展开式中的通项公式：．
令，解得．
常数项．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）已知直线与直线相交于点，点是上的动点，则的最大值为 　　．
【分析】分别求得直线，经过的定点，，可得在以为直径的圆上，再由两点的距离公式和圆的性质，可得所求最大值．
【解答】解：直线恒过定点，
直线经过定点，
由，可得，相互垂直，
可得在以为直径的圆上，
又是圆上的动点，
可得的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查两直线的位置关系和圆的方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16．（5分）在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 　　；则三棱锥的内切球的半径为 　　．
【分析】由题意画出图形，求出，然后求解三角形可得、的值，得到，再由正弦定理求得外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，即可求得外接球的表面积；求出三棱锥的表面积，利用等体积法求其内切球的半径．
【解答】解：如图，

是边上的一动点，平面，直线与平面所成角的最大值为，
则当时，，由，得，
在中，，
，，则，
由，得，
，设外接圆的半径为，
则，可得．
设三棱锥外接球的半径为，则，
可得外接球的表面积；
在中，，可得是等腰三角形，
三棱锥的表面积为，
设三棱锥的内切球的半径为，
则，解得．
即三棱锥的内切球的半径为．
故答案为：；．
【点评】本题考查多面体的外接球与内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式，
（2）设，为数列的前项和，记，求．
【分析】（1）设公比为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到舍去；
（2）由对数的运算性质可得，由等差数列的求和公式可得，求得，运用数列的裂项相消求和，可得所求和．
【解答】解：（1）数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项，
可得，即有，解得舍去），，
则；
（2），
可得，，
．
【点评】本题考查等差数列的中项性质、求和公式和等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
18．（12分）已知中，角、、的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合的范围即可求解．
（2）利用三角形面积公式可求的值，利用余弦定理可求的值，进而可求周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，可得，即，
因为，，，
所以可得，
所以，可得．
（2）因为，，
所以，得，
又，
所以，
所以周长为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19．（12分）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中组合：物理、化学、生物，组合：历史、政治、地理，组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择组合的概率为，选择组合的概率为，选择组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．
（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；
（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．
【分析】利用题中的条件，可知三位同学恰好选择不同的组合共有6种，计算出其中的一种，即可计算出结果；
（2）由题意可知的取值可能为0,1,2,3，分别计算出对应的概率，即可解出．
【解答】解：用表示第位同学选择组合，用表示第位同学选择组合，用表示第位同学选择组合，，2，3．
由题意可知，，，互相独立，
且．
（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，
每种情况的概率相同，
故三位同学恰好选择不同组合的概率为：
．
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
所以，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3





所以．
【点评】本题考查了统计与概率，数学期望，学生的运算能力，综合分析能力，属于中档题．
20．（12分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【分析】（1）推导出，从而平面，连接，交于，连接，则，推导出，由此能证明平面．
（2）连结，以为坐标原点，以、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）由已知，为的中点，，
又平面平面，且平面平面，
面，
平面，（2分）
连接，交于，连接，
底面是菱形，，
，，，
又，，，（3分）
又平面，平面，
平面．（4分）
解：（2）连结，
是正三角形，
由（1）知平面，，，
以为坐标原点，以、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，0，，
设平面的法向量，，，
，由（1）知，，
，取，得，0，，
平面的法向量，0，，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知椭圆的离心率，上顶点是，左、右焦点分别是，，若椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，，列方程组，解得，，，即可得出答案．
（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，解得，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，，
所以，又，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
所以，，
所以，
解得，
所以直线过定点．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（12分）设函数．
（1）若，有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的最大值．
【分析】（1）求出导数，分类讨论的正负即可求解；
（2）结合（1）可知，由，等价于，可得，令（a），利用导数求得（a），即可求解．
【解答】解：（1）时，，，
①当时，，则在上单调递增，不满足题意；
②当时，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，
要使有两个零点，只需，即，解得，
即的取值范围是．
（2）函数，，
由（1）知，当时，在上单调递增，
当时，，与矛盾，
所以，由（1）知，，
所以，，
令（a），（a），
令（a），可得，令，可得，
所以（a）在上单调递增，在上单调递减，
所以（a）（e），
所以，
所以的最大值为．
【点评】本题主要考查利用导数的应用，考查函数零点个数问题以及最值的求解问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:15:59；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394