2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，若集合，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
2．（5分）在的展开式中，的系数是　　
A．2 B． C．1 D．
3．（5分）“直线与平面内无数条直线平行”是“直线与平面平行”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知，则　　
A．0 B．1 C． D．
5．（5分）袋中有大小相同的8个小球，其中5只白球，3只黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸出白球的条件下，第2次摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知平面向量的模分别是1和2，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
7．（5分）若函数与的图象关于轴对称，则函数的部分图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是　　

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）在复平面内，已知复数，（其中对应的向量分别，，则　　
A． B．不可能为实数
C． D．的最小值为1
10．（5分）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件．某高中高二的学生分为寄宿生和走读生两类，其中寄宿生晚上必须休息，睡眠能得到充分的保证；走读生晚上大多休息，甚至更晚．为了了解这两类学生的学习效率情况，该校有关部门分别对这两类学生学习总成绩的前50名进行问卷调查，得到如表所示的统计数据，则
　　

寄宿生
走读生
学习效率高
30
10
学习效率低
20
40
附：．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
A．走读生前50名学生中有的学生学习效率高
B．寄宿生前50名学生中有的学生学习效率高
C．认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.05
D．有的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”
11．（5分）已知函数的图象经过点，和，且点与位于函数图象的同一周期内，若，则　　
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．
D．，时，函数的最大值为1
12．（5分）若实数，，满足，则　　
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为　　．
14．（5分）已知函数．若存在，，使得，则实数的取值范围是 　　．
15．（5分）正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入．，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为 　　．
16．（5分）已知水平地面上有一半径为2的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆（如图），椭圆的中心为，球与地面的接触点为，．若光线与地面所成角为，则　　，椭圆的离心率　　．

四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知等差数列的前项和为．若，．
（1）求的通项公式；
（2）求和：，其中为非零实数．
18．（12分）在凸四边形中，，且，对角线．
（1）若，且为锐角，求的大小；
（2）若，求．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．

20．（12分）江苏省无锡市特产阳山水蜜桃，产于中国著名桃乡无锡市阳山镇；是中国国家地理标志产品，其果大色美、皮薄肉细、汁多味甜、营养丰富，该镇的某种植户为了了解自己桃园内某一品种水蜜桃生长情况，从桃园内随机摘取了该品种水蜜桃100只，统计其质量（单位：克），得到如下频数分布表．
质量
，
，
，
，
，
频数
10
20
32
25
13
（1）假设该桃园内这一品种水蜜桃的质量大致服从正态分布，若规定这一品种水蜜桃的质量不低于225克的为精品桃，试估计该桃园内精品桃所占比例能否超过？请说明理由；
（参考数据：若，则，
（2）若规定这一品种水蜜桃的质量落在，内的为标准桃．从所抽样的30只标准桃中，用分层抽样的方法抽取9只，再从这9只标准桃中随机抽取4只，质量落在，内的标准桃有只，求的概率分布和数学期望．
21．（12分）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
22．（12分）设，函数，的图象与直线相切．
（1）求实数的值；
（2）当时，，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，若集合，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【分析】求出集合，再由，即可求出实数的取值范围．
【解答】解：集合，，，
，
故选：．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）在的展开式中，的系数是　　
A．2 B． C．1 D．
【分析】结合二项式定理，化简表达式为，然后求出展开式中的系数即可．
【解答】解：，
展开式中的系数，只需求解中的的系数与中项的系数的乘积，
展开式中的系数是：．
故选：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．
3．（5分）“直线与平面内无数条直线平行”是“直线与平面平行”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用线面平行的判定定理性质定理、充分必要条件即可判断出结论．
【解答】解：由“直线平面”，可得“直线与平面内无数条直线平行”，反之不成立．
“直线与平面内无数条直线平行”是“直线平面”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）已知，则　　
A．0 B．1 C． D．
【分析】利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．
【解答】解：，
，可得，可得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5．（5分）袋中有大小相同的8个小球，其中5只白球，3只黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸出白球的条件下，第2次摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：记第一次摸到白球为事件，第二次摸到白球为事件，
则（A），，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6．（5分）已知平面向量的模分别是1和2，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量数量积运算法则代入计算即可．
【解答】解：，，
解得，，
所以与的夹角为，
故选：．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算法则，考查向量夹角的求法，属于基础题．
7．（5分）若函数与的图象关于轴对称，则函数的部分图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据对称性求出函数的解析式，利用奇偶性，对称性以及单调性进行判断即可．
【解答】解：的图象关于轴对称的函数为，
即，
则，则是奇函数，图象关于原点对称．排除，
当时，（1），排除，
，
当时，此时函数为增函数，排除，
故选：．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，单调性，利用排除法是解决本题的关键，是中档题．
8．（5分）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是　　

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到的最大值，即可判断选项，通过分析判断可得点不可能是棱的中点，从而判断选项，又，，可判断选项和选项．
【解答】解：在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为1，，分别为，的中点，
则，0，，，
所以，
设，，，则，
因为，
所以，
当时，，
当时，，
取，
连结，，，，
则，，
所以四边形为矩形，则，
即，，又和为平面中的两条相交直线，
所以平面，
又，
所以为的中点，则平面，
所以为使，必有点平面，
又点在正方体表面上运动，
所以点的轨迹为四边形，
因此点不可能是棱的中点，
故选项错误；
又，，
所以，则点的轨迹不是正方形，且矩形的周长为，
故选项错误，选项正确；
因为，，
又，则，
所以，点在正方体表面运动，则，解得，且，
所以，
故当或，或1时，取得最大值为，
故选项错误；
故选：．

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了空间中点、线、面位置关系的应用，直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用，对于空间中的一些长度问题，经常会选用空间向量来求解，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需各点的坐标和向量的坐标．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）在复平面内，已知复数，（其中对应的向量分别，，则　　
A． B．不可能为实数
C． D．的最小值为1
【分析】根据复数的相等判断，根据复数的代数形式和复数运算性质判断，，根据复数几何意义及向量模运算判断．
【解答】解：无解，正确，
，
若为实数，则，，错误，
复数，（其中对应的向量分别，，
，，，
，正确，
，的最小值为1，正确，
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式、复数运算、几何意义、向量模运算，属于中档题．
10．（5分）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件．某高中高二的学生分为寄宿生和走读生两类，其中寄宿生晚上必须休息，睡眠能得到充分的保证；走读生晚上大多休息，甚至更晚．为了了解这两类学生的学习效率情况，该校有关部门分别对这两类学生学习总成绩的前50名进行问卷调查，得到如表所示的统计数据，则
　　

寄宿生
走读生
学习效率高
30
10
学习效率低
20
40
附：．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
A．走读生前50名学生中有的学生学习效率高
B．寄宿生前50名学生中有的学生学习效率高
C．认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.05
D．有的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”
【分析】由列联表中的数据，计算频率，即可判断选项，，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可判断选项，．
【解答】解：对于，（走读生学习效率高），故选项错误；
对于，（寄宿生学习效率高），故选项正确；
因为，
所以有的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”，
故选项错误，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数的图象经过点，和，且点与位于函数图象的同一周期内，若，则　　
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．
D．，时，函数的最大值为1
【分析】根据题意求出函数的周期和的值，写出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为函数的图象经过点，和，
且点与位于函数图象的同一周期内，
所以，解得，所以，选项正确；
由，，
所以的图象关于点中心对称，选项正确；
令，得，；解得，；
由，得，选项正确；
时，，
因为，时，，，，，
所以函数的最大值为，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是基础题．
12．（5分）若实数，，满足，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由对数的性质可得，变形有，可得正确；设函数，求出的导数，分析其单调性，由，结合不等式的性质可得，结合函数的单调性分析正确，错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，若实数，，满足，
则，，，
则有，故正确；
设函数，，其导数，
在区间上，，为增函数，
，则，则有，
变形可得，
则有（b），故有，正确，
同时有，故有，错误；
不能判断、、的大小关系，错误；
故选：．
【点评】本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数单调性的性质以及应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为　　．
【分析】求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．
【解答】解：抛物线的焦点为，
圆与直线相切于坐标原点，
圆心在直线上，
圆过原点以及点，则圆心在直线上，
即圆心横坐标为1，纵坐标为，
即圆心为，半径，
则圆的标准方程为，
故答案为：．

【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件求出圆心和半径是解决本题的关键，是中档题．
14．（5分）已知函数．若存在，，使得，则实数的取值范围是 　，　．
【分析】根据题意，原问题可以转化为方程有有解，设，，，进而原问题等价于函数与直线有交点，结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若存在，，使得，即方程有有解，
设，，，则在区间，上为增函数，
且，，
若方程有有解，即函数与直线有交点，必有，
即的取值范围为，；
故答案为：，．
【点评】本题考查函数与方程的关系以及应用，注意将原问题转化为函数图象与直线相交的问题，属于基础题．
15．（5分）正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入．，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为 　4　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简可得，解方程即可得解的最小值．
【解答】解：因为，
可得，
可得，
所以，
可得，
可得，可得，即的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于中档题．
16．（5分）已知水平地面上有一半径为2的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆（如图），椭圆的中心为，球与地面的接触点为，．若光线与地面所成角为，则　　，椭圆的离心率　　．

【分析】连接，则，再根据，求解；在照射过程中，投影的短半轴长是球的半径，椭圆的长轴长为，过向作垂线，垂足为，再根据，，求得即可．
【解答】解：连接，则，
因为，，
所以，
所以，
在照射过程中，投影的短半轴长是球的半径，所以，
如图：椭圆的长轴长为，过向作垂线，垂足为，
由题意得，，
又，
所以，即，则，
又，
所以，
故答案为：，．

【点评】本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知等差数列的前项和为．若，．
（1）求的通项公式；
（2）求和：，其中为非零实数．
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，即可求出与，从而即可得到等差数列的通项公式；
（2）由（1）可知，则，两式相减求解后对分为与两种情况讨论即可得出结果．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，得，
所以，，故；
（2）由（1）可知；则，
两式相减得，
当时，；当时，．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，错位相减求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）在凸四边形中，，且，对角线．
（1）若，且为锐角，求的大小；
（2）若，求．
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得，进而得到；
（2）在中，利用余弦定理可求得，结合条件即可求得，再在中，利用余弦定理即可求得．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，在中：，
即，解得，
又因为，所以，
又因为，
所以；
（2）在中，由余弦定理可得，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即
解得．

【点评】本题考查解三角形，熟练应用正余弦定理是关键，考查数形结合思想，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．

【分析】（1）由面面垂直的性质推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）设到平面的距离为，由线面角的正弦函数可得，运用等积法和棱锥的体积公式和三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：（1）证明：底面为直角梯形，，，
可得，
因为平面平面，可得平面，
而平面，所以平面平面；
（2）设到平面的距离为，
由题意可得，解得，
又取的中点，连接，可得，
由平面平面，可得平面，
且，
设，可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以的面积为，
的面积为，
由，可得，
所以，
化为，解得或28．
即或28．

【点评】本题考查面面垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（12分）江苏省无锡市特产阳山水蜜桃，产于中国著名桃乡无锡市阳山镇；是中国国家地理标志产品，其果大色美、皮薄肉细、汁多味甜、营养丰富，该镇的某种植户为了了解自己桃园内某一品种水蜜桃生长情况，从桃园内随机摘取了该品种水蜜桃100只，统计其质量（单位：克），得到如下频数分布表．
质量
，
，
，
，
，
频数
10
20
32
25
13
（1）假设该桃园内这一品种水蜜桃的质量大致服从正态分布，若规定这一品种水蜜桃的质量不低于225克的为精品桃，试估计该桃园内精品桃所占比例能否超过？请说明理由；
（参考数据：若，则，
（2）若规定这一品种水蜜桃的质量落在，内的为标准桃．从所抽样的30只标准桃中，用分层抽样的方法抽取9只，再从这9只标准桃中随机抽取4只，质量落在，内的标准桃有只，求的概率分布和数学期望．
【分析】（1）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
（2）根据频数分布表，质量落在，，，桃子的数量比为，因此分层抽样得出9只标准桃中，质量落在，上的有3只，在，上的有6只，从9只中抽取4只，随机变量的可能值分别为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
，
，
故估计该桃园内精品桃所占比例能超过．
（2）根据频数分布表，质量落在，，，桃子的数量比为，因此分层抽样得出9只标准桃中，质量落在，上的有3只，在，上的有6只，从9只中抽取4只，随机变量的可能值分别为0，1，2，3，
，，
，，

0
1
2
3





．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及正态分布的对称性，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
21．（12分）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【分析】（1）利用实半轴求出的值，求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求出的值，进而得到双曲线的方程；
（2）假设存在满足题意，则，设直线的方程，与双曲线的方程联立，得到韦达定理，由两点间斜率公式结合等式化简，即可求出的值，从而得到答案．
【解答】解：（1）因为双曲线的实半轴长为1，则，
故双曲线，所以渐近线方程为，
设，，则，
故，
因为点在双曲线上，故，即，
故，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，
则，，设，，，，
设直线，
联立方程组，可得，
故，
则，
即恒成立，
整理可得，，
故，
即，
所以，
则，解得，
故存在点使得的平分线与轴或轴垂直．
【点评】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
22．（12分）设，函数，的图象与直线相切．
（1）求实数的值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求导函数设切点，根据导数的几何意义得到切点处的导数值，结合切点同时在曲线和切线上解得切点满足的方程，再构造函数，，求得零点，即解得方程的解，得到的值；
（2）先判断函数单调性和取值范围，研究和时，利用单调性和值的分布证明成立，再利用单调性证明时不成立，即得的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，则，
设与直线相切于，，
则，即，化简得，
令，，
则，即在上单调递增，
而，故只有唯一的根，
故方程的根为，即，所以，
所以实数的值为1；
（2）依题意，当时，，
故在上单调递增，即．
依题意，要使时，成立．
当时，由知，，，
即，故满足成立；
当时，令，，
则，
由，知．
当时，，所以，
故在上单调递增，，即满足成立；
当时，，即，，
则，
故在上单调递增，而，，
所以存在，使，且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
所以时，，
故，不满足题意．
综上，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数思想和转化思想，属难题．
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日期：2021/12/1 14:11:49；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394