2020-2021学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．（5分）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
2．（5分）设，则“”是“”的　　条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（5分）若等比数列单调递减，且，，则公比　　
A． B．2 C． D．
4．（5分）的展开式中含的系数为　　
A．80 B．2 C．16 D．10
5．（5分）某校拟从5名班主任及5名班长男2女）中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”，若要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有　　种．
A．9 B．15 C．60 D．45
6．（5分）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，则　　
A． B． C．1 D．2
7．（5分）在长方体中，，，，若点在线段上，则二面角的余弦值为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知，，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．不确定
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9．（5分）由点列，，，，，，得到线性回归方程，对应的相关系数为，则下列
说法正确的是　　
A．若越大，则与的线性相关性越强
B．
C．若，则随的增大而增大
D．
10．（5分）已知，则下列说法中正确的是　　
A．的实部为4
B．在复平面上对应的点在第三象限
C．
D．
11．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若过焦点的直线交抛物线于两点，，，，则下列说法中正确的是　　
A． B．
C．的最大值为 D．
12．（5分）已知红色箱子内有6个红球、2个黄球，黄色箱子内有2个红球、6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，，第次从“与第次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第次摸出的球是黄球的概率为，则下列说法中正确的是　　
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．（5分）已知随机变量，若，则　　．
14．（5分）若且，则的最小值为 　　．
15．（5分）已知，当时，的最小值是 　　；若恒成立，则实数的取值范围是 　　．
16．（5分）设，分别为椭圆的左、右顶点，动直线经过轴上一定点，交椭圆于，两点，分别在轴上、下方），记直线，的斜率分别为、，若，则点的坐标为 　　．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．（10分）设．
（1）求的展开式中含项的系数；
（2）求函数的单调递减区间．
18．（12分）设等差数列的公差为，已知．
（1）求；
（2）若，求证：．
19．（12分）2020年11月15日，习近平总书记在南京市主持召开全面推动长江经济带发展座谈会，要求使长江经济带成为我国生态优先绿色发展主战场．某研究所从长江上游区域和长江下游区域分别任意选取100个观测点进行水质检测，并将水质等级检测结果按，，，，，，，，分组进行统计，如果水质等级达到7，就认为该检测点水质“达标”，否则就认为“不达标”，已知上游区域被检测的观测点中，水质“达标”的有75个，不达标的有25个，对下游区域的检测结果统计得如下频率分布直方图，其中，，成等差数列，且．
（1）请完成下面的列联表，并判断：能否有的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关？

水质“达标”检测点数
水质“不达标”检测点数
总计
长江上游区域
75
25
100
长江下游区域


100
总计


200
（2）为进步调研长江下游区域的水质情况，若以样本频率估计总体概率，再从整个长江下游区域中随机抽取3个观测点，记其中水质“达标”的个数为随机变量，求的概率分布和数学期望．
参考公式：独立性检验统计量，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
0.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20．（12分）如图所示，在三棱锥中，，，平面平面．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足（其中，分别表示直线，的斜率）．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，点，在曲线上，直线，的斜率互为相反数，线段的中点为，求直线的斜率．
22．（12分）设函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．（5分）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
【分析】直接利用椭圆的性质，转化求解即可．
【解答】解：椭圆的焦点在轴上，则，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
2．（5分）设，则“”是“”的　　条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可．
【解答】解：，，
，，，
是的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）若等比数列单调递减，且，，则公比　　
A． B．2 C． D．
【分析】根据，可得，是方程的两个实数根，从而可解出与的值并求出值．
【解答】解：，，
，是方程的两个实数根，
，，
，解得或（舍去），
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程根与系数的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
4．（5分）的展开式中含的系数为　　
A．80 B．2 C．16 D．10
【分析】由的展开式的通项公式可求得展开式中含的系数．
【解答】解：的展开式中的通项，
令，则，
的展开式中含的系数为，
故选：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算能力，属于中档题．
5．（5分）某校拟从5名班主任及5名班长男2女）中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”，若要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有　　种．
A．9 B．15 C．60 D．45
【分析】根据题意，用间接法分析，先计算全部的选法，排除其中“没有女班长”的选法，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从5名班主任及5名班长中选派1名班主任和3名班长，有种选法，
其中没有女班长的选法有种，
则有种不同的安排方案，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（5分）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，则　　
A． B． C．1 D．2
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，以及期望和方差的公式，即可求解．
【解答】解：设，则，
，
，解得，
故的分布列为：

0
1
2




故，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了分布列的性质，以及期望和方差的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
7．（5分）在长方体中，，，，若点在线段上，则二面角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图，

则，2，，，2，，，2，，，2，，
平面的法向量，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
故选：．
【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
8．（5分）已知，，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．不确定
【分析】利用条件及函数的单调性得出，再构造函数，比较与的大小，最后通过换底公式得出与的大小．
【解答】解：由条件易得，．
当时，，又，所以，
因为函数在上单调递增，所以．
设，则，所以在上单调递增，
所以（b）（a），即，所以．
又，所以．
故选：．
【点评】本题考查利用函数单调性比较大小，属于中档题．
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9．（5分）由点列，，，，，，得到线性回归方程，对应的相关系数为，则下列
说法正确的是　　
A．若越大，则与的线性相关性越强
B．
C．若，则随的增大而增大
D．
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的相关系数的性质，即可求解．
【解答】解：线性相关系数只能在，中取得，故选项错误，相关系数绝对值越靠近于1，线性相关系数越好，即与的线性相关性越强，故选项正确，
若，函数随着自变量的增加而增加，故选项正确，
由于相关系数与正比例系数同号，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的相关系数的性质，属于基础题．
10．（5分）已知，则下列说法中正确的是　　
A．的实部为4
B．在复平面上对应的点在第三象限
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：，
的实部为，故选项错误，在复平面对应的点对应的点在第三象限，故选项正确，
，故选项正确，，故选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数实部的概念，共轭复数，复数的模，复数的几何含义，属于基础题．
11．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若过焦点的直线交抛物线于两点，，，，则下列说法中正确的是　　
A． B．
C．的最大值为 D．
【分析】求出焦点坐标，设直线的方程为：，与抛物线方程联立消去可得关于的方程，又根与系数的关系可求得，，从而判定选项，；利用向量数量积的坐标运算可得，从而判断选项；利用向量模的运算可求得，从而判定选项．
【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点，设直线的方程为：，
联立，整理可得：，
所以△，，，
所以，，
故正确，错误；
对于，，，，，
所以


，当时等号成立，
所以的最大值为，故正确；
对于，



，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）已知红色箱子内有6个红球、2个黄球，黄色箱子内有2个红球、6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，，第次从“与第次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第次摸出的球是黄球的概率为，则下列说法中正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据已知条件，结合次独立重复试验的概率计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，，
第次从黄箱取与红箱取是互斥事件，第次摸出的球是黄球的概率为，则摸出的球是红球的概率为，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查次独立重复试验的概率计算公式，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．（5分）已知随机变量，若，则　0.25　．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量，
曲线关于对称，
．
故答案为：0.25．
【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
14．（5分）若且，则的最小值为 　0　．
【分析】根据题意，将变形可得，则有，由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若，则，
则，
又由，则，则，当且仅当时等号成立，
故，即的最小时为0；
故答案为：0．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意的变形，属于基础题．
15．（5分）已知，当时，的最小值是 　　；若恒成立，则实数的取值范围是 　　．
【分析】当时，，求导的，分析的正负，的单调性，进而可得的最小值；若恒成立，则任意，恒成立，令，只需，即可得出答案．
【解答】解：当时，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
若恒成立，
则任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
令，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（e），
所以，
故答案为：，，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16．（5分）设，分别为椭圆的左、右顶点，动直线经过轴上一定点，交椭圆于，两点，分别在轴上、下方），记直线，的斜率分别为、，若，则点的坐标为 　　．
【分析】设直线的方程为，，，，，根据可得，进而求出，从而得到点的坐标．
【解答】解：显然直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，，，
由得，
则△，即，
由韦达定理可得，
由题意知，，
因为，所以，
即，
即，所以或，
当时，，
所以，又，
所以，即，即，显然不满足题意．
所以．故点的坐标为．
故答案为：．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定点问题，考查设而不求法的应用，考查数学运算的核心素养，属于难题．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．（10分）设．
（1）求的展开式中含项的系数；
（2）求函数的单调递减区间．
【分析】（1）分别求得与的展开式中含项的系数，求和即可；
（2）求得，再令可得答案．
【解答】解：（1），
的展开式中含项的系数为：；
（2），
令，得，
函数的单调递减区间为．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查的展开式中含项的系数的求法，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）设等差数列的公差为，已知．
（1）求；
（2）若，求证：．
【分析】（1）根据已知条件令，得，即，结合即可求出值；
（2）易知，从而可证明．
【解答】解：（1）当时，有，即，化简并整理得，
又，所以；
（2）证明：若，则，令，则，
所以数列的前项和为，
所以．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
19．（12分）2020年11月15日，习近平总书记在南京市主持召开全面推动长江经济带发展座谈会，要求使长江经济带成为我国生态优先绿色发展主战场．某研究所从长江上游区域和长江下游区域分别任意选取100个观测点进行水质检测，并将水质等级检测结果按，，，，，，，，分组进行统计，如果水质等级达到7，就认为该检测点水质“达标”，否则就认为“不达标”，已知上游区域被检测的观测点中，水质“达标”的有75个，不达标的有25个，对下游区域的检测结果统计得如下频率分布直方图，其中，，成等差数列，且．
（1）请完成下面的列联表，并判断：能否有的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关？

水质“达标”检测点数
水质“不达标”检测点数
总计
长江上游区域
75
25
100
长江下游区域


100
总计


200
（2）为进步调研长江下游区域的水质情况，若以样本频率估计总体概率，再从整个长江下游区域中随机抽取3个观测点，记其中水质“达标”的个数为随机变量，求的概率分布和数学期望．
参考公式：独立性检验统计量，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
0.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质和独立性检验公式，即可求解．
（2）由题意可得，从长江下游区域随机选取一个观测点，其中水质“达标”的概率为，的所有可能的值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布图的性质可得，，即，
，，成等差数列，
，即，
，
，，
下游区域水质“达标”的有个，下游区域水质“达标”的有个，

水质“达标”检测点数
水质“不达标”检测点数
总计
长江上游区域
75
25
100
长江下游区域
60
40
100
总计
135
65
200
，
有的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关．
（2）由题意可得，从长江下游区域随机选取一个观测点，其中水质“达标”的概率为，的所有可能的值为0，1，2，3，
，，
，，
故的分布列为：

0
1
2
3





．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
20．（12分）如图所示，在三棱锥中，，，平面平面．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】（1）以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，在平面内，过作的垂线轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解（1）以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，
在平面内，过作的垂线轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，0，，，2，，，，，
，1，，，，，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
．
（2），3，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足（其中，分别表示直线，的斜率）．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，点，在曲线上，直线，的斜率互为相反数，线段的中点为，求直线的斜率．
【分析】（1）设点坐标为，结合题意建立关于，的方程即可得点的轨迹的方程；
（2）设直线的方程为，结合直线，的斜率互为相反数建立方程，进而求出，再结合点差法求直线的斜率．
【解答】解：（1）设点坐标为，，
因为，所以，
整理得，故点的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，与曲线联立得，
因为直线与曲线有两个交点，
所以，，
，
设，，，，则，
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
即，
即，
即，
即，则或，
当时，直线过点，显然不满足题意，所以，
因为，
作差可得，所以，
因为线段的中点为，
所以．

【点评】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法的应用，考查数学运算和直观想象的素养，属于难题．
22．（12分）设函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式方程可求出在处的切线方程；
（2）题意转化为方程在上只有一个解，令，，则函数在上只有一个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点个数．
【解答】解：（1）当时，，
所以，又，
故在处的切线方程为．
（2）题意转化为方程在上只有一个解，
即方程在上只有一个解，
令，，
则函数在上只有一个零点，
，
①当时，在上恒成立，则在上单调递增，
函数至多一个零点，又因为，
所以有且只有一个零点，满足题意；
②当时，令，解得，且，，
当或时，，则函数在和，上单调递增，
当时，，则函数在，上单调递减，
当时，，，
所以函数在上存在唯一零点，又因为，
所以函数在上至少存在两个零点，不满足题意．
综上所述，的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的几何意义及其应用，利用导数研究函数的单调性和零点，考查数学运算和逻辑推理的核心素养，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:12:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394