2020-2021学年江苏省连云港市灌云县高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省连云港市灌云县高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题．，多项选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省连云港市灌云县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．
1．（5分）已知复数，为虚数单位，，，则　　
A． B．2 C．4 D．6
2．（5分）正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析，发现这些数据变量近似服从，若，则　　
A．0.09 B．0.41 C．0.59 D．0.91
3．（5分）若用半径为2的半圆纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥的体积为　　
A．1 B． C． D．
4．（5分）设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中错误的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（5分）设复数满足，那么的最大值为　　
A．3 B．6 C．7 D．9
6．（5分）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为　　
A．160 B．162 C．166 D．170
7．（5分）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划” ，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中至少两人通过的概率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戊不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是　　
A．152 B．126 C．90 D．54
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．（5分）若，则正整数的值是　　
A．1 B．4 C．6 D．8
10．（5分）已知复数，则下列命题中正确的为　　
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面上对应点在第二象限
11．（5分）如图在四棱锥，底面为矩形，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，下列说法正确的是　　

A．平面
B．点到平面的距离为
C．平面与平面只有一个交点
D．侧面与底面所成的二面角为
12．（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，则　　

A．在第10条斜线上，各数之和为55
B．在第11条斜线上，最大的数是
C．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
D．在第条斜线上，共有个数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题纸相应位置上．
13．（5分）二项式的展开式中的系数为　　．
14．（5分）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则　　．
15．（5分）4月23日为世界读书日，已知某县高三学生每周阅读时间服从正态分布，则若该县有15000名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为 　　．
（附，，，
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有 　　个面，其棱长为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，其中且，为虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若，求复数的模．
18．（12分）在①；②；③展开式中二项式系数最大值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知，且 ____．
（1）求的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）．
19．（12分）5个男同学，3个女同学站成一排．
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
20．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面平面．

21．（12分）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为外，其余每局甲队获胜的概率都是，假设每局比赛结果相互独立．
（1）求甲队以获胜的概率；
（2）若比赛结果为，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．
22．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄人数
长期潜伏
非长期潜伏
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（ⅱ）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值．
附：

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635
若，则．，．

2020-2021学年江苏省连云港市灌云县高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．
1．（5分）已知复数，为虚数单位，，，则　　
A． B．2 C．4 D．6
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得与的值，则答案可求．
【解答】解：，
，，，
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
2．（5分）正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析，发现这些数据变量近似服从，若，则　　
A．0.09 B．0.41 C．0.59 D．0.91
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：数据变量近似服从，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3．（5分）若用半径为2的半圆纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥的体积为　　
A．1 B． C． D．
【分析】先求出圆锥的底面周长，从而求出圆锥的底面半径，求出圆锥的高，由体积公式求解即可．
【解答】解：半径为2的半圆弧长为，
圆锥的底面圆的周长为，其轴截面为等腰三角形，
故圆锥的底面半径为1，母线长为2，
所以圆锥的高为，
所以这个圆锥的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
4．（5分）设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中错误的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：对于，因为，则平面内存在直线，
又，则，所以，故选项正确；
对于，垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项正确；
对于，由面面垂直的判定定理可知，若，，则，故选项正确；
对于，若，，则与平行或异面，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了命题真假的判断，空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
5．（5分）设复数满足，那么的最大值为　　
A．3 B．6 C．7 D．9
【分析】复数满足是虚数单位），是以为圆心以2为半径的圆，是到原点的距离．
【解答】解：表示：复数是复平面上以为圆心，
以2为半径的圆上的点，要求最大值，
即求圆上的点到原点距离的最大值，
故最大值为，
故选：．
【点评】本题考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想；也可以转化为代数法求解；是中档题．
6．（5分）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为　　
A．160 B．162 C．166 D．170
【分析】先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；
【解答】解：因为，
则，
所以，
所以线性回归方程为，
当时，，
所以该班某学生的脚长为23，估计其身高为162厘米．
故选：．
【点评】本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
7．（5分）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划” ，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中至少两人通过的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中至少有两人通过的概率．
【解答】解：设三人中至少两人通过为事件，
则（A）
，
故选：．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，是基础题．
8．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戊不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是　　
A．152 B．126 C．90 D．54
【分析】由于丁、戊不会开车，然后讨论丁、戊是同一组，还是单独一组然后进行计算即可．
【解答】解：若丁、戊一组，则只能从其他三项选一个，则有种，
若丁、戊不在同一组，
若丁单独一组，则先安排戊和甲乙丙中选1人一组，有，然后甲乙丙剩余2人安排一人开车有，剩余3组全排列，共有，
若戊单独一组，则先安排丁和甲乙丙中选1人一组，有，然后甲乙丙剩余2人安排一人开车有，剩余2组全排列，共有，
若丁、戊单独一组，则甲乙丙3人分成2组，有，然后这两组安排一组开车，其余进行全排列，则有，
则共有，
故选：．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想是解决本题的关键，是中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．（5分）若，则正整数的值是　　
A．1 B．4 C．6 D．8
【分析】直接根据组合数的性质求解即可．
【解答】解：，
或，
解得：或，
经检验都成立，
故选：．
【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．
10．（5分）已知复数，则下列命题中正确的为　　
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面上对应点在第二象限
【分析】根据已知条件，结合复数模公式和复数的性质，即可求解．
【解答】解：复数，
，故正确，，故正确，的虚部为，故错误，
在平面上对应点，位于第四象限，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的性质，属于基础题．
11．（5分）如图在四棱锥，底面为矩形，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，下列说法正确的是　　

A．平面
B．点到平面的距离为
C．平面与平面只有一个交点
D．侧面与底面所成的二面角为
【分析】利用面面垂直的性质定理和线面垂直判定定理，即可判断选项，取的中点，连接，由等体积法，即可判断选项，利用平面与平面的公共点为一条直线，即可判断选项，由二面角的平面角的定义确定即为侧面与底面所成的二面角的平面角，在三角形中由边角关系求解，即可判断选项．
【解答】解：因为底面为矩形，则，
又侧面底面，侧面底面，平面，
则平面，又平面，
所以，
因为侧面是正三角形，是的中点，
则，
又，，平面，
故平面，
故选项正确；
取的中点，连接，则，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
，侧面是正三角形，
所以，，，
设点到平面的距离为，
由等体积法可得，，
即，
所以，
解得，
所以点到平面的距离为，
故选项正确；
平面与平面有一个公共点，
则平面与平面交于一条过点的直线，
故选项错误；
取的中点，连接，
因为，则，
又，分别为，的中点，
则，且，
所以，
故即为侧面与底面所成的二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以侧面与底面所成的二面角为，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识，主要考查了面面垂直的性质定义以及线面垂直的判定定理的应用，点到平面距离的求解，二面角的求解，其中等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与转化化归能力，属于中档题．
12．（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，则　　

A．在第10条斜线上，各数之和为55
B．在第11条斜线上，最大的数是
C．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
D．在第条斜线上，共有个数
【分析】根据杨辉三角的规律再继续往下写，观察规律一一判断即可．
【解答】解：：根据题意，由上往下，每条线上各数之和为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
则有，所以第10条斜线上，各数之和为55，正确，
第11条斜线上最大数为，错误，
：由定义及图中规律可知，都是从左向右先增后减，正确，
：由图知每条斜线个数为1，1，2，2，3，，代入符合，正确．
故选：．
【点评】本题考查了归纳推理的应用，主要考查了数列的递推公式，把握规律，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题纸相应位置上．
13．（5分）二项式的展开式中的系数为　　．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得展开式中的系数．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为．
令，解得，故展开式中的系数为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则　　．
【分析】随机变量服从超几何分布，然后根据超几何分布公式求出即可．
【解答】解：由题意知随机变量服从超几何分布，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布，理解超几何分布是解题的关键，属于基础题
15．（5分）4月23日为世界读书日，已知某县高三学生每周阅读时间服从正态分布，则若该县有15000名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为 　315　．
（附，，，
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：服从正态分布，
，，
，
该县有15000名学生，
每周阅读时间在小时的人数约为．
故答案为：315．
【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有 　26　个面，其棱长为 　　．

【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有，个面，下层也有个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍．
【解答】解：该半正多面体共有个面，设其棱长为，则，解得．
故答案为：26，1．
【点评】本题考查了多面体的结构特征与应用问题，也考查了空间想象能力和运算能力，属中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，其中且，为虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若，求复数的模．
【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．
（2）根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：（1），
，
为纯虚数，且，
，解得．
（2），
．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18．（12分）在①；②；③展开式中二项式系数最大值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知，且 ____．
（1）求的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）．
【分析】（1）若选条件①，由已知可得，即可求得的值；
若选条件②，由二项式系数的性质可得，即可求得的值；
若选条件③，由二项式系数的性质可得，即可求得的值；
（2）分别令，，求解即可．
【解答】解：（1）若选条件①，
因为，，1，，2，，7，
又，
所以，解得，．
若选条件②，
因为，
所以，解得．
若选条件③，
因为展开式中二项式系数最大值为，
所以，解得．
（2）由（1）可知，
令，可得，
令，可得，
两式相减可得，
所以．
【点评】本题主要考查二项式定理，二项式系数的性质，赋值法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）5个男同学，3个女同学站成一排．
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
【分析】（1）利用相邻问题捆绑法进行求解．
（2）利用不相邻问题插空法进行求解．
【解答】解：（1）3个女同学必须排在一起，把3个女生看出一个元素，则有种不同的排法．
（2）任何两个女同学彼此不相邻，先排男生，然后在男生留出的6个空里排女生，
则有种不同的排法．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法是解决本题的关键，是基础题．
20．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面平面．

【分析】利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明即可；
证明平面，可得平面，从而可证平面平面平面．
【解答】证明：在三棱锥中，，分别是，的中点．
所以（3分）
因为平面，平面
所以平面（5分）
因为平面，平面
所以（7分）
又且
所以平面（10分）
又，分别是，，的中点
所以
所以平面（12分）
又平面，
所以平面平面平面．（13分）
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．
21．（12分）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为外，其余每局甲队获胜的概率都是，假设每局比赛结果相互独立．
（1）求甲队以获胜的概率；
（2）若比赛结果为，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据已知条件，将原问题转化为甲前4局比赛中获胜两局，第五局获胜，即可求解．
（2）设甲队的得分为，则的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，甲队以获胜的概率为．
（2）设甲队的得分为，则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
22．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄人数
长期潜伏
非长期潜伏
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（ⅱ）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值．
附：

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635
若，则．，．
【分析】（1）根据列联表中的数据，计算的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案；
（2）利用正态分布，结合小概率事件进行判断即可；
先求出个患者属于“长潜伏期”的概率，然后利用二项分布的概率公式，再利用作商法判断单调性，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，，
所以有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）若潜伏期，，由，
所以潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天使合理的；
由于400个病例中由100个属于长期潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
所以，
，
当时，，
当时，，
所以（1）（2）（3），，
故当时，取得最大值．
【点评】本题考查了独立性检验的应用，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，二次分布概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
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日期：2021/12/1 16:04:15；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394