2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题甲：对任意，有；命题乙：在内是单调递增的，则甲是乙的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为　　
A． B． C． D．
3．（5分）函数在区间上的最大值是　　
A． B． C． D．
4．（5分）若，则　　
A．8 B．6 C．5 D．4
5．（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有　　

A．72种 B．96种 C．108种 D．120种
6．（5分）设，且，若能被13整除，则　　
A．0 B．1 C．11 D．12
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知（1），且当时，有成立，则使成立的的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是　　
A． B． C． D．
10．（5分）下列等式正确的是　　
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为　　
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为
B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中系数最大的项只有第五项
D．展开式中有理项为第三项、第六项
12．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　
A．函数在时，取得极小值
B．对于，，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．（5分）的展开式中的系数为　　．
14．（5分）已知为实数，若函数的极小值为0，则的值为　　．
15．（5分）已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为　　．
16．（5分）有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有　　种不同的坐法．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．
18．（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？
（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？
（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？
19．（12分）将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：
（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
20．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求的值．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数在，（2）处的切线方程；
（2）当，证明：函数存在唯一极值点，且．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）若在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题甲：对任意，有；命题乙：在内是单调递增的，则甲是乙的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性与导函数符号之间的关系，进行判断即可．
【解答】解：对任意，有，则在内是单调递增的，
则甲是乙的充分条件，
在内是单调递增的，则对任意，有，
则甲是乙的不必要条件，
故甲是乙的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，利用导数研究函数的单调性，正确理解充要条件的概念是解答的关键．
2．（5分）将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为　　
A． B． C． D．
【分析】每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有种投法
【解答】解：每封信都有3种不同的投法
由分步计数原理可得，4封信共有．
故选：．
【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：个物品放到个不同的位置的方法有，属于基础试题．
3．（5分）函数在区间上的最大值是　　
A． B． C． D．
【分析】函数，，，令，解得．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数的单调性．
【解答】解：函数，，
，
令，解得．
函数在内单调递增，在内单调递减．
时函数取得极大值即最大值．
．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）若，则　　
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】分别令，，得到两个等式，再由这2个等式，可得要求式子的值．
【解答】解：，
令，可得①，
再令，可得②，
则①②，并除以2，可得，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．
5．（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有　　

A．72种 B．96种 C．108种 D．120种
【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有种．
故选：．
【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．
6．（5分）设，且，若能被13整除，则　　
A．0 B．1 C．11 D．12
【分析】根据，利用二项式定理展开可得能被13整除，由此求得的值
【解答】解：，且，若 能被13整除，
能被13整除，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】由函数为偶函数，可排除，利用导数研究可知当时，，且单调递增，可排除、，由此得出正确选项．
【解答】解：，且定义域为，
为偶函数，故排除选项；
，设，则恒成立，
单调递增，
当时，，
当时，，且单调递增，故排除选项、；
故选：．
【点评】本题考查函数图象的确定，涉及了函数奇偶性的判断，以及利用导数研究函数的单调性等知识点，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知（1），且当时，有成立，则使成立的的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【分析】令，求导得，再结合已知条件得在上单调递减，在上恒成立，又为定义在上的奇函数，在上，求解不等式，进而可得的取值范围．
【解答】解：令，
所以，
当时，有，
得，
则，故在上单调递减，且（1）
当时，，得，
当时，，得，
因为为连续函数，且（1），
所以在上恒成立，又为定义在上的奇函数，
所以当时，，
不等式，即或，
解得或，
则的取值范围为，，，
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要构造函数，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是　　
A． B． C． D．
【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论．
【解答】解：直线的斜率为，
由的导数为，即有切线的斜率小于0，故不能选；
由的导数为，而，解得，故可以选；
由的导数为，而有解，故可以选；
由的导数为，而，解得，故可以选．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）下列等式正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意利用排列数公式、组合数公式，计算判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：，而，故错误；
，
，故正确；
，，故正确；
，，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于中档题．
11．（5分）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为　　
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为
B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中系数最大的项只有第五项
D．展开式中有理项为第三项、第六项
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，
，求得，，故展开式中偶数项的二项式系数之和为，故错误．
二项展开式的通项公式为，
展开式中，故当或3时，即第三项、第四项的二项式系数最大，故错误．
故当时，展开式中第项的系数最大，即第五项得系数最大．
由于展开式的通项公式为，故正确．
故当 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
12．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　
A．函数在时，取得极小值
B．对于，，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
【分析】先求导数，确定当，时，单调性，即可确定在处，不是极值点，故错误，也可确定，，，故正确；令，求导，分析单调性，即可分析出答案正确；首先将转换为求函数的最值问题，再利用导数对分，，三种情况讨论即可确定的最大值和的最小值，从而判断说法的正误．
【解答】解：因为，
当，时，，单调递减，
所以函数在处，不是极值点，故错误．
所以对于，，，故正确，
令，，
由上可知，当时，，
所以在上是减函数，
若
所以，
即，故正确，
当时，“”等价于“”，
令，，
当时，对恒成立，
当时，因为对，，
所以在区间上单调递减，
从而，，对恒成立，
当时，存在唯一的使得成立，
若，，在上单调递增，且，
若，，，在，上单调递减，且，在，上恒成立，
必须使恒成立，即，
综上所述，当时，，对任意恒成立，
当时，，对任意恒成立，
所以若，对恒成立，则的最大值为，的最小值为1，
所以正确．
故选：．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间和最值，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．（5分）的展开式中的系数为　　．
【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求．
【解答】解：的展开式的通项．
由，得．
的展开式中的系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
14．（5分）已知为实数，若函数的极小值为0，则的值为　　．
【分析】通过，而，可求得在处取得极小值，即，从而可求得的值．
【解答】解：由已知，
又，
所以由得或，
由得，
所以在处取得极小值0，
即，
又，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为　　．
【分析】令有2个正实根，列出不等式组，然后求出的范围．
【解答】解：的定义域为，，
有两个不同的极值点，，
有两个不相等的正实数根，
即两个不相等的正实数根，，
，解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了导数与极值、单调性的判断，考查函数最值与不等式恒成立问题，属于中档题．
16．（5分）有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有　480　种不同的坐法．
【分析】根据题意，分3步进行分析：①将甲乙两人安排在丙的同侧，②将丁安排在三人的空位中，③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①将甲乙两人安排在丙的同侧，有种安排方法，
②将丁安排在三人的空位中，有4种安排方法，
③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，有种安排方法，
则有种安排方法，
故答案为：480．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．
【分析】（1）求导，并分别解不等式和，得解；
（2）结合（1）中结论，写出，在区间，上随的变化情况，即可得解．
【解答】解：（1），定义域为，
，
令，则，函数的单调递增区间为；
令，则，函数的单调递减区间为．
（2），在区间，上随的变化情况如下表：


，
1





0





极大值


，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18．（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？
（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？
（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？
【分析】（1）先排个位，再排首位，其它可以全排列，根据乘法原理即可得到结果；
（2）使用捆绑法结合计数原理计算即可；
（3）计算出比30124小的五位数的个数，即可得到30124排第几．
【解答】解：（1）依题意，所有奇数的个数为个；
（2）数字1和3相邻的个数有个；
（3）比30124小的数的个数为：个，
所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数问题，考查间接法，属于中档题．
19．（12分）将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：
（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
【分析】（Ⅰ） 把4个小球全排列即可，
（Ⅱ）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列即可，
（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，其它小球的放法只有2种，利用乘法原理求解决即可，
（Ⅳ）根据题意，分2步进行分析：从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，再向其余3个盒子装球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，由分步计数原理计算可得答案；
【解答】解：（Ⅰ）每个盒至少一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有种不同的放法；
（Ⅱ）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法；
（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，其它小球的放法只有2种，例如：4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为，，3，，，1，，共2种，故每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有种；
（Ⅳ）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，种选法，再将其余3个盒子装球，
由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有种选法，
所以，总方法数为种．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的综合运用，解题是要特别注意小球相同与不相同的区别．
20．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求的值．
【分析】（1）由，解得，可得，当为整数，可取0，6，由此可得展开式中的有理项．
（2）设第项系数绝对值最大，则，由此解得的值，可得系数绝对值最大的项．
（3）利用二项式定理化简为，即，计算可得结果．
【解答】解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是，解得．
因为通项：，当为整数，可取0，6，
于是有理项为和．
（2）设第项系数绝对值最大，则．
解得，于是只能为7．
所以系数绝对值最大的项为．
（3）



．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数在，（2）处的切线方程；
（2）当，证明：函数存在唯一极值点，且．
【分析】（1）当时，．，可得（2），（2），利用点斜式即可得出函数在，（2）处的切线方程．
（2）函数，．，设，利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）当时，．，
（2），（2），
函数在，（2）处的切线方程为：，整理为：．
（2）证明：函数，．
，
设，
，，因此与的符号相同．
，
显然，当时，，函数单调递增．
又（1），．，
存在唯一，，使得．
对于，则有时，；，时，．
函数存在唯一极值点，，．
由，可得：，解得，
，
，，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）若在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为，令，根据函数的单调性求出的范围即可；
（2）代入的值，问题转化为证明，当时，成立，当时，令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，
因为在定义域内是单调递减函数，
则在上恒成立，
若，则，
令，得，
易知（1），且函数在上单调递减，
当时，，所以在区间上，；在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为（1），
所以当时，在定义域上单调递减；
即的取值范围是，．
（2）证明：当时，，要证，即证，
当时，，而，
故成立，即成立，
当时，令，
则，
设，则，
，，
故时，单调递增，故，即，在单调递增，
故，即成立，
综上：对任意，恒有成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
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日期：2021/12/1 15:58:47；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394