2020-2021学年江苏省苏州中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州中学高二（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）函数在上的极大值点为　　
A． B． C． D．
3．（5分）函数的大致图象为　　
A．
B．
C．
D．
4．（5分）我校文创社团近期设计了两款明信片文创作品“油池春军”和“府学春雨”，借此展示学校的文化底蕴和春天美景，一经推出，广受欢迎．为了支持慈善事业，校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片，5人分两组，每组售卖同一款明信片．若李明和张伟必须售卖同一款明信片，且每款明信片至少由两名志愿者售卖，则不同的售卖方案种数为　　
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（5分）如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是　　

A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
6．（5分）已知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围　　
A． B． C． D．，
7．（5分）实数，满足，，，则的最小值是　　
A．4 B．6 C． D．
8．（5分）拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在，上连续，且在上可导，则必有一，使得（b）（a）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分），，、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有　　
A．若、不相邻共有72种方法
B．若、两人站在一起有24种方法
C．若在左边有60种排法
D．若不站在最左边，不站最右边，有78种方法
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，则
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
11．（5分）若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）已知实数，，，满足，且，则下列结论正确的是　　
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为0
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置．
13．（5分），则　　．
14．（5分）已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是　　．
15．（5分）若的展开式中常数项为，则的值为 　　．
16．（5分）已知，则其函数的图象恒过点　　，若，的图象与轴的交点为，，过点的切线在轴上的截距为，则　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
18．（12分）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）已知，求关于的不等式的解集．
19．（12分）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选；
（Ⅰ）求甲恰有2个题目答对的概率；
（Ⅱ）求乙答对的题目数的分布列；
（Ⅲ）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
20．（12分）某农家小院内有一块由线段，，及曲线围成的地块，已知，点，到所在直线的距离分别为，，，，建立如图所示的平面直角坐标系，已知曲线是函数的图象，其中曲线是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）是函数的图象上在曲线上的动点，现要在阴影部分（即平行四边形及其内部）种植蔬菜，求种植蔬菜区域的最大面积．

21．（12分）2021年是建党一百周年，为激发我校学生学习党史、宣传党史的热情，引导同学们从历史中汲取智慧和力量，学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，苏州中学学生处组织开展“我家的红色宝藏”寻访展示系列活动．高二年级部计划将各班级推选的“红色宝藏”集中展览5天，选出“最具价值藏品”策划拍成纪录片，在七一庆祝大会上代表年级展示．现计划在五月份选定一周展览藏品，若当天不下雨，则在“香樟大道”室外布展，如当天下雨，则移至“道梦空间”室内布展．天气预报显示，当周周一至周五的5天时间内出现风雨天气的概率是：前2天均为，后3天均为（假设每一天出现风雨天气是相互独立的）．
（1）求至少有一天在“道梦空间”室内布展的概率；
（2）求在“香樟大道”室外布展的平均天数．（结果精确到
22．（12分）已知函数，
（1）试计算，，据此你能发现什么结论？证明你的结论；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，求函数在上的零点个数（提示；可以借助（1）的结论）．

2020-2021学年江苏省苏州中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【分析】化简集合、，根据交集的定义即可求出的取值范围．
【解答】解：集合且，
或，
．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）函数在上的极大值点为　　
A． B． C． D．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可．
【解答】解：，，，
解得：，
当时，，
函数在上单调递增，
当，时，，
函数在，上单调递减，
是函数的极大值点，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
3．（5分）函数的大致图象为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数为偶函数及时，，即可得解．
【解答】解：函数的定义域为，，，且，故为偶函数，由此排除选项，
当时，，，，由此排除选项．
故选：．
【点评】本题考查利用函数性质识别函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
4．（5分）我校文创社团近期设计了两款明信片文创作品“油池春军”和“府学春雨”，借此展示学校的文化底蕴和春天美景，一经推出，广受欢迎．为了支持慈善事业，校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片，5人分两组，每组售卖同一款明信片．若李明和张伟必须售卖同一款明信片，且每款明信片至少由两名志愿者售卖，则不同的售卖方案种数为　　
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3、2的两组，要求李明和张伟在同一组，②将分好的2组安排售卖两款明信片，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3、2的两组，要求李明和张伟在同一组，
若李明和张伟两人一组，有1种分组方法，
若李明和张伟和其他1人组成1组，有3种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的2组安排售卖两款明信片，有种安排方法；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是　　

A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
【分析】利用并联电路和串联电路的性质，结合相互独立事件概率乘法公式，能求出此系统的可靠性．
【解答】解：如图所示，1，2，3表示三个开关
在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，
那么此系统的可靠性是：．
故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查并联电路和串联电路的性质、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围　　
A． B． C． D．，
【分析】当与相切时，可得，直线恒过，的端点为，可得，即可得实数的取值范围．
【解答】解：当与相切时，
设切点为，可得，解得；
可得，
直线恒过，
的端点坐标为，
可得，
实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了两个函数交点的问题，判断单调性是关键，属于基础题．
7．（5分）实数，满足，，，则的最小值是　　
A．4 B．6 C． D．
【分析】利用基本不等式得到的范围，可解决此题．
【解答】解：，，，，当且仅当“”时，“”成立．

，．最小值为．
故选：．
【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．
8．（5分）拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在，上连续，且在上可导，则必有一，使得（b）（a）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】设，推导出，令，则在上单调递增，从而在上恒成立，进而在上恒成立，令，，，求出，由此能求出实数的最小值．
【解答】解：，不妨设，，
，
，
，
令，则，
即在上单调递增，
在上恒成立，
，
在上恒成立，
令，，
，
令，解得，
令，解得，
在上单调递增，在，上单调递减，
，
，
实数的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分），，、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有　　
A．若、不相邻共有72种方法
B．若、两人站在一起有24种方法
C．若在左边有60种排法
D．若不站在最左边，不站最右边，有78种方法
【分析】根据题意，由分类、分步计数原理依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：对于：把、插入到、、所形成的2个空中，共有种方法，故正确；
对于：把、捆绑在一起和插入到、、全排，共有种方法，故不正确；
对于在左边，则有种，故正确；
对于：利用间接法种方法，故正确．
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，则
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
【分析】直接利用正态分布的定义和性质，二项分布的应用，两点分布的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：知随机变量，，满足，，所以，且，则，故正确；
对于：已知随机变量服从二项分布，则，故错误；
对于：已知随机变量服从正态分布，且，则，故正确；
对于：已知随机变量服从两点分布，且，，令，则，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正态分布的定义和性质，二项分布的应用，两点分布的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11．（5分）若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
【分析】构造函数，，对函数求导，然后结合导数判断，的单调性，结合单调性分析各选项即可判断．
【解答】解：令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，
所以，即，
所以，错误，正确；
令，则，，
当时，，（1），
故在上不单调，
故时，与大小关系不确定，，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，解题的关键是根据已知不等式特征，构造函数，属于中档题．
12．（5分）已知实数，，，满足，且，则下列结论正确的是　　
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为0
【分析】由等式的性质直接可以判断选项，由基本不等式可以得出，由此判断选项，利用导数求最值可判断选项．
【解答】解：由于，，
，选项正确；
由于，解得，
的最小值为，最大值为1，故选项错误，选项正确；
由于，故，
，
令，则，
易知函数在单调递增，在单调递减，
而，
故的最大值为0，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查基本不等式的运用，利用导数研究函数的单调性及最值，考查化简变形能力及运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置．
13．（5分），则　2或5　．
【分析】根据组合数性质可解决此题．
【解答】解：，或，或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题考查组合数性质，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是　，　．
【分析】先分离出，得到在时恒成立，再处理，的最小值即可解决问题．
【解答】解：，，，也即在时恒成立．
令，，则，，令．易知在上单调递减，在，上单调递增，
故，．
故填：，．
【点评】本题主要考查导数在处理最值问题中的简单应用，属于基础题．
15．（5分）若的展开式中常数项为，则的值为 　1或9　．
【分析】依题意，利用二项式定理可得到关于的方程式，解之即可．
【解答】解：的展开式中常数项为：，
解得：或，
故答案为：1或9．
【点评】本题考查二项式定理，考查数学运算能力，属于中档题．
16．（5分）已知，则其函数的图象恒过点　　，若，的图象与轴的交点为，，过点的切线在轴上的截距为，则　　．
【分析】令，可得（1）函数的图象恒过点；令，得①，利用导数的几何意义可求得过点的切线方程，方程中令，得②，联立①②可得答案．
【解答】解：中，令，则（1），
故函数的图象恒过点；
若，的图象与轴的交点为，，
令，得，①
又，
，
过点的切线方程为，
令，得，②
由①②解得：，，
，
故答案为：；1．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数与方程思想，考查数学运算能力等核心素养，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
【分析】分别选①②③求出的值，（1）求出展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求解；（2）设第项的系数绝对值最大，则满足，再根据为自然数，即可求解．
【解答】解：选择①：，解得或（舍去）
选择②：，即，解得．
选择③：，即，
即，即．解得或（舍去）
（1）展开式通项为：，令，，
展开式中常数项为第4项，常数项为．
（2）设第项的系数绝对值最大，则满足
解得，又为整数，所以，
则系数的绝对值最大项为．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解常数项以及系数绝对值最大项的问题，考查了组合数的运算性质以及学生的运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）已知，求关于的不等式的解集．
【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断奇偶性；
（2）利用单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，进而将不等式转化为，对分类讨论，即可求解不等式的解集．
【解答】解：（1）定义域为，因为，
所以，即有，从而为奇函数．
（2）首先判断单调性
法一：定义域为，若，则，
又，
，即在单调递增．
法二：定义域为，，即在单调递增．
，而，即（1），
，即，
①时，，得解集为：，
②时，有，得解集为，
③时，，得解集为，
④时，，得解集为．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选；
（Ⅰ）求甲恰有2个题目答对的概率；
（Ⅱ）求乙答对的题目数的分布列；
（Ⅲ）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）甲答对题目数，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率．
（Ⅱ）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，能求出的分布列．
（Ⅲ）由分布列求出乙平均答对的题目数，由甲答对题目数，求出甲平均答对的题目数，从而得到甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．
【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，
选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率．
（Ⅱ）由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，
，
，
，
的分布列为：

2
3
4




（Ⅲ）乙平均答对的题目数，
甲答对题目数，
甲平均答对的题目数．
甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
20．（12分）某农家小院内有一块由线段，，及曲线围成的地块，已知，点，到所在直线的距离分别为，，，，建立如图所示的平面直角坐标系，已知曲线是函数的图象，其中曲线是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）是函数的图象上在曲线上的动点，现要在阴影部分（即平行四边形及其内部）种植蔬菜，求种植蔬菜区域的最大面积．

【分析】（1）利用题中的条件，找出点，的坐标，进而可以确定函数的解析式；
（2）利用（1）的结果，表示出四边形的面积，利用函数的单调性即可求出四边形面积的最大值．
【解答】解：（1）因为点到所在直线的距离为，且，
所以点的坐标为，且当时，．
因为点到所在直线的距离为，，，
所以点的横坐标为，所以．
因为曲线是函数的图象的一部分，所以，解得，
所以当时，，
答：解析式为．
（2）由（1）可知，因为，所以，
因为点在曲线上，设．
此时直线的方程为，令，可得，所以，
所以，，令，则，
令
则
所以当时，；当时，，
以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
答：当，即时，种植蔬菜区域的面积最大，最大面积为．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，利用函数单调性求最值，属于中档题．
21．（12分）2021年是建党一百周年，为激发我校学生学习党史、宣传党史的热情，引导同学们从历史中汲取智慧和力量，学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，苏州中学学生处组织开展“我家的红色宝藏”寻访展示系列活动．高二年级部计划将各班级推选的“红色宝藏”集中展览5天，选出“最具价值藏品”策划拍成纪录片，在七一庆祝大会上代表年级展示．现计划在五月份选定一周展览藏品，若当天不下雨，则在“香樟大道”室外布展，如当天下雨，则移至“道梦空间”室内布展．天气预报显示，当周周一至周五的5天时间内出现风雨天气的概率是：前2天均为，后3天均为（假设每一天出现风雨天气是相互独立的）．
（1）求至少有一天在“道梦空间”室内布展的概率；
（2）求在“香樟大道”室外布展的平均天数．（结果精确到
【分析】（1）记“至少有一天在‘道梦空间’室内布展”为事件，事件表示“5天在‘香樟大道’室外布展”，利用独立事件的概率求解即可．
（2）设在“香樟大道”室外布展的天数为，则，1，2，3，4，5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（1）记“至少有一天在‘道梦空间’室内布展”为事件，
则事件表示“5天在‘香樟大道’室外布展”，
有，
则，
（2）设在“香樟大道”室外布展的天数为，则，1，2，3，4，5，
于是，
，
，
，
，
，
所以，的分布列为：

0
1
2
3
4
5







，
答：在“香樟大道”室外布展的平均天数为2.3天．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，独立事件的概率的求法，是中档题．
22．（12分）已知函数，
（1）试计算，，据此你能发现什么结论？证明你的结论；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，求函数在上的零点个数（提示；可以借助（1）的结论）．
【分析】（1）根据函数的解析式，分别计算函数值，从而证明结论成立即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性分别求出函数的零点个数即可．
【解答】解：（1）（1）（4），（2），
即，
从而有，下面证明该结论成立：
．
（2）的定义域为，令，
①当△，即时，，即，
当且仅当时，，
所以在上单调递增；
②当△，即时，令，
得，且，
所以当，，时，，，
当，时，，，
所以在上单调递增，
在上单调递减；
综上：时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（2）知，当时，在，，上单调递增，在，上单调递减，
（2），又，所以，
又在在，上单调递减，所以（2），（2），
，令，则，
令（a），则（a）单调递减，
由（a），得，
从而可知当时，（a），（a）单调递增，
，所以（a），
所以（a）在上单调递减，故，即，
又因为在，上单调递增，
所以，故在区间上有一个零点，设为，则．又，
得，而，所以是的另一个零点，
故当时，函数在区间上存在三个零点．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 16:04:27；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394