2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为　　

A．2 B．2或 C． D．

2．（5分）对于函数，若（a），则实数的值为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为　　

A．四 B．三 C．二 D．一

4．（5分）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

5．（5分）函数的极大值为　　

A．18 B．21 C．26 D．28

6．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

7．（5分）若复数满足，则使取到最小值的复数为　　

A． B． C．1 D．

8．（5分）已知函数．则使不等式成立的实数的范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列给出的四个命题中，是假命题的为　　

A．任意两个复数都不能比较大小 

B．对任意， 

C．若，，且，则 

D．若，则

10．（5分）设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

11．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　

A．函数在处取得极小值 

B．是函数的极值点 

C．在区间上单调递减 

D．的图象在处的切线斜率小于零

12．（5分）设，，为复数，．下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则是纯虚数 

C．若，则 D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）计算　　．

14．（5分）已知函数，，．且，若（5），（5），（5），（5），则（5）和（5）的值分别为　　，　　．

15．（5分）函数的单调递减区间为　　．

16．（5分）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路．该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于，的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．要使观光专线的修建总成本最低，则的值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，是虚数单位）．

（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；

（2）若为纯虚数，求的模．

18．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）求函数的单调区间．

19．（12分）已知，为虚数，且满足，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求；

（2）求的最大值．

20．（12分）如图一边长为为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积是关于截去的小正方形的边长的函数．

（1）写出体积关于的函数表达式；

（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？

21．（12分）在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，，如此进行下去，在轴上得到一个点列，，，，，，记，，，，，的横坐标构成的数列为．

（1）求，，；

（2）求数列的通项公式．

22．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为　　

A．2 B．2或 C． D．

【分析】由虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，列出方程能求出实数．

【解答】解：虚数是虚数单位）的实部与虚部相等，

，

解得实数或（舍．

故．

故选：．

【点评】本题考查实数值的求法，考查复数的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

2．（5分）对于函数，若（a），则实数的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导数解析式，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，，

则，

若（a），即，解可得，

故选：．

【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．

3．（5分）已知是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为　　

A．四 B．三 C．二 D．一

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式右边，移向后求得，则答案可求．

【解答】解：由，

得，

，

则在复平面内对应的点所在的象限为一．

故选：．

【点评】本题考查复数的基本运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

4．（5分）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】根据距离的平均变化率以及平均速度的定义计算即可．

【解答】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，

故，

探测器的速度逐渐减小，

故，

故选：．

【点评】本题考查了平均变化率问题，考查平均速度的定义，是基础题．

5．（5分）函数的极大值为　　

A．18 B．21 C．26 D．28

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．

【解答】解：，

，

令，解得：或，

令，解得：，

故函数在递增，在递减，在递增，

故时，的极大值是，

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．

6．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据函数在上单调递增，可得在该区间上，即可求解得出结论．

【解答】解：根据题意，函数函数在区间上单调递增，

则有，在上恒成立，

恒成立，

在上恒成立，

此时，令，

则有二次函数的性质可知，，

当时，，，

故可得．

故选：．

【点评】本题考查函数单调性与函数导数的关系，以及恒成立条件的应用，属于基础题．

7．（5分）若复数满足，则使取到最小值的复数为　　

A． B． C．1 D．

【分析】根据复数满足，得到，进而求得结论．

【解答】解：设，

复数满足，

，

即：，

故，

当且时，取到最小值，

故选：．

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

8．（5分）已知函数．则使不等式成立的实数的范围为　　

A． B． C． D．

【分析】比较两个函数值的大小，需判断函数的单调性，即利用导函数求函数的单调性．

【解答】解：，则，

令，得，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

且，即为偶函数，

，即，即得，

故选：．

【点评】本题考查函数单调性及导函数相关性质，属于基础题型．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列给出的四个命题中，是假命题的为　　

A．任意两个复数都不能比较大小 

B．对任意， 

C．若，，且，则 

D．若，则

【分析】利用复数的运算法则与性质判断选项的正误即可．

【解答】解：任意两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以是假命题；

对任意，，满足复数的乘法的性质，所以是真命题；

若，，且，则，显然不正确，反例，，所以是假命题；

若当，时，则，因为，，所以是假命题．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的运算法则的应用，复数的性质，是基础题．

10．（5分）设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，则，正确；

对于，若，则，错误；

对于，若，则，正确；

对于，若，，为常数，错误；

故选：．

【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．

11．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　

A．函数在处取得极小值 

B．是函数的极值点 

C．在区间上单调递减 

D．的图象在处的切线斜率小于零

【分析】结合图像求出函数的单调区间，求出函数的极值点，从而求出答案即可．

【解答】解：结合图像，时，，

时，，

在递增，在递减，

故是函数的极大值点，

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查数形结合思想，是基础题．

12．（5分）设，，为复数，．下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则是纯虚数 

C．若，则 D．若，则

【分析】对于，，但；对于，设，则，由，得，，是纯虚数；对于，与是共轭复数，则；对于，与不一定能比较大小．

【解答】解：，，为复数，．

对于，若，则不一定成立，

例如，但，故错误；

对于，若，设，则，

，，，是纯虚数，故正确；

对于，若，与是共轭复数，

由共轭复数的定义和复数的模的性质得：，故正确；

对于，若，则与不一定能比较大小，故错误．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数概念等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）计算　　．

【分析】利用分式的乘方，等于分子和分母分别乘方，原式化为．

【解答】解：，故答案为．

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方．准确运算是解题的关键．

14．（5分）已知函数，，．且，若（5），（5），（5），（5），则（5）和（5）的值分别为　　，　　．

【分析】推导出，从而（5），（5），由此能求出结果．

【解答】解：函数，，．且，

，

（5），（5），（5），（5），

（5），

（5）

．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

15．（5分）函数的单调递减区间为　　．

【分析】根据题意，令，即得函数单调递减区间．

【解答】解：根据题意，，定义域为，

，令，则，

又；，

函数在上单调递减，在上单调递增，

函数的单调递减区间为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数导数与函数单调性的关系，属于基础题．

16．（5分）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路．该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于，的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．要使观光专线的修建总成本最低，则的值为　　．

【分析】利用题中的条件分别表示出观光专线的长度，进而表示出修建总成本，即可解出．

【解答】解：由题意可知弧，

，

设翻新道路的成本为，

则总成本为，，

，

令，得，，

，

即时单调递减，时单调递增，

时取最小值，即此时总成本最低．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的实际应用，函数最值得求法，学生的数学运算能力，属于基础题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，是虚数单位）．

（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；

（2）若为纯虚数，求的模．

【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解的取值范围；

（2）由实部为0且虚部不为0求得值，然后求得，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：（1）在复平面内对应的点在第四象限，

，解得．

的取值范围是；

（2）为纯虚数，

，解得，

，则，

．

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．

18．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）求函数的单调区间．

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可．

【解答】解：（1）时，，

函数的定义域是，

，

令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

故（1），无极小值；

（2），定义域是，

，

①时，，在单调递增，

②时，令，解得：，令，解得：，

故在递增，在，递减，

综上：时，在单调递增，

时，在递增，在，递减．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．

19．（12分）已知，为虚数，且满足，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求；

（2）求的最大值．

【分析】（1）先设出复数，，，，然后根据已知建立方程组，联立即可求解；（2）根据复数的几何意义即可求解．

【解答】解：（1）设，，，，

则①

为纯虚数，则②

联立①②解得，

所以或；

（2）因为，则对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，

表示的点到点的距离，

所以当复数对应的点为，即时，有最大值6．

【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的几何意义，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．

20．（12分）如图一边长为为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积是关于截去的小正方形的边长的函数．

（1）写出体积关于的函数表达式；

（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？

【分析】】设小正方形的边长为，则盒底的边长为，由于，则，且方盒是以边长为的正方形作底面，高为的正方体，其体积为，，由此利用导数性质能求出结果．

【解答】解：（1）设小正方形的边长为，则盒底的边长为，

由于，则，

且方盒是以边长为的正方形作底面，高为的正方体，

其体积为，；

（2），令，则

对于，，，，，

函数在点处取得极大值，由于问题的最大值存在，

为容积的最大值，此时小正方形的边长为．

【点评】本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想．体现了实际问题数学化的思想，注意发挥导数的工具作用．

21．（12分）在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，，如此进行下去，在轴上得到一个点列，，，，，，记，，，，，的横坐标构成的数列为．

（1）求，，；

（2）求数列的通项公式．

【分析】（1）由，，，可求得过的切线方程为，令得点的横坐标为，于是可得，而，从而可求得，，；

（2）由（1）知数列是首项与公比均为2的等比数列，可求得数列的通项公式．

【解答】解：（1）因为，，

，，

过的切线方程为，即，

令得点的横坐标为，

，

，

，，；

（2）由（1）知，

，又，

数列是首项与公比均为2的等比数列，

，

．

【点评】本题考查数列与函数的综合，求得过的切线方程是关键，考查函数与方程思想及化归思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围．

【分析】（1）由题意求出切点的坐标，切线的斜率，用点斜式求出切线的方程．

（2）由题意，当时，恒成立．利用导数求得在上的最小值，可得的范围．

【解答】解：（1）对于函数，当时，，

此时，切线的斜率为，

故此处的切线方程为，即．

再根据曲线在处的切线方程为，

可得，且，

，且．

（2）对任意，都有恒成立，

当时，恒成立．

，则，由于，，而是上的增函数，

故存在实数，使，故在上小于零，在上大于零，

故在上递减，在上递增，

故的最小值为．

而，故在上，恒成立，即在上单调递减．

当时，，故在上单调递增，故的最小值为，

，故的范围为，．

【点评】本题主要考查函数的导数的几何意义，求曲线的切线方程，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，属于难题．

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日期：2021/12/1 16:06:42；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394