2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数满足，则复数的虚部为　　
A． B． C． D．1
2．（5分）在的展开式中，的系数是　　
A．60 B． C． D．
3．（5分）将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为　　
A．360 B．312 C．264 D．288
4．（5分）在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为　　
A． B． C． D．
5．（5分）曲线在处的切线方程为　　
A． B． C． D．
6．（5分）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是　　
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
7．（5分）函数的大致图象是　　
A．
B．
C．
D．
8．（5分）已知函数，对于任意、，都有恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是　　
A．若复数，满足，则
B．
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数满足，则的最小值为1
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为729
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
11．（5分）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是　　

A．平面平面
B．三棱锥体积最大值为
C．当为中点时，直线与直线所成的角的余弦值为
D．直线与所成的角不可能是
12．（5分）对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是　　
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。
13．（5分）若，则　　．
14．（5分）已知函数，则　　．
15．（5分）已知，则　　；　　；．
16．（5分）已知关于的方程有3个不等的实数根，则的取值范围是　　．
四、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10分）（1）计算；
（2）设复数，．（其中，，若是纯虚数，且在复平面内对应的点在直线上，求．
18．（12分）现有编号为，，，，，的6个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）
（2）若将这些小球排成一排，且，，三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）
（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（请用数字作答）
19．（12分）已知在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知函数．
（1）若函数在区间，是增函数，求的取值范围；
（2）若函数在区间，上的最小值为，求的表达式．
21．（12分）已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体．

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
22．（12分）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．

2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数满足，则复数的虚部为　　
A． B． C． D．1
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出结论．
【解答】解：，，
，
则复数的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）在的展开式中，的系数是　　
A．60 B． C． D．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为2求出展开式中项的系数．
【解答】解：，
令的指数为2，即，；
的系数为：；可排除、、．
故选：．
【点评】本题考查二项式定理，解决的方法是利用二项展开式的通项公式，属于容易题．
3．（5分）将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为　　
A．360 B．312 C．264 D．288
【分析】根据题意，按五位偶数的个位数字是否为0分2种情况讨论，求出每种情况的五位数数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①0在五位数的个位，在剩下5个数中任取4个，安排在前4个数位，有个五位偶数；
②0不在五位数的个位，则五位数的个位可以为2或4，首位数字有4种选择，
在剩下4个数中任取3个，安排在中间3个数位，有种选择，
则此时有个五位偶数，
则一共有个五位偶数；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】连接，，交于点，连接，则或其补角即为所求，再在中，利用勾股定理求得三边长，然后由余弦定理，即可得解．
【解答】解：连接，，交于点，连接，则为的中点，
为的中点，
，，
或其补角为直线与直线所成的角，
在中，，，
由余弦定理知，，
直线与直线所成的角的余弦值为．

故选：．
【点评】本题考查异面直线所成的角，利用平移法找到异面直线的平面角是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5．（5分）曲线在处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】已知对其进行求导，求在处的斜率，根据点斜式，写出在点处的切线方程．
【解答】解：，
，在处的切线斜率，
，
在处的切线方程为：，
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解此题的关键是要对能够正确求导，此题是一道基础题．
6．（5分）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是　　
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【分析】袁式等于，利用二项式定理展开，求出它除以7的余数，可得结论．
【解答】解：，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以4的余数为，，
故经过天后是星期六，
故选：．
【点评】本题主要考查利用二项式定理证明整除性问题，属于中档题．
7．（5分）函数的大致图象是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】设，求函数的导数，研究函数的单调性，和取值范围即可．
【解答】解：当或时，无意义，即函数的定义域为且，
设，则．
当，，此时为减函数，则（1），
则且为增函数，排除，，
当时，，此时为增函数，则（1），
则且为减函数，排除，
故选：．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，设分母为，求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键，是中档题．
8．（5分）已知函数，对于任意、，都有恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】原问题，等价于，不妨令，即等价于函数在上单调递增，转化使在恒成立，求的范围．
【解答】解：对于任意、，都有恒成立，
等价于，
不妨令，即等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立．

或，
或，
综上，，
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导函数判断函数单调性，分类讨论以及转化思想的应用，属于中档题．．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是　　
A．若复数，满足，则
B．
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数满足，则的最小值为1
【分析】通过举例可判断；通过复数运算可解决；通过运算结合复数几何意义可解决；通过复数几何意义可解决．
【解答】解：令，，满足，但且，错；
，对；
，，
复平面内对应的点位于第三象限．错；
复数满足，
复数和1对应的向量和的对角线相等，
复数和1对应的向量和构成一个矩形，
复数和1对应的向量垂直，复数对应的向量在虚轴上，
的最小值为点到虚轴距离，最小值为1，对．
故选：．
【点评】本题考查复数的运算及几何意义、数形结合思想，考查数学运算能力，属于基础题．
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为729
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
【分析】由题意利用二项式系数的性质可得，再利用通项公式．检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：的二项展开式中二项式系数之和为，，
再令，可得二项展开式中各项系数之和为，故正确；
显然，当时，二项式系数最大，该项为，故错误；
令通项公式中的幂指数，求得，可得常数项，故错误；
由于第项的系数为，检验可得，当时，系数最大，该项为，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11．（5分）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是　　

A．平面平面
B．三棱锥体积最大值为
C．当为中点时，直线与直线所成的角的余弦值为
D．直线与所成的角不可能是
【分析】选项中，直接由正方体的性质证明即可；
选项中将求体积的最大值转化为求到面的距离的最大值即可；
，选项可利用平行四边形的方法，将异面直线夹角转化为求相交直线夹角即可；
【解答】解：在正方体中，
面，面，
面面，
故选项正确；
设到面的距离为，
，
当点运动到线段的端点时，最大，且距离为1．
三棱锥的体积最大值为，
故选项正确；
如图，将延长至，使，连，，

易得，
直线与直线所成角即为直线与直线所成的角，即，
易得，，，
，
故选项正确；

，
直线与直线所成角就是，
当从点沿着线段向点运动时，逐渐变大，
，
故在点和点之间，必定存在一点使得，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了空间中面面垂直的判定，三棱锥的体积，以及异面直线所成的角，属于中档题．
12．（5分）对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据所给条件①②③，对各个选项就行验证即可．
【解答】解：对于，符合条件①，
条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
对于，，则当时，，当时，，满足②；
当，令，
则，
令，则，于是，
在上单调递增，
，故满足条件③，
为“偏对称函数”，故正确；
对于，符合条件①，
，函数在递增，不符合条件②，故不满足题意；
对于，符合条件①，
显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合条件②，
画出函数的图象，如图示：

当且时，都有，符合条件③，故正确；
对于：对于，，满足条件①；
，由复合函数的单调性法则知：
在区间上单调递减，在上单调递增，满足条件②．
由函数的单调性知：当，且时，都有，满足条件③，
是“偏对称函数”，故正确；
故选：．
【点评】本题考查“偏对称函数”的判断，考查函数单调生、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。
13．（5分）若，则　56　．
【分析】由组合数公式的性质列式求得值，进一步求解得答案．
【解答】解：由，
得，或，
则，或．
当时，；
当时，．
故答案为：56．
【点评】本题考查组合及组合数公式的应用，是基础的计算题．
14．（5分）已知函数，则　1　．
【分析】先对原函数求导，然后代入，求出，则可求．
【解答】解：由已知，
．．
．
．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的运算和求值，注意是常数系数．同时考查学生利用方程思想解决问题的能力和运算能力．属于基础题．
15．（5分）已知，则　2　；　　；．
【分析】注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
【解答】解：，则令，可得，
再令，可得，．
，
令，可得，
故答案为：2，4042．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
16．（5分）已知关于的方程有3个不等的实数根，则的取值范围是　　．
【分析】依题意，或，设，则函数的图象与直线及共有三个交点，作出函数的图象，观察图象即可得到关于的不等式，进而得解．
【解答】解：由得，则或，即或，
设，依题意，函数的图象与直线及共有三个交点，
由得，，易得函数在单调递增，在单调递减，
且，时，，时，，作出函数的图象如下图所示，

由图可知，当或时满足题意，即或．
故答案为：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，函数与方程的综合运用，利用导数研究函数的最值等知识点，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．
四、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10分）（1）计算；
（2）设复数，．（其中，，若是纯虚数，且在复平面内对应的点在直线上，求．
【分析】（1）计算，根据，可得，利用复数的运算法则即可得出．
（2），利用是纯虚数，可得，即．根据在复平面内对应的点在直线上，即可得出，，进而得出
．
【解答】解：（1），
，，
（4分）
（2）
因为是纯虚数，所以，即，
又因为，
所以在复平面内对应的点为，
所以得，（8分）
因为，
所以（10分）
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）现有编号为，，，，，的6个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）
（2）若将这些小球排成一排，且，，三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）
（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（请用数字作答）
【分析】（1）根据题意，由排列数公式计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：先将、、三个小球排好，排好后，有4个空位，在其中任选3个，安排三个小球，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①将6个小球分为3组，②将分好的三组小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，将6个不同的小球排成一排，有种不同的排法；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①将、、三个小球排好，有种排法，
②排好后，有4个空位，在其中任选3个，安排三个小球，有种排法，
则有种不同的排法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将6个小球分为3组，
若分为2、2、2的三组，有种分组方法，
若分为3、2、1的三组，有种分组方法，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将分好的三组小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，有种情况，
则有种放法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题，
19．（12分）已知在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求锐二面角的余弦值．

【分析】（1）取的中点为，分别连接，，证明四边形是平行四边形，推出，然后证明平面．
（2）由，，三条直线两两相互垂直．以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积求解锐二面角的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取的中点为，分别连接，，

又因为为的中点，所以，且
又因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面，平面，所以平面．（5分）

（2）解：由，，三条直线两两相互垂直．
以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，
因为在四边形中，，，，
所以点在线段的垂直平分线上．又因为，
所以
所以有点，0，，，1，，，2，，，
所以
设平面的一个法向量，
则，令，得，
易知平面的一个法向量为，（9分）
因为，
所以，（11分）
所以锐二面角的余弦值为．（12分）

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力转化思想以及计算能力，是中档题，（本题可以用综合法求解，取中点，连接，，设与交于点，连接，证明为二面角的平面角．
20．（12分）已知函数．
（1）若函数在区间，是增函数，求的取值范围；
（2）若函数在区间，上的最小值为，求的表达式．
【分析】（1）条件转化在，恒成立，然后求解的范围即可．
（2）求出函数的导数，通过的范围，转化求解最小值，得到函数的解析式即可．
【解答】解：（1）由题意，在，恒成立，
恒成立，，．
（2），
当时，即时，在区间，上递增，
，
当时，即时，在区间，上递减，在区间，上递增，
，
当时，即时，在区间，上递减，
，
综上，．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是中档题．
21．（12分）已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体．

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
【分析】（1）证明，，，证明平面，然后证明平面平面．
（2）过点作于点，说明线段的长即为点到平面的距离，然后转化求解点到平面的距离为．
（3）建系如图，求出平面的法向量，设，，，，然后转化求解即可．
【解答】（1）证明：平面平面，平面，
平面平面，，平面，
平面，，四边形是正方形，，
、平面，，平面
平面，平面平面（3分）
（2）解：过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以线段的长即为点到平面的距离，
在中，，由等积变换，
得，
即点到平面的距离为．
（说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）

（3）解：建系如图，
设平面的法向量，，0，，，0，，，1，，
，，令，则，
则，
设，，，，则
解得或（舍（10分）
故，（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，点线面距离的求法，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．
【分析】（1）求得函数的导数，求解不等式，即可；
（2）利用函数有两个不同的极值点，，可得，不等式有解，等价于．求得即可；
（3）要证，即证，即，即，
设上式转化为，即可．
【解答】解：（1）当，时，，
，
，令，则，
令，则，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：由题可得，
函数有两个不同的极值点，，
方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．
不等式有解，．

．
设（a），（a），
故（a）在上单调递增，故（a），
．故实数的取值范围为．
（3），设的两个相异零点为，，
设，欲证，需证．
，，
，，
，．
要证，即证，
即，即，
设上式转化为，
设，．
在上单调递增，
（1），
，
，
．
【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、计算能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 15:56:51；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394