2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班19级高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班19级高二（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班19级高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）命题，的否定为　　
A．， B．，
C．， D．，
2．（5分）若集合，或，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
4．（5分）若的展开式中第3项的二项式系数是15，则为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（5分）已知随机变量，有下列四个命题：
甲：
乙：
丙：
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
7．（5分）有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本．现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为，则　　
A．， B．，
C．， D．，
8．（5分）单调增函数对任意，满足，若恒成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．（5分）下列叙述正确的是　　
A．集合中的最小数是1 B．
C．方程的解集是 D．，3，与，2，是相等的集合
10．（5分）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
11．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是　　
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是
C．他至少击中目标1次的概率是
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为
12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是　　
A．是周期函数 B．的值域是，
C．在上是增函数 D．，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）　　．
14．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数，其中的各位数中，，，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，的数学期望　　．
15．（5分）将5张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有　　．
16．（5分）在的展开式中，常数项为　　．
四、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（12分）（1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（12分）已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减．
20．（12分）已知二次函数．
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围．
21．（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有、两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制．假设、两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．
（Ⅰ）求大于4的概率；
（Ⅱ）求的分布列与数学期望．
22．（12分）东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：
销售量（份
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
（视样本频率为概率）
（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望
（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班19级高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）命题，的否定为　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）若集合，或，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知中集合和，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：集合，或，

故选：．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
3．（5分）已知集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
【分析】可以求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）若的展开式中第3项的二项式系数是15，则为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】依题意可得，求得即可．
【解答】解：由
得，解得，或（舍，
故选：．
【点评】本题考查二项式定理，考查组合数公式的应用，属于基础题．
5．（5分）已知随机变量，有下列四个命题：
甲：
乙：
丙：
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由已知结合选项可得乙、丙必为真命题，求得，则，再由正态分布曲线的对称性分析甲与丁即可．
【解答】解：只有一个是假命题，乙、丙必为真命题（乙与丙共真假），
，则，
由正态分布曲线的对称性可得，，
，则甲为真命题，丁为假命题，
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．（5分）某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
【分析】小凯必须与2位老人都相邻，用捆绑法，有，两位老人不排在两端，则小凯与2位老人在2、3、4或3、4、5位置，其余有，利用乘法原理即可得出结论．
【解答】解：小凯必须与2位老人都相邻，用捆绑法，有，两位老人不排在两端，则小凯与2位老人在2、3、4或3、4、5位置，其余有，故共有种，
故选：．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7．（5分）有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本．现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为，则　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】的所有可能取值为0，1，2，先根据超几何分布的概率计算公式逐一求出每个的取值所对应的概率，再由数学期望的计算方法即可得解．
【解答】解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，
，，，
数学期望．
故选：．
【点评】本题考查超几何分布、离散型随机变量的数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
8．（5分）单调增函数对任意，满足，若恒成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据，，分别令，，即可奇函数；再根据在上是单调增函数，且是奇函数，将对任意恒成立，转化为对任意成立，进而可利用换元法及分类讨论的思想，即可求得实数的取值范围．
【解答】解：令，代入，，得，即．
令，代入，，得，
又，则有．
即对任意成立，所以是奇函数，
即在上是单调增函数，又知是奇函数．
，
，
对任意成立．
令，问题等价于对任意恒成立．
令，其对称轴为，
当，即时，，符合题意；
当，即时，则△，，
综上，．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有综合性．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．（5分）下列叙述正确的是　　
A．集合中的最小数是1 B．
C．方程的解集是 D．，3，与，2，是相等的集合
【分析】根据集合的定义以及子集的定义对应各个选项逐个判断即可．
【解答】解：选项：因为集合中最小的数为0，故错误，
选项：因为，所以正确，
选项：方程，所以，故正确，
选项：由集合元素的无序性可得正确，
故选：．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生对集合的定义的理解能力，属于基础题．
10．（5分）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可．
【解答】解：对于，的定义域是，的定义域是，
故中与不表示同一函数；
对于，，的定义域和对应法则都相同，
故中与表示同一函数；
对于，的定义域为，的定义域是，
故中与不表示同一函数；
对于，的定义域是，的定义域是，
故中与不表示同一函数．
故选：．
【点评】本题考查同一函数的判断，考查函数的定义域、对应法则等基础知识，是基础题．
11．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是　　
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是
C．他至少击中目标1次的概率是
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为
【分析】运用独立性事件发生的概率公式和对立事件的概率，运用排除法和分类讨论方法，可得所求结论．
【解答】解：对于，某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，
他第3次击中目标的概率是0.9，故正确；
对于，他恰好击中目标3次的概率是：，故错误；
对于，他至少击中目标1次的对立事件为：他一次都没有击中，
他至少击中目标1次的概率是，故正确；
对于，他恰好有连续2次击中目标的概率为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是独立性事件发生的概率求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是　　
A．是周期函数 B．的值域是，
C．在上是增函数 D．，
【分析】直接利用定义性函数和函数的性质的应用判断、、、的结论．
【解答】解：由题意，
所以，可得到函数是周期为1的函数，
且值域为，，
在上单调递减，
故选项、正确，错误；
对于选项，，所以选项错误，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的性质，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）　0　．
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：．
故答案为：0．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，是基础题．
14．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数，其中的各位数中，，，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，的数学期望　　．
【分析】由题意可得：，即可得出．
【解答】解：由题意可得：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）将5张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有　240　．
【分析】先将5张贺卡分成4组，然后进行全排列即可．
【解答】解：每名同学至少1张，则有一位同学有2张贺卡，
即种，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，先分组后排列的是解决本题的关键，是基础题．
16．（5分）在的展开式中，常数项为　　．
【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．
【解答】解：，
常数项是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
四、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）可求出集合，然后进行并集的运算即可；
（2）进行补集的运算即可；
（3）进行交集和补集的运算即可．
【解答】解：（1），，
；
（2），或；
（3），或．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）（1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）由，使得是真命题，可得△，解得即可．
（2）由，得，对于命题，解一元二次不等式，求得的范围，由是的必要不充分条件，即．解出即可．
【解答】解：（1），使得是真命题，
△，△，
解得．
实数的取值范围是．
（2）由，
得，即命题为：，．
而为：，
解得．
又是的必要不充分条件，即．
，解得，
即实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、一元二次不等式的解法、含绝对值的不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减．
【分析】（1）由幂函数的定义得，解得或．再由幂函数的单调性进行判断，能求出的解析式．
（2）由．任取，，令，利用定义法能证明在区间上单调递减．
【解答】（1）解：由题可知：，解得或．
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件．
故．
（2）证明：由（1）可知，．
任取，，令，
则．
因为，所以，，，
所以，即，故在区间上单调递减．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调性的证明，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
20．（12分）已知二次函数．
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围．
【分析】（1）分，两种情况求出二次函数的增区间，使为增区间的子集即可；
（2）在，上恒成立，等价于在，上的最小值大于等于2，利用导数即可求得其最小值；
（3）设，则恒成立，分离出参数后转化为求函数最值即可解决；
【解答】解：显然（1）若，的增区间为，，而函数在上单调递增，不符合题意；
若，则，其增区间为．
又在上单调递增，所以有，解得，
故，所以实数的取值范围为：．
（2）即，令，
则在，上恒成立，等价于，
，
①当时，，，，在，上递增，
（1），解得；
②当时，，此时在，上递减，
（2），解得，（舍
综上，实数的取值范围为．
（3）在上是增函数，
设，则，
，，
因为，所以，
而，，
所以．
【点评】本题考查二次函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．
21．（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有、两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制．假设、两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．
（Ⅰ）求大于4的概率；
（Ⅱ）求的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）依题意可知，的可能取值最小为4．当时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着连胜4场，或连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得的概率为．
（Ⅱ）的可能取值为4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，的可能取值最小为4．
当时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着连胜4场，或连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得
．
．
即的概率为． （4分）
（Ⅱ）的可能取值为4，5，6，7，可得
，，
，，
（8分）
的分布列为：

4
5
6
7





（10分）
的数学期望为：． （12分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
22．（12分）东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：
销售量（份
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
（视样本频率为概率）
（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望
（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
【分析】（1）计算的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；
（2）分别计算两种情况下所获利润的数学期望，得出结论．
【解答】解：（1）的可能取值有30，31，32，33，34，35，36，
其中，，
，
，
，
，
．
的分布列为：

30
31
32
33
34
35
36

0.04
0.12
0.25
0.28
0.22
0.08
0.01
．
（2）当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为，则的可能取值有104，116，128，
且，，，
．
当一次性购进33份食品时，设没两天的利润为，则的可能取值有96，108，120，132．
且，，，，
．
，
东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 16:07:19；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394