2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在等差数列中，已知，，则等于　　A．18 B．20 C．22 D．242．（5分）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为　　A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是　　①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列．A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　A．5或 B．5或 C．或 D．或6．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　A． B． C． D．7．（5分）已知数列满足，则　　A． B． C． D．8．（5分）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，若直线与曲线交于，两点，且中点坐标为，那么直线的方程为　　A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）已知直线和圆，则　　A．直线恒过定点 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．存在使得直线与直线垂直 D．直线与圆相交10．（5分）已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有　　A． B．最小 C． D．11．（5分）已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是　　A．的单调减区间是， B．的极小值是 C．过点只能作一条直线与的图象相切 D．有且只有一个零点12．（5分）数列的通项公式满足，下列描述中正确的有　　A．当时，数列一定有最大值 B．当时，数列为递减数列 C．当时，数列为递减数列 D．当，且为整数时，数列必存在两项相等的最大项三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知，用割线逼近切线的方法可以求得　　．14．（5分）已知，为椭圆的焦点，点在椭圆上，，则△的面积为 　　．15．（5分）已知数列的通项公式为，前项和为，当取得最小值时，的值为 　　．16．（5分）已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数的取值范围为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列中，（1），，求；（2），，求的值．18．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上，圆心也在直线上．（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程．19．（12分）如图，矩形的两个顶点位于轴上，另两个顶点位于抛物线在轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长．20．（12分）是公差为1的等差数列，．正项数列的前项和为，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．①记，求的通项公式；②求的值．21．（12分）已知中心在坐标原点的椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，，分别为椭圆的上下顶点，且满足．（1）求椭圆方程；（2）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，若为线段的中点，求直线的方程；（3）过椭圆内的一点，作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别是，，若对于任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数为非零常数）（1）若在处的切线经过点，求实数的值；（2）有两个极值点，．①求实数的取值范围；②若，证明：．
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在等差数列中，已知，，则等于　　A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：设等差数列的公差为，，，，，解得：．故选：．2．（5分）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：令，得到，解得，所以；令，得到，解得，所以．故选：．3．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如图，点作轴的垂线，垂足为， 由题知，，即，，，，点到准线的距离为．故选：．4．（5分）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是　　①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意得，，，①，故是等比数列；②，故是等比数列；③，故是等比数列；④当时，显然不符合等比数列．故选：．5．（5分）若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　A．5或 B．5或 C．或 D．或【解答】解：①当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程，可令，，则，；②当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程，可令，，则，；故选：．6．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，则．若函数在上有大于零的极值点．即有正根．当有成立时，显然有，此时．由，得参数的范围为．故选：．7．（5分）已知数列满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，故选：．8．（5分）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，若直线与曲线交于，两点，且中点坐标为，那么直线的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：设上点，曲线上点的坐标为，由题意可知，，即，，又，，即，设，，，，则，得，，则，两式作差得，即，即，即的斜率，则的方程为，即，经检验知满足直线和椭圆相交，故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）已知直线和圆，则　　A．直线恒过定点 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．存在使得直线与直线垂直 D．直线与圆相交【解答】解：直线，即，则直线恒过定点，故错误；当时，直线，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长为，故错误；当时，直线与直线垂直，故正确；定点在圆内部，直线与圆相交，故正确；故选：．10．（5分）已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有　　A． B．最小 C． D．【解答】解：是等差数列，，所以，即，所以，正确；由于无法判断公差的正负，不能确定是否最小，错误；，所以，正确；无法确定，错误．故选：．11．（5分）已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是　　A．的单调减区间是， B．的极小值是 C．过点只能作一条直线与的图象相切 D．有且只有一个零点【解答】解：，令，解得：或，令，解得：，则在递增，在，递减，在递增，故（1），，故只有1个零点，故错误，正确，过点只能作1条直线与的图象相切，设切点为，，，，故切线方程是，将代入得：，令，则，故在，，递增，在递减，，，故方程只有1个解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故正确，故选：．12．（5分）数列的通项公式满足，下列描述中正确的有　　A．当时，数列一定有最大值 B．当时，数列为递减数列 C．当时，数列为递减数列 D．当，且为整数时，数列必存在两项相等的最大项【解答】解：根据题意，数列的通项公式满足，则有，依次分析选项：对于，当时，，则有，时，有，即，时，有，即，时，，有，则是数列的最大值，正确；对于，当时，，则有，时，有，即，数列不是递减数列，错误；对于，，则，当时，由于，必有，即，数列为递减数列，正确；对于，当，且为整数时，设，，当时，，即，数列递增，当时，，即，数列递减，，，故数列必存在两项相等的最大项正确；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知，用割线逼近切线的方法可以求得　　．【解答】解：．故答案为：．14．（5分）已知，为椭圆的焦点，点在椭圆上，，则△的面积为 　　．【解答】解：由椭圆的方程可得，，则，可得，，由椭圆的定义可得，，在△中，由余弦定理可得：，而，则，所以可得，所以，故答案为：．15．（5分）已知数列的通项公式为，前项和为，当取得最小值时，的值为 　7　．【解答】解：，可得，即时，；时，．当取得最小值时，．故答案为：7．16．（5分）已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数的取值范围为 　　．【解答】解：定义域为，，当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；当时，在，上，单调递增；在上，单调递减，故，又因为时，；时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令（a），（a），（a）单调递增，又（1），故当时，．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列中，（1），，求；（2），，求的值．【解答】解：（1）根据题意，若，，则；（2）根据题意，若，，则，则．18．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上，圆心也在直线上．（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）由题设知，点，又也在直线上，，，圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）当直线垂直于轴时，与圆相切，此时直线方程为．．．．．．．．．．．．（6分）当直线与轴不垂直时，设过点的切线方程为，即，则，解得，．．．．．．．．．．．．．（10分）此时切线方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）综上所述，所求切线为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）19．（12分）如图，矩形的两个顶点位于轴上，另两个顶点位于抛物线在轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长．【解答】解：设点，那么矩形面积，，．（5分），令，解得（负舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）所以在上单调递增，在，上单调递；．．（9分）所以当时，有最大值．此时．．．．．．．．．．．．（11分）答：当矩形面积最大时，矩形边长，长（12分）20．（12分）是公差为1的等差数列，．正项数列的前项和为，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．①记，求的通项公式；②求的值．【解答】解：（1）设数列的公差为，由，可得，所以的通项公式为，当，，得，当时，，，两式相减得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，则；（2）①，，两式相加，得，所以；②，，两式相减得：，所以．21．（12分）已知中心在坐标原点的椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，，分别为椭圆的上下顶点，且满足．（1）求椭圆方程；（2）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，若为线段的中点，求直线的方程；（3）过椭圆内的一点，作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别是，，若对于任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围．【解答】解：（1）设，，，，，①又，②，③由①②③得，，所以椭圆方程为．（2分）（2）由题，设直线，联立，得，，那么，，中点，（4分）所以，又，得，解得或，所以直线为：或．．（6分）（3）设直线，联立方程，得，设，，，，则，，（8分）由对任意成立，得，（10分）点在椭圆内，所以，，所以，所以的取值范围为，．（12分）22．（12分）已知函数为非零常数）（1）若在处的切线经过点，求实数的值；（2）有两个极值点，．①求实数的取值范围；②若，证明：．【解答】解：（1）函数，可得：，，切线方程为，将点代入解得：（2分）（2）①，当时，即时，，在上单调递增；（3分）当时，由得，，故在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增；（4分）当时，由得，，在，上单调递减，在，上单调递，（5分）综上，当时，有两个极值点，即，即的范围是，（6分）②证明：由（2）可知，，又由，可知，，可得，（7分）要证，即证，即证，即证，即证，．（9分）令函数，，，故在上单调递增，（10分）又，所以在上恒成立，即，所以（12分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:11:24；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367