2021-2022学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）过两点和的直线的斜率为　　

A． B． C． D．

2．（5分）若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为　　

A． B．2 C． D．4

3．（5分）抛物线的焦点坐标是　　

A． B． C． D．

4．（5分）直线被圆截得的弦长为　　

A． B．2 C． D．4

5．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．10

6．（5分）已知，若，则　　

A． B．2 C． D．

7．（5分）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为4天，那么感染人数超过1000人大约需要（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染　　

A．20天 B．24天 C．28天 D．32天

8．（5分）设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）垂直于直线且与圆相切的直线的方程是　　

A． B． C． D．

10．（5分）在等差数列中，若，，则　　

A． B． 

C．的最大值为45 D．时，的最大值为19

11．（5分）设为实数，方程，下列说法正确的是　　

A．若此方程表示圆，则圆的半径是 

B．若此方程表示双曲线，则的取值范围是 

C．若此方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 

D．若此方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

12．（5分）关于切线，下列结论正确的是　　

A．过点，且与圆相切的直线方程为 

B．过点且与抛物线相切的直线方程为 

C．曲线在处的切线的方程是 

D．过点且与曲线相切的直线方程为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）设，若直线与直线平行，则的值是 　　．

14．（5分）经过两点的双曲线的标准方程是 　　．

15．（5分）数列的前项和满足：，则　　．

16．（5分）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：，为太阳落山后的时间（单位：．当　　时，蜥蜴体温的瞬时变化率为．

四、解答题：本共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在等差数列中，已知公差，前项和（其中．

（1）求；

（2）求和：．

18．（12分）已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点，满足，求的值．

19．（12分）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

20．（12分）设，已知函数．

（1）若（1），求函数在，（1）处切线的方程；

（2）求函数在，上的最大值．

21．（12分）已知直线与抛物线交于，两点．

（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；

（2）若，交于，求的值．

22．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个不相等的零点，，证明：．

2021-2022学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）过两点和的直线的斜率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：过两点和的直线的斜率为，

故选：．

2．（5分）若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为　　

A． B．2 C． D．4

【解答】解：设该数列为，则，，

所以，

所以或．

故选：．

3．（5分）抛物线的焦点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线的方程为，即

，解得

因此抛物线的焦点坐标是．

故选：．

4．（5分）直线被圆截得的弦长为　　

A． B．2 C． D．4

【解答】解：圆的圆心到直线的距离，

半径，

所以弦长为，

故选：．

5．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．10

【解答】解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是，设其方程为，，

又由双曲线经过点，则有，所以，

则要求双曲线的方程为；，，则，

所以双曲线的离心率为：．

故选：．

6．（5分）已知，若，则　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：，

，

．

故选：．

7．（5分）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为4天，那么感染人数超过1000人大约需要（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染　　

A．20天 B．24天 C．28天 D．32天

【解答】解：设第轮感染的人数为，

则由题意知数列是首项，公比为的等比数列，

由，可得，，

两边取对数得：，，

平均感染周期为4天，感染人数超过1000人大约需要天．

故选：．

8．（5分）设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，即，整理得．

又，，

令，，

，

令得，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

且，且时，，作出函数的图象，如图所示，

若的整数有且仅有两个，即的整数有且仅有两个，

显然，且需满足，即，

解得，

即的取值范围是，．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）垂直于直线且与圆相切的直线的方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：与直线垂直的直线的斜率为，

设所求直线方程为，即．

圆的圆心坐标为，半径为4，

由，得．

垂直于直线且与圆相切的直线的方程是：和．

故选：．

10．（5分）在等差数列中，若，，则　　

A． B． 

C．的最大值为45 D．时，的最大值为19

【解答】解：等差数列中，，，

所以，

所以，正确；

，正确；

因为，，

所以当或时，取得最大值45，正确；

，

则，即的最大值18，错误．

故选：．

11．（5分）设为实数，方程，下列说法正确的是　　

A．若此方程表示圆，则圆的半径是 

B．若此方程表示双曲线，则的取值范围是 

C．若此方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 

D．若此方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

【解答】解：方程表示圆，可知，所以，此时圆的半径为：，所以正确；

方程是双曲线，可得，解得或，所以不正确；

方程表示焦点在轴上的双曲线，，可得，所以正确；

方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得的取值范围是，所以不正确；

故选：．

12．（5分）关于切线，下列结论正确的是　　

A．过点，且与圆相切的直线方程为 

B．过点且与抛物线相切的直线方程为 

C．曲线在处的切线的方程是 

D．过点且与曲线相切的直线方程为

【解答】解：对于选项点，在圆上，点，为切点，

连接圆心与切点，的直线的斜率为，

切线的斜率为，

切线的方程为，即，故选项正确，

对于选项：显然切线的斜率一定存在且不为0，设切线方程为，即，

联立方程，消去得，

△，解得，

切线方程为，即，故选项正确，

对于选项，曲线在处的切线的斜率为，

曲线在处的切线的方程是，即，故选项错误，

对于选项：设切点坐标为，，

，切线的斜率为，

切线方程为，

又切线过点，，

又，，

，

切线的斜率为，

切线方程为，即，故选项正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）设，若直线与直线平行，则的值是 　　．

【解答】解：若直线与直线平行，

所以，

解得（正值舍去）．

故答案为：．

14．（5分）经过两点的双曲线的标准方程是 　　．

【解答】解：设所求双曲线方程为，

两点在双曲线上，

，

解得：，，

双曲线方程是：．

故答案为：．

15．（5分）数列的前项和满足：，则　　．

【解答】解：当时，；

当时，，

所以数列的通项公式为．

故答案为：．

16．（5分）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：，为太阳落山后的时间（单位：．当　5　时，蜥蜴体温的瞬时变化率为．

【解答】解：根据题意，，其导数，

若蜥蜴体温的瞬时变化率为，即，

解得，即当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为．

故答案为：5．

四、解答题：本共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在等差数列中，已知公差，前项和（其中．

（1）求；

（2）求和：．

【解答】解：（1）由题意可得，解得，

所以．

（2）由（1）可知，数列的通项公式为，

令，则，

当时，，所以；

当时，，所以，

综上所述，．

18．（12分）已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点，满足，求的值．

【解答】解：（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，

因为，

所以，，可得，焦点在轴上，

所以椭圆的标准方程为：；

（2），在椭圆上，可得，则，

因为，则，

即，，，

可得，

即，

可得，整理可得：，

解得．

19．（12分）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【解答】解：（1）因为，，成等比数列，

所以，

又，，所以，

所以或（舍，

所以；

（2）因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

20．（12分）设，已知函数．

（1）若（1），求函数在，（1）处切线的方程；

（2）求函数在，上的最大值．

【解答】解：（1），，

（1），，解得．

（1），

函数在，（1）处切线的方程为：，

化为：．

（2）由，，，，．

①当时，，函数在，上单调递增，（2）．

②当，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．

而，（2），，（2）．

时，（2），（2）．

时，（2），（2）．

时，（2），．

③当，即时，函数在，上单调递减，因此时，函数取得最大值，．

综上可得：时，（2）．

时，．

21．（12分）已知直线与抛物线交于，两点．

（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；

（2）若，交于，求的值．

【解答】解：（1）取的中点，当时，抛物线为，焦点，

过、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，

在梯形中，是的中点，则，

，

，；

（2）设，，，，由交于，

得，则，则直线的方程为，

由，得．

，，

由，得，即，

，

，得．

22．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个不相等的零点，，证明：．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

当时，，则，

令，得，令，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）不妨设，，，

由题意得，得，即，

要证，只需证，即证，即，

令，，

则，

所以在区间上单调递减，故（1），即恒成立，

因此，所以．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:08:48；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367