2021-2022学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
2．（5分）数列1，，，的一个通项公式可以是　　
A． B． C． D．
3．（5分）抛物线的焦点坐标是　　
A． B． C． D．
4．（5分）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：，则该质点在时的瞬时速度为　　
A．4 B．12 C．15 D．21
5．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
6．（5分）直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则的最大值是　　
A．2 B． C． D．4
7．（5分）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步．到今天，天和核心舱在轨已经九个多月．在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务．一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远的一点称作近（远地点，近（远地点与地球表面的距离称为近（远地点高度．已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约，远地点高度大约，地球半径约，则该轨道的离心率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知圆，若存在过点的直线与圆相交于不同两点，，且，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．，，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）以下四个命题正确的有　　
A．若直线在轴上的截距为，则实数
B．若直线不经过第四象限，则
C．直线与圆相离
D．直线关于点对称的直线方程为
10．（5分）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有　　
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，的最小值为29
11．（5分）双曲线的焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是　　
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则△的面积为16
D．点到两渐近线的距离乘积
12．（5分）关于函数，，下列说法正确的是　　
A．对任意的，
B．对任意的，
C．函数的最小值为
D．若存在使得不等式成立，则实数的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．（5分）设为实数，若直线与直线平行，则值为 　　．
14．（5分）求值　　．
15．（5分）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．已知抛物线，经过点一束平行于对称轴的光线，经上点反射后交于点，则的长度为 　　．
16．（5分）已知数列满足，，记，则　　；数列的通项公式为 　　．
四、解答题：本大题共7小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）从①；②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：
已知等差数列公差大于零，且前项和为，，____，，求数列的前项和．
18．（12分）已知圆与轴交于，两点，是该圆上任意一点，，的延长线分别交直线于，两点．
（1）若弦长为2，求直线的方程；
（2）以线段为直径作圆，当圆面积最小时，求此时圆的方程．
19．（12分）已知点，．
（1）若过点作的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
（2）过点作斜率为1的直线与相交于，两点，当面积最大时，求实数的值．
20．（12分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，，，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段为第二次操作：，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷．每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”．例如第一次操作后的“康托尔三分集”为，，，．
（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）定义，的区间长度为．记第次操作后剩余的各区间长度和为，求；
（3）记次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使小于，求的最小值．
（参考数据：，，，
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．
22．（12分）设，是实数，若椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于，两点，且，试探究过，两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由．
23．（12分）已知函数为自然对数的底数），，．
（1）若直线与函数，的图象都相切，求的值；
（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的倾斜角为，
直线，
，
．
故选：．
2．（5分）数列1，，，的一个通项公式可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：数列1，，，，可以转化为，，，，
则其一个通项公式可以为．
故选：．
3．（5分）抛物线的焦点坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的标准方程为，
，，
抛物线的焦点坐标为．
故选：．
4．（5分）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：，则该质点在时的瞬时速度为　　
A．4 B．12 C．15 D．21
【解答】解：，，
时，，
即该质点在时的瞬时速度为12．
故选：．
5．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为，可排除选项、；
由，可排除选项，
故选：．
6．（5分）直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则的最大值是　　
A．2 B． C． D．4
【解答】解：直线与直线交于点，
由，可得，可得点，，
是实数，为坐标原点，则，
当时，，
所以的最大值是．
故选：．
7．（5分）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步．到今天，天和核心舱在轨已经九个多月．在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务．一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远的一点称作近（远地点，近（远地点与地球表面的距离称为近（远地点高度．已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约，远地点高度大约，地球半径约，则该轨道的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的半长轴为，半焦距为，
则根据题意可得，，
解得，，
故该轨道即椭圆的离心率为，
故选：．
8．（5分）已知圆，若存在过点的直线与圆相交于不同两点，，且，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．，，
【解答】解：由圆，可得圆心，．
根据割线定理可得，
显然，
则或，
因为，所以，
则，所以，
解得，
且或，
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）以下四个命题正确的有　　
A．若直线在轴上的截距为，则实数
B．若直线不经过第四象限，则
C．直线与圆相离
D．直线关于点对称的直线方程为
【解答】解：对于：因为直线在轴上的截距为，所以有，所以，故正确；
对于：直线可得，因为直线不经过第四象限，
所以有，，故不正确；
对于；直线过定点，因为，
所以点在圆内，因此直线与圆相交，故不正确；
对于：直线关于点对称的直线与直线平行，
所以设对称的直线方程为：，
，，或（舍去），
即，故正确．
故选：．
10．（5分）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有　　
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，的最小值为29
【解答】解：等差数列前项和为，公差，若，
，
，
对于，，，故错误；
对于，，该等差数列是单调递增数列，
，当或时，取得最小值，故正确；
对于，，该等差数列是单调递增数列，
，，故正确；
对于，，，
由，
解得，，
的最小值是30，故错误．
故选：．
11．（5分）双曲线的焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是　　
A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则△的面积为16
D．点到两渐近线的距离乘积
【解答】解：由双曲线的标准方程可知：
，，，
，故错误；
：渐近线为，故正确；
：设，，
则，
，故正确；
：设，，则，
双曲线渐近线为：，，
点到两渐近线的距离乘积为，故正确．
故选：．
12．（5分）关于函数，，下列说法正确的是　　
A．对任意的，
B．对任意的，
C．函数的最小值为
D．若存在使得不等式成立，则实数的最大值为
【解答】解：．设，
，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，函数有最小值，即（1），
所以有，即，所以本选项正确；
，，显然，所以本选项不正确；
：由，
设，
当时，，所以函数单调递增，
所以当时，，
因此当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确；
：命题：存在使得不等式成立，
它的否命题为：，不等式恒成立，
，
构造函数，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，函数有最小值，
最小值为：，
，
当时，而，所以，
当时，要想恒成立，只需恒成立，
当，，，也成立，
即成立，也就是成立，
构造新函数，
当时，单调递减；当时，，单调递增，
当时，函数有最大值，即（e），要想不等式恒成立，
只需，
当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立，
因此当时，对于，不等式恒成立，
因此当时，存在使得不等式成立，所以实数的最大值为，
因此本选项结论正确．
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．（5分）设为实数，若直线与直线平行，则值为 　　．
【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得；
当时，两直线重合，
故．
故答案为：．
14．（5分）求值　　．
【解答】解：
，
故答案为：．
15．（5分）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．已知抛物线，经过点一束平行于对称轴的光线，经上点反射后交于点，则的长度为 　　．
【解答】解：经过点一束平行于对称轴的光线交抛物线于点，抛物线，
令，解得，即，
抛物线的焦点的坐标为，
直线的方程为，
联立与抛物线，化简整理可得，，解得或，可得，
故的坐标为，，
．
故答案为：．
16．（5分）已知数列满足，，记，则　5　；数列的通项公式为 　　．
【解答】解：因为
所以，，，
因此，
由于，又，
即，所以，因此数列 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，则，即，
故答案为：．
四、解答题：本大题共7小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）从①；②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：
已知等差数列公差大于零，且前项和为，，____，，求数列的前项和．
【解答】解：若选①；
因为等差数列公差大于零，，
所以，
解得，，
所以，，
所以；
若选②；
因为等差数列公差大于零，，
所以，
解得，解得，，
所以，，
所以；
若选③；
因为等差数列公差大于零，，
所以，
解得，，
所以，，
所以．
18．（12分）已知圆与轴交于，两点，是该圆上任意一点，，的延长线分别交直线于，两点．
（1）若弦长为2，求直线的方程；
（2）以线段为直径作圆，当圆面积最小时，求此时圆的方程．
【解答】解：（1）在圆中，令，解得或，
，的延长线分别交直线于，两点，
，，圆心在轴上，，
弦长为2，，有，，
当在轴上方时，直线的斜率为：，
直线的方程为，，
当在轴下方时，直线的斜率为：，
直线的方程为，，
直线的方程为或；
（2）由（1）知，，，
设直线的斜率为，因此直线的斜率为，
于是直线的方程为：，令，，即，
直线的方程为：，令，，即，
因为，同号，，
当且仅当时取等号，于是有以线段为直径作圆，当面积最小时，此时最小，
当时，和，中点坐标为，半径为，所以圆的方程为：，
当时，和，中点坐标为，半径为，所以圆的方程为：，
综上所述；圆的方程为：．
19．（12分）已知点，．
（1）若过点作的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
（2）过点作斜率为1的直线与相交于，两点，当面积最大时，求实数的值．
【解答】解：（1）由题意可知在圆上，．，
①当时，切点，直线的斜率，切线斜率，
切线方程为，即．
当时，切点，直线的斜率，切线斜率，
切线方程为，即．
（2）的面积，
则当面积最大时，，即时，圆心到直线的距离，
又直线，即，则，解之得或．
20．（12分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，，，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段为第二次操作：，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷．每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”．例如第一次操作后的“康托尔三分集”为，，，．
（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）定义，的区间长度为．记第次操作后剩余的各区间长度和为，求；
（3）记次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使小于，求的最小值．
（参考数据：，，，
【解答】解：（1）根据“康托尔三分集”的定义可得：
第一次操作后的“康托尔三分集”为，，，，
第二次操作后的“康托尔三分集”为，，，，，，，；
（2）将定义，的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长后组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，

第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以，第4次操作后剩余的各区间长度和为；
（3）设定义区间为，，则区间长度为1，
由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，
要使得“康托三分集”的各区间的长度之和小于，
则满足，即，
所以，
即，
因为为整数，所以的最小值为2．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，故可得，
令，可得或，
当时，，此时在上单调递增；
当时，当 时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减．
（2）由（1）可知：当时，在单调递减，
在 单调递增，
又，，，故在，单调递减，在，单调递增．
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时．
当 时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为．
22．（12分）设，是实数，若椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于，两点，且，试探究过，两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以有，①
椭圆过点，
所以，②
由①②可解：，，
所以该椭圆方程为：；
（2）由 （1）可知：，
设直线的方程为：，
若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意；
当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，
设，，，，
所以，
因为，
所以，，
把代入得：
，
所以有或，
解得：或，
当时，直线为，直线恒过定点，
此时与点重合，不符合题意；
当时，，直线恒过点；
当直线不存在斜率时，此时，，，，因为，
所以，两点不在椭圆上，不符合题意；
综上所述：过，两点的直线过定点，定点坐标为．
23．（12分）已知函数为自然对数的底数），，．
（1）若直线与函数，的图象都相切，求的值；
（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
【解答】解：（1）设曲线的切点坐标为，
由，
所以过该切点的切线的斜率为，因此该切线方程为：，
因为直线与函数的图象相切，
所以，
因为直线与函数的图象相切，且函数过原点，
所以曲线的切点为，于是有，
即；
（2）由可得：，
当时，显然不成立；
当时，由，
设函数，
，
当时，，
，单调递减，
当时，，
，单调递减，
当时，，
，单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为，
而，当 时，，函数图象如下图所示：

方程有两个不同的实数解，
转化为函数和函数的图象，在当时，有两个不同的交点，
由图象可知：
故的取值范围为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:12:11；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367