考点05 基本不等式及其应用6种常见考法归类（解析版）

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考点一 利用基本不等式比较大小
考点二 利用基本不等式求最值
（一）直接法
（二）配凑法
（三）常数代换法
（四）消元法
（五）换元法
（六）齐次化
（七）重组转化
（八）利用两次基本不等式求最值
（九）基本不等式与对勾函数
考点三 与基本不等式有关的参数问题
考点四 基本不等式的实际应用
考点五 利用基本不等式证明不等式
考点六 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
（二）与三角函数、解三角形的结合
（三）与平面向量的结合
（四）与数列的结合
（五）与解析几何的结合
（六）与立体几何的结合
1. 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
2. 几个重要不等式
3. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
4. 三元均值不等式
(1)eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc).
(2)eq \f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
二维形式柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
6.基本不等式公式推导图
7.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(简记：和定积最大)
8.利用基本不等式求最值的基本方法
(1)直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
(2)配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
(3)常数代换法
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
(4)消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
(5)换元法
①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
(6)齐次化求最值
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
(7)重组转化
当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.
(8)利用两次基本不等式求最值
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.
(9)基本不等式与对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；
对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；
①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：

②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：

8.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，
当且仅当时等号成立.
9.与基本不等式有关的参数问题
(1)求参数的值或取值范围的方法
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
10.利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
11.求基本不等式与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
考点一 利用基本不等式比较大小
1．【多选】（2023·山东潍坊·统考二模）已知实数，则（ ）
A． B．C．D．
2．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．【多选】（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南开封·统考三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．【多选】（2022秋·全国·高一专题练习）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 利用基本不等式求最值
（一）直接法
7．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最大值为__________
8．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）已知，，且，则的最大值是_____.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
10．（2023·全国·高三对口高考）已知，且，则的最大值为___________．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
12．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
13．【多选】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
14．【多选】（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为D．的最小值为
15．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
（二）配凑法
16．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
17．（2023·陕西榆林·统考三模）若，则的最小值为________．
18．（2023·天津红桥·统考一模）已知，则的最小值为___________．
19．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求函数的最大值.
（2）已知，求函数的最大值.
20．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
21．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
22．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．
（三）常数代换法
24．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．4D．1
26．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
27．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
28．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．
29．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
30．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
31．（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为______.
（四）消元法
32．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
33．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为__________.
34．（2023·天津·校联考二模）若，且，则的最小值为______.
35．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________．
（五）换元法
36．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
38．【多选】（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数满足，则的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
39．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
40．【多选】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为5
C．的最小值为D．
41．（2021秋·天津静海·高三校考阶段练习）若，且，则的最小值为_________
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
（六）齐次化
43．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（七）重组转化
45．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为__________．
46．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则的最小值为__________．
47．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______．
（八）利用两次基本不等式求最值
48．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
49．（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设，那么 的最小值是___________.
50．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
（九）基本不等式与对勾函数
51．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A．B．
C．，D．
52．（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
53．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________．
54．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为________．
考点三 与基本不等式有关的参数问题
55．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
56．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
57．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
58．（2023·全国·模拟预测）若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
59．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
60．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
考点四 基本不等式的实际应用
61．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
62．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件B．50万件C．60万件D．80万件
63．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元B．2100万元C．2200万元D．3800万元
考点五 利用基本不等式证明不等式
64．（2023·全国·高三专题练习）证明：如果、，那么．
65．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知都是正数，且，证明：
(1)；
(2).
66．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
67．（2023·广西南宁·统考二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
68．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：
(1)；
(2)若，则.
考点六 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
69．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
70．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知二次函数的值域为，则的值是________；的最大值是__________.
71．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．
72．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知正实数a，b满足，则的最小值是______．
（二）与三角函数、解三角形的结合
73．（2023·四川遂宁·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.
74．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
75．（2023·江西九江·统考二模）在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A．B．1C．D．
76．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
（三）与平面向量的结合
77．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
78．（2023·安徽安庆·统考二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
79．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为________．
（四）与数列的结合
80．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
81．（2023·高三课时练习）在等差数列中，，且，则的最大值为______.
82．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
（五）与解析几何的结合
83．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
84．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最大值为
85．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
86．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为（ ）
A．9B．20C．25D．30
87．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．
（六）与立体几何的结合
88．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
89．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
90．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
重要不等式
使用前提
等号成立条件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
ab>0
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2
ab