考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类（解析版）

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考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类


考点一 平均变化率和瞬时变化率
考点二 导数定义的应用
考点三 导数的运算
考点四 导数的几何意义及应用
（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
（2）求切线的倾斜角
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
（2）过某点的曲线的切线问题
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
（四）由曲线的切线条数求参数
（五）两条切线平行、垂直问题
（六）两曲线的公切线问题
（七）距离最值问题
考点五 导数运算的综合
考点六 导数几何意义的综合应用



1. 导数的概念及其意义
(1)函数的平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx). 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
注：① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
(2)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.
(3) ①导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). 相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
② 导数物理意义：函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

(4)导函数的概念：当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数). y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′=
2. 导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
①函数和差求导法则：；
②函数积的求导法则：；
③函数商的求导法则：，则．

(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f(g(x)). 它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

3. 导数运算的原则和方法
（1）导数计算的原则：
先化简解析式，再求导．
（2）导数计算的方法：
①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导
⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
4. 曲线切线方程的求法：
①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f′(x)；求切线的斜率f′(x0)；写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化简；②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程. 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
5. 已知斜率求切点：
已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
6. 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
7. 求解与导数的几何意义有关问题的注意点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　
8. 解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．　
注：处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

9. 导数的两条性质
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
(2)可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的.
10. 几类重要切线方程
(1)y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln(x＋n＋1)的切线，如图1.

图1 　　图2
(2)y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.
(3)y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3.

图3 　　图4
(4)y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－的切线，如图4.
由以上切线方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.


考点一 平均变化率和瞬时变化率
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
【答案】3
【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.
【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，
解得.
故答案为：3.
2．（2023春·江西赣州·高三统考期中）向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据瞬时速度与导数的关系结合导数运算公式求，，根据平均速度的定义求，再比较它们的大小即可.
【详解】由得，
因为，，
所以，，
又，
所以，，C正确.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.
【详解】由图象可知，
即.
故选：D
4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】ABC
【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．
【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，
而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，
故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．
故选：ABC．
5．（2023·全国·高三专题练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【答案】D
【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.
B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，
B选项结论正确.
C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选：D
6．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【答案】C
【分析】利用导数的定义直接求得.
【详解】由，求导得：.
当时，，解得（舍去）.
故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故选：C
7．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，利用导数的运算、瞬时变化率进行求解.
【详解】因为，
所以；
令，得，
解得或（舍去)；
则当时，，
即速度首次达到时加速度为．
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
【答案】0.52
【分析】由题可得GDP增长的速度为，进而即得.
【详解】由题可知，
所以，
所以,
即GDP增长的速度大约是.
故答案为：.
考点二 导数定义的应用
9．（2023·上海闵行·统考二模）_____________．
【答案】/
【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.
【详解】设函数，则；
.
故答案为：.
10．（2023春·江西·高三校联考期中）已知，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.
【详解】.
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
12．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）已知函数，则__________.
【答案】/
【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解作答.
【详解】函数，求导得：，
所以.
故答案为：
13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则__________.
【答案】/
【详解】因为函数是可导函数，且，
根据导数的定义，有.
故答案为：.
14．（2023春·辽宁阜新·高三校联考阶段练习）已知函数，则______．
【答案】
【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，.
故答案为：
15．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知函数，若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可．
【详解】，
，
，
，，
故选：D．
考点三 导数的运算
16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以
（4）因为，所以
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.
【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.
故选：C.
18．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上的点向右平移个单位长度后得到点，且点恰好在的导函数的图象上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数的导函数，再由求解.
【详解】解：因为，
所以，
由题意得，
即，
得，
即，
所以．
故选：B．

考点四 导数的几何意义及应用
（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
19．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】A
【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】函数的导数，
由导数的几何意义，可知:
在处的切线的斜率为.
故选:A.
20．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（    ）
A．2 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.
【详解】，故，
故曲线在处的切线的斜率为2，
故选：A.
21．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线斜率为______.
【答案】0
【分析】求出点的导数,即该点处切线斜率.
【详解】解:由题知,
所以,所以,
故在点处的切线斜率为0.
故答案为:0
（2）求切线的倾斜角
22．（2023·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值.
【详解】由，得则，解得．
故答案为：.
23．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为，则，因此，
所以.
故选：C
24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，解得，
所以
由题意可知，，
所以.
故选：B.
25．（2023·全国·高三专题练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】由导数的几何意义结合题意可得，即存在正根，由二次函数根的分布问题求解即可.
【详解】由曲线可得，由曲线可得，
由导数的几何意义可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
若存在实数t使得与的倾斜角互补，
则方程，即存在正根，所以
解得．
故答案为：.
27．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，，若的倾斜角互补，则___________.
【答案】/
【分析】设分别与函数相切于两点，根据导数的几何意义可得，解方程即可得的值.
【详解】对于函数，则，
则可设分别与函数相切于两点，
所以，即，解得.
故答案为：.
28．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】先由函数的导函数求得函数原点处的切线与在点处的切线的倾斜角的正切值，再由与两倾斜角的关系结合两角差的正切公式可得.
【详解】由，可得，，则曲线在点O处的切线的倾斜角为，设曲线在点A处的切线的倾斜角为，则．

由图可知，．
故选：A
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）牛顿最早研究过函数的图像与性质，其图像类似于三叉戟，因此这类曲线被称为牛顿三叉戟曲线.牛顿三叉戟曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可得：.
所以在处的切线方程为：，即.
故选：A
30．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】先求出当时，，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.
【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.
所以，所以
所以.
所以当时，.
所以.
而，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
31．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义可求得，利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程.
【详解】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.
故选：A.
32．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，由此确定与坐标轴的交点坐标，进而得到围成的三角形面积.
【详解】记，则，
，又，
曲线在处的切线方程为：，即，
令，解得：；令，解得：；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（         ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求出直线的斜率，再根据点斜式写出直线的方程，最后由点到直线的距离公式即可求出.
【详解】由题知，所以，
因为是曲线在处的切线，
所以当时，，且，所以，
因为点到的距离为1，所以，解得：.
故选：A
34．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性确定的解析式，再利用导数的几何意义求得切线方程.
【详解】函数为奇函数，
当时，，所以，
，
即，
则，，，
所以切线斜率，
切线方程为，
即，
故选：C.
（2）过某点的曲线的切线问题
35．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
36．（2023·全国·模拟预测）若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设出切点，根据导数的几何意义及切线过原点先写出切线方程，由切线过切点可列方程计算.
【详解】由题意，，设切点的坐标为，故切线的斜率.
由于切线过原点，故切线方程为.
又切线经过切点，即.
整理可得：，
即.
即，故或.
故选：C
37．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.
【详解】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.
【答案】12
【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程，可推出，将化为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数可得，
则，
故函数在点处的切线方程为，即，
则由题意可得，
故，
当且仅当，即取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
39．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入方程，即可求得答案.
【详解】由可得，
过坐标原点作曲线的切线，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，又，
所以，即，
所以，即切线有1条.
故选：B.
40．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
【详解】时，，设切点，
则，
切线过，
，
，
时，，切点，
，
切线过，
，
，
故.
故答案为：.
41．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知曲线在处的切线为m，则过点且与切线m垂直的直线方程为__________．
【答案】．
【分析】求得，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，
则，即切线m的斜率为，
所以所求直线的斜率为1，其方程为，即．
故答案为：.
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
42．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在处的切线的斜率为，则______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，当时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为，
所以，解得，
故答案为：
43．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一条切线为，则a＝______
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义，由题目中的切线方程，设出切点，求导，建立方程，可得答案.
【详解】求导函数得，设直线与曲线切于点，
则，，解得.
故答案为：.
44．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知直线与曲线相切，则k=___________.
【答案】1
【分析】设切点为，，根据导数的几何意义推得.由可推得.构造函数，根据导函数可推得有唯一解，求出，即可得出答案.
【详解】设切点为，，则.
根据导数的几何意义，可知.
又，
即.
令，则，
所以当时，；当时，，
所以，在处取得极小值，也是最小值.
又，所以有唯一解，所以，
即切点为，所以.
故答案为：1.
45．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
【详解】由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
46．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解.
【详解】设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，解得，
又，即，
所以.
故选：A.
47．（2023·陕西·统考二模）已知曲线在处的切线方程为，则_________，_________．
【答案】
【分析】直接利用导数的几何意义求切线方程待定系数即可.
【详解】易知
由题意可得当时，，所以.
故答案为：1；
48．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．
【答案】/
【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值.
【详解】因为，所以，
则，由处的切线方程为，
得切线的斜率为，所以，得，
所以，当时，，所以切点为，
将代入切线方程得：，
解得，所以.
故答案为：
（四）由曲线的切线条数求参数
49．（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知函数，无论a取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．
【答案】
【分析】由题意得，，，此时这两个值均与无关，可得切点为即可得出答案．
【详解】，则，
，，此时这两个值均与无关，
∴无论取何值，曲线均存在一条固定的切线，
此时切点为，切线斜率为1，故切线方程为，即.
故答案为∶
50．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【分析】设切点为，利用导数求切线方程，代入一点，关于的方程没有实数解，由判别式解不等式求整数的值.
【详解】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，
由题意关于的方程没有实数解，
则，解得．
因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
51．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点的切线有两条，从而可得关于的方程有两个不同的根，由此即可得解.
【详解】设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
52．（2023·全国·高三专题练习）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，可得出，可得出，然后逐项检验可得出合适的选项.
【详解】设切点坐标为，对函数求导可得，
所以，切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
将点的坐标代入切线方程可得，即，
因为过点可作曲线的两条切线，则关于的方程有两个不等的实数解，
所以，，即，即，
对于点，，A不满足；
对于点，，B不满足；
对于点，，C满足；
对于点，，D不满足.
故选：C.
53．（2023·广东·统考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．
【答案】（或或或）
【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的方程代入切线方程，可得出，设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，易知、关于的方程的两个根，且，利用三次方程根与系数的关系可求得实数的值.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，且，
因为这两条切线关于直线对称，则，
所以，，
易知、关于的方程的两个根，设该方程的第三个根为，
则，
则，
所以，，
因为过点恰能作两条直线与曲线相切，
则关于的方程只有两个不等的实根，不妨设，
则，
若，则，可得，解得；
若，则，所以，，可得，，
所以，，解得.
综上所述，或.
故答案为：（或或或）.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线的切线求参数的值，解题的关键在于写出切线方程后，将切点坐标转化为三次方程的根，结合三次方程根与系数的关系求解.
54．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得.
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，单调递增；
在和上，单调递减，，
当或时，，
画出的图象如图，

要使函数的图像有三个交点，需，
即，即的取值范围是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.
55．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，

由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
（五）两条切线平行、垂直问题
56．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意,令，解得

故点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故选：C
【点睛】本题考查导数的几何意义，直线斜率与平行的关系，属于基础题
57．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】求出原函数的导函数，可得函数在处的导数值，再由两条直线平行与斜率的关系列式求解.
【详解】由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故选：D.
58．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．
【答案】
【分析】求出，分析可得，即可求得的值.
【详解】因为（且），则，
因为直线的斜率为，
又因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，，解得.
故答案为：.
59．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.
故选：C.
60．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出曲线在点处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解.
【详解】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.
因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.
故选：D
61．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求导函数，由题可得，分类讨论和时，是否存在符合的值即可判断.
【详解】由题知，令，
则．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得，，．
当时，，，与题目矛盾；
当时，由，
可得的值域是
故，使得，
，．
故答案为：．
（六）两曲线的公切线问题
62．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
【答案】
【分析】设出的切点坐标，求导，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，根据圆心到半径距离为半径列出方程，求出，从而求出斜率.
【详解】设的切点为，，故，
则切线方程为：，即
圆心到圆的距离为，即，
解得：或（舍去）
所以，则的斜率为
故答案为：
63．（2023·全国·高三专题练习）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
【答案】
【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为：.
64．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】/0.5
【分析】由题可设两曲线的切点，然后根据导数的几何意义可得切线方程，进而即得.
【详解】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，
所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为.
故答案为：.
65．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，将其代入可得：
，显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得，
故选：.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.
66．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；
故选：D．
67．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，根据导数的几何意义写出切线方程，可得到，由此构造函数，将问题转化为方程有两解问题即可.
【详解】由题意得，
设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
则切线方程为，即，
，即，
由于两切线为同一直线，所以，得．
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
即有处取得极小值，也为最小值，且为．
又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，
结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，
当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，

由此结合图像可得a的范围是，
故答案为：
68．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.
【详解】因为直线与曲线相切，切点为，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，
可知直线的方程为，
所以，两式相除，可得，
所以.
故选：B
（七）距离最值问题
69．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断出与关于直线对称，然后说明与无交点，再求出曲线上的点到直线的最小距离，则的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
设，则，
令得，
则当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以与无交点，则与也无交点，
下面求出曲线上的点到直线的最小距离，
设与直线平行且与曲线相切的切点，，
，
，解得，
，
得到切点，到直线的距离，
的最小值为，
故选：D．
70．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】考虑到两曲线关于直线对称，求的最小值可转化为求P到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，从而得此距离
【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
71．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（    ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根据平行切线法，求函数图象上的点A到直线l的最短距离，即为A，B之间的最短距离.
【详解】因为函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，
直线的斜率为1，直线的斜率为，所以两直线垂直，
所以函数图象上的点A到直线的最短距离，即为A，B之间的最短距离
由题意可得，．
令，解得(舍去)．
因为，取点A，
所以点A到直线的距离，
则A，B之间的最短距离是．
故选：A.
72．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（    ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，进而再转化为求曲线上的点到直线上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可.
73．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，且，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题干条件，得，化简整理得，
然后构造函数，借助导数求解的最小值，即可求出的最小值.
【详解】由，得，
化简整理得：；
令（），，令，解得.
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
即，故
故选：D
74．（2023·全国·高三专题练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解.
【详解】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令 ，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行，
直线与之间的距离为的最小值，
故选：B
75．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】动点在函数的图像上，在直线的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，利用导数的几何意义，求曲线上斜率为2的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．
【详解】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图像上，在直线的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，当时，解得，即曲线上斜率为2的切线，切点为，

曲线上点到直线的距离，则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．
故选：A．
76．（2023·全国·高三专题练习）曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.
77．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
【答案】
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，

由题意可知，，
所以，
解得或，
因为为锐角，
所以
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，
所以，
所以直线的方程为即
，
所以，
所以直线的方程为即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.
故答案为：.
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
考点五 导数运算的综合

78．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）二项展开式，则___________.
【答案】
【分析】等式的两边同时求导数得到，令，即可求解.
【详解】因为，
等式的两边同时求导数，可得，
令，可得.
故答案为：
79．（2023·江西·统考模拟预测）已知，则等于___________.
【答案】
【分析】根据题意，两边同时求导数得到，令，即可求解.
【详解】由，
两边同时求导数，可得，
令，可得.
故答案为：.
80．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为__________.
【答案】
【分析】计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为的等比数列，求和得到答案.
【详解】函数有两个零点，故，
，
，
，
故为首项为，公比为的等比数列，
数列的前2023项的和为，
故答案为：
考点六 导数几何意义的综合应用
81．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，若该抛物线上任意一点P处的切线斜率与直线PF的斜率之积为1，则这条切线的倾斜角为______
【答案】 或
【分析】求导，根据导数的几何意义以及直线斜率的定义求解.
【详解】由题知 ，， ，设切点，
则切线斜率为 ，而直线PF的斜率为，所以，
整理得，即，故倾斜角为 或 ；
故答案为： 或.
82．【多选】（2023·全国·校联考二模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，则下列说法正确的是（    ）
A．若直线的倾斜角为，则 B．点在直线上
C． D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据题意设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义即可求解A；利用导数得出切线方程，联立切线方程即可求解B，C两项；利用两点距离公式得到的值，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值即可求解D.
【详解】由题可得，抛物线的焦点坐标为.直线，与抛物线联立得，
所以，所以，故A正确；
设，，由，所以，所以，即为，
同理可得，由解得，
由题意可知斜率存在，设，联立可知，，
所以，所以点在直线上，故B错误；
因为，，所以，所以，故C正确；
因为，即为，所以，
因为，所以，
令，则原式.
因为函数在上单调递增，所以当，即时取到最小值，其最小值为，故D正确.
故选：ACD.
83．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要使恰有5个零点，
与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案.
【详解】因为，所以，
，因为函数恰有5个零点，
所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得，
因为与，与的图象关于轴对称，
且与交于原点，要恰有5个零点，
则与，与的图象必有两个交点，
当与的图象相切时，设切点，
此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，
即，交点，
所以要使函数恰有5个零点，则.
故选：A.

84．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.
【详解】作出与的图象，如图，

当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.
故选：A