考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类（解析版）

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考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类


考点一 平面向量的有关概念
考点二 平面向量的线性运算
考点三 由平面向量的运算判断四边形的形状
考点四 共线向量定理的应用
（一）向量共线问题
（二）三点共线问题
（三）向量共线性质的应用
考点五 平面向量基本定理及应用
（一）对基向量概念的理解
（二）用基底表示向量
（三）利用平面向量基本定理求参数
考点六 平面向量的坐标运算
考点七 共线向量的坐标表示及应用
（一）由坐标判断向量是否共线
（二）利用向量共线求参数
（三）利用向量共线解决三点共线问题
（四）利用向量共线求向量或点的坐标
（五）共线向量坐标表示的应用


1. 向量的有关概念
名称
定义
说明
向量
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量
平面向量是自由向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
向量的模是数量
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0
其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
a是非零向量，则±是单位向量
平行向
量(共线
向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反向量
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
0的相反向量仍是0
　　
2. 有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
(6)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；
(7)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；
(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(9)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；
(10)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(11)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.

3. 向量的线性运算
运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律(性质)
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减法
求与的相反向量的和的运叫做与的差

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；
其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0
设λ，μ∈R，则
λ(μa)＝μ(λa)；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）加法运算的推广：＋＋…＋An－1An＝.
（5）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
（6）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
（7），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（8）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
4. 平面向量的线性运算解题策略
（1）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决. 一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．　
5. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　
6. 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
注：a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线. 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0. 换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件.
7.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握
注：A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；存在，使得．
注：、、三点共线，这是直线的向量式方程．
8.平面向量共线定理的三个应用

9.求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
10.线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
11. 线性运算重要结论
(1)中线向量定理:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.

(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
12. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
13. 平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

(3)平面向量基本定理的推论
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
14. 平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
15. 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)线性运算的坐标表示

文字叙述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2).
两点构
成的向
量坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
16. 重要坐标公式
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心坐标为.
17.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
18.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．



考点一 平面向量的有关概念
1．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有______个.
【答案】0
【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.
【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，，则四点可能共线，故③错；
对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
所以正确的命题有0个，
故答案为：0
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（    ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】B
【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B， 表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误．
【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；
对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；
对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；
对于D，由得，所以，所以该选项错误．
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（    ）
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】按照向量数乘和向量数量积的定义分析即可.
【详解】（1） ，故错误；
（2） 根据数乘的定义，正确；
（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；
（4） ，故错误；
（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；
（6）同（5），错误；
（7） ，故正确；
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）设，都是非零向量，成立的充分条件是（    ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【分析】由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论．
【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，
故成立的充分条件可以是；
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项.
【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
考点二 平面向量的线性运算
7．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由相等向量、向量加减法运算法则直接求解即可.
【详解】六边形为正六边形，，
.
故选：B.
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.
【详解】如图，

因为，所以是线段的四等分点，且,
所以,
故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，
故选:C.
9．（2023·山东·校联考模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
【详解】
，
所以，所以.
故选：D.
10．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解．
【详解】因为，边的中点为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，，故.
故选：D．
11．（2023·江西南昌·统考三模）如图是函数的部分图象，且，则（    ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，所以，再由，可求出，即可求出.
【详解】由可得：，即，
即，因为，所以，
所以，
结合图象可得，则，
因为，所以，
所以.
故选：D.
考点三 由平面向量的运算判断四边形的形状
12．（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（    ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
13．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】在四边形中，
若，
则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当，为上底和下底时，
满足四边形为梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A
14．（2023·湖南益阳·校联考模拟预测）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（    ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可.
【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形，
由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，
因此该四边形是矩形，
故选：C
15．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【答案】AB
【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A；依据梯形判定定理判断选项B；依据菱形判定定理判断选项C；依据正方形判定定理判断选项D.
【详解】选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确；
选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确；
选项C：若，则，
则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误；
选项D：若，则，，则四边形为平行四边形，
又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误.
故选：AB
考点四 共线向量定理的应用
（一）向量共线问题
16．（2023·北京·高三专题练习）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件，
故选：C
17．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断.
【详解】若，则，但此时不存在，使得，
故不存在，使得，故前者无法推出后者，
若存在，使得，则共线且同方向，
此时，故后者可以推出前者，
故“”是“存在,使得的必要不充分条件”，
故选：B.
18．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则_______．
【答案】
【分析】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案.
【详解】因为，所以，使得成立，即.
因为不共线，所以，解得.
故答案为：.
19．（2023春·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________．
【答案】/0.5
【分析】根据向量共线结论结合平面向量基本定理列方程求即可.
【详解】因为与共线，所以，
又是两个不共线的非零向量，所以，所以，
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与共线的条件为（　 ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】对、是否共线进行分类讨论，结合平面向量共线的基本定理可得出结果.
【详解】当时，因为，则存在实数，使得，
则，此时；
当、不共线时，因为，则存在实数，使得，即，
所以，.
因此，与共线的条件为或.
故选：D.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.
【详解】∵，
∴，则，则
∴
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
（二）三点共线问题
22．（2023·全国·高三专题练习）设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（    ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【分析】由已知可得,根据向量的和差等运算规律得出,然后结合向量共线定理即可求解.
【详解】解:由题知由于是空间中两个不共线的向量,
且有,
所以,
因为三点共线,
所以,
所以存在实数,使得,
所以,
所以.
故选:C
23．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
24．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.
【详解】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，
所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.
故选：C
25．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
【答案】/8.5
【分析】根据向量共线的充要条件得，再推出，确定其周期性计算即可.
【详解】由A，B，C三点在同一直线上可知，即，
则，又，则，，，，
故数列是周期为3的周期数列，．
故答案为：
（三）向量共线性质的应用
26．（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得解.
【详解】因为A、B、P是直线上三个相异的点，
且，即，且x、y为正实数，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
27．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）．

A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.

故选：B.
28．（2023·全国·高三专题练习）P是所在平面内一点，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，可得共线且，即可确定答案.
【详解】由题设，，故共线且，如下图示：

所以.
故选：A
29．（2023·全国·高三专题练习）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．
【答案】/0.1875
【分析】取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，通过向量的线性运算可得到和为中点，故与重合，设平行四边形以为底的高为，计算出两个三角形的面积即可得到答案
【详解】解：取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，

因为，所以，所以为中点；
因为，所以，所以也为中点，即与重合，
所以四边形AEGF是平行四边形，设平行四边形以为底的高为，
所以，
∴，
故答案为：．
30．（2023·全国·高三专题练习）设为内一点，且满足关系式，则__．
【答案】
【分析】由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到，分别取的中点为，可得，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC
与S△ABC的关系，可得所求.
【详解】∵，
∴，
∴，分别取的中点为，
∴，
∴；
；
.
∴
故答案为：．

31．（2023·全国·高三专题练习）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.
【详解】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，∴，∴，
∴.
故选：D

32．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
【答案】
【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为平行四边形的面积为，
所以，得，

如图，连接，则,
所以，
因为三点共线，所以，得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：，.
考点五 平面向量基本定理及应用
（一）对基向量概念的理解
33．（2023·陕西西安·统考一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.
【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；
对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；
对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.
故选：C
34．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
35．（2023·河北·高三学业考试）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.
【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.
（二）用基底表示向量
36．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在中，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】选用基底，利用向量的线性运算表示向量.
【详解】中，，，如图所示，


.
故选：C
37．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底表示，从而求得结果.
【详解】
由D为中点，根据向量的运算法则，
可得，
在中，.
故选:D．
38．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（ ）
A． ＋ B．--
C．-＋ D．-
【答案】C
【分析】根据给定条件借助平行线的性质求出，再利用向量的加法计算即得.
【详解】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有，如图，

所以＝＝(＋)＝＝-＋.
故选：C
39．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形中，点在边上，，记，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.
【详解】在中，，，
所以.
故选：D
40．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】依题意，，
于是，
所以.
故选：A
41．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到.
【详解】设，则，又，
设，则，
故，即，
故.
故选：C
（三）利用平面向量基本定理求参数
42．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.
【详解】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
43．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（    ）
  
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算及向量的共线定理即可求解.
【详解】依题意，点P在线段CD上，如图所示
  
则，即，于是有，
因为点D是斜边AB的中点，
所以.
所以
所以，解得.
故选：D.
44．（2023·北京·高三专题练习）在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】将分别用表示，根据平面向量基本定理即可求解.
【详解】,,
故
，
故，解得.
所以.
故选:A.

45．（2023·江西赣州·统考二模）在平行四边形中，点，分别满足，，若，则________．
【答案】/
【分析】以为基底向量，求，结合平面向量基本定理分析运算.
【详解】以为基底向量，则可得：
，
因为，即，
可得，两式相加的，可得.
故答案为：.

46．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，在直角梯形中，为的中点，，，若，则（    ）

A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】设，则，又，由平面向量基本定理可得结果.
【详解】设，则，
则.
又，
所以.
故选：C.
47．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．
【详解】解：如图

在矩形中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：A．
48．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.

【答案】
【分析】根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.
【详解】解:如图建立直角坐标系：

设，
则，，
点在线段上，且，所以，
因为在中，，，
所以，
由题知，是等腰三角形.
所以，
所以，
，
，，，
若，
则，
，解得，，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的线性运算，当直接运用向量的三角形法则与平行四边形法则较困难时，可借助坐标，转化成两向量相等，则对应坐标相等，进而通过方程思想来求解.
49．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设条件运用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，将由，线性表示，再由Q，M，A三点共线得到关于，的关系式，从而确定正确选项．
【详解】由题意得，
因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，
所以，
化简整理得．
故选：C．
50．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取为平面的基底，根据给定条件，结合平面向量基本定理求出作答.
【详解】在中，取为平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，则，解得，
所以.
故选：C
考点六 平面向量的坐标运算
51．（2023·河北·高三学业考试）已知点，，则向量的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案.
【详解】已知点，，则向量.
故选：D.
52．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，则与方向相反的单位向量是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，即得解.
【详解】解：由题意有，所以，
所以与方向相反的单位向量是.
故选：C
53．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．
【详解】易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
故选：D．
54．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
55．（2023·湖北·模拟预测）在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为__________,
【答案】
【分析】利用平行四边形法则表示出向量，利用坐标运算计算出向量的坐标，由为坐标原点，所以即可得的坐标
【详解】在平行四边形中，
因为与的交点为，且为的中点，
所以

，
由为坐标原点，所以向量的坐标即为的坐标，
故点的坐标为．
故答案为：.
56．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行四边形可得进而即得．
【详解】因为，，，由平行四边形可得，
设，则，
所以，即的坐标为.
故选：B.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知两点、，点满足，则的坐标为___________.
【答案】
【分析】设点，利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可求得点的坐标.
【详解】设点，由可得，
所以，，解得，故点.
故答案为：.
58．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，且，则_____.
【答案】
【分析】根据向量的坐标线性运算即可求解.
【详解】，
由可知 解得故．
故答案为：
59．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（    ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数
【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B
考点七 共线向量的坐标表示及应用
（一）由坐标判断向量是否共线
60．【多选】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．与的夹角为45°
【答案】AD
【分析】根据平面向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】对A：根据向量的坐标运算易知，A选项正确；
对B：因为，所以B选项错误；
对C：因为，可得，则与不共线，所以C选项错误；
对D：因为，则，所以与的夹角为45°，D选项正确．
故选：AD.
61．【多选】（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设，非零向量，，则（    ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【答案】ABD
【分析】A选项，验证即可；
B选项，验证；
C选项，由题可得，，据此可判断选项正误；
D选项，由题可得，据此可判断选项
【详解】A选项，，
则，故A正确；
B选项，，则，
故，故B正确；
C选项，假设存在，使，则，，则可得
，故可得
，则假设不成立，故C错误；
D选项，因，则，又由题可得，则
，故D正确.
故选：ABD
62．【多选】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知向量，，则（    ）
A．当时，∥ B．的最小值为
C．当时， D．当时，
【答案】AC
【分析】A选项，利用向量共线定理进行判断；B选项用坐标表达出为关于x二次函数，配方求最小值；C选项利用向量夹角公式进行求解；D选项利用，先求出，再求解.
【详解】当时，，，此时，∥，选项A正确；
，最小值为，故选项B错误；当时，，，故 ，故，选项C正确；当，解得：，此时，故D选项错误
故选：AC
（二）利用向量共线求参数
63．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则实数m的值是（    ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】解：由，得，
解得.
故选：A.
64．（2023·北京·统考模拟预测）已知向量，．若，则__________．
【答案】1或
【分析】根据平面向量平行的性质进行求解即可.
【详解】因为向量，，，
所以有，或，
故答案为：1或
65．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量，，若与方向相反，则______．
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程即可求得答案.
【详解】由，共线，则，得，即，
又与方向相反，故，
故答案为：
66．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若向量，，，且，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.
【详解】，因为，
所以，解得.
故选：A.
67．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知，，，若，则实数________.
【答案】或
【分析】先求，利用两向量平行坐标运算求出m.
【详解】∵，，
∴.
∵，
∴，
解得： 或
故答案为：或.
68．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解.
【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
则“m＝－6”是“”的充要条件.
故选：A.
69．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，向量，，若，则实数______.
【答案】
【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算．
【详解】根据题意可知，不共线
若，则，使得，即
则可得，解得
故答案为：．
（三）利用向量共线解决三点共线问题
70．（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】由，得,
因为三点共线，所以，即，解得.
所以.
故选：A.
71．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若三点共线，则______.
【答案】
【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．
【详解】三点共线，
与共线，
，解得．
故答案为：．
72．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________．
【答案】/0.5
【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可.
【详解】，，
因为点，，三点共线，所以，解得.
故答案为：.
73．【多选】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
【答案】ABD
【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．
【详解】因为，
．
假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.
故选：ABD．
（四）利用向量共线求向量或点的坐标
74．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
【答案】(3,3)
【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案；
法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案.
【详解】法一:由O，P，B三点共线，可设,
则,
又，
由共线，得，
解得 ，所以,
所以点P的坐标为(3,3),
故答案为：
法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且共线，
所以 ，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3,3)，
故答案为：
75．（2023·全国·高三专题练习）设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标.
【详解】，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或，
故选：C.
【点睛】本题考查根据向量共线求解点的坐标问题，难度较易.共线三点间的模长倍数关系可以转化为共线向量的形式，注意方向问题.
（五）共线向量坐标表示的应用
76．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简即可得出答案；          
（2）由余弦定理求出，设边上的高为，由三角形的面积公式带入计算即可得出答案.
【详解】（1）因为，，且，所以.
由正弦定理得，因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.
（2）在中，因为，                       
所以， 所以.
解得，或（舍），设边上的高为，
因为，
所以.
77．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）已知向量，．
（1）当时，求的值；
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可.
（2）首先根据题意得到，再利用三角函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）因为，所以，所以，
．
（2）.
因为，所以，
所以，所以，
所以．
78．（2023秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，若，
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用推出a，b，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可.
（2）由正弦定理可得，得出，将化简得，进而求出答案.
【详解】解：（1），则，
.
由余弦定理得，故有.
（2），
，即.
【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.