考点34 空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类（解析版）

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考点34 空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类


考点一 平面的概念及基本性质
考点二 证明“点共面”、“线共面”
考点三 证明“点共线”及“线共点”
考点四 平面基本性质的应用
考点五 判断两条直线的位置关系
考点六 等角定理
考点七 异面直线所成的角
考点八 空间直线与平面位置关系判断
考点九 平面与平面位置关系的判断


1. 平面的几个特点
(1) 平面是平的；
(2) 平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的
2. 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　
3. 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l

A在l外
Al

A在α内
A∈α

A在α外
Aα

l与 m平行
l // m

l，m相交于A
l∩m＝A

l与 m异面


l在α内
l⊂α

l与α平行
l // α

l，α相交于A
l∩α＝A

l在α外
lα

α，β相交于l
α∩β＝l

α与β平行
α // β


4. 平面的基本性质
(1)基本性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本
事实
1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
确定平面；判定点线共面
基本
事实
2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
确定直线在平面内；判定点在平面内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
判定两平面相交；判定点在直线上
(2)基本事实1与2的推论
推论
文字语言
图形语言
符号语言
作用
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α
（1）判定若干条直线共面的依据
（2）判定若干平面重合的依据
（3）判定几何图形是平面图形的依据
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面

a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面

a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α
5. 证明点、线共面、点共线、线共点问题的常用方法
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
要证明点共线问题
(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．


6. 证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．　
7. 判断四点共线的方法有：
（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；
（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；
（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.
8. 证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．　　
9.证明四点共面的基本思路：
一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；

10. 空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
位置关系
图形
符号
共面情况
公共点个数
共面
直线
相交直线


在同一个平面内
1
平行直线

a∥b
在同一个平面内
0
异面直线


不同在任何一个平面内
0
(2)空间中直线与平面的位置关系
位置
关系
直线在
平面内
直线与
平面相交
直线与
平面平行
公共点个数
无数个
1
0
图形表示



符号


∥
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.
(3)空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面相交
两个平面平行
公共点个数
有一条公共直线
0
符号表示
α∩β＝a
α∥β
图形表示



11. 平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
12. 等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
13. 唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
14. 判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

15. 判定或证明两直线异面的常用方法：
(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线．（证明两条直线既不平行又不相交．)
(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．
用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

(3)推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线．
(4)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
16. 反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．
证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立．
17. 直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 　　　　
18. 平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
19. 常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　　　
　 20. 异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
21. 求异面直线所成的角的方法
(1)求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
(2)向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝.



考点一 平面的概念及基本性质
1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽为20m；③平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为______．
2．（2023春·高三课时练习）下面说法中正确的是（    ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
3．（2023·全国·高三对口高考）一个平面把空间分为__________部分；两个平面把空间分为__________部分；三个平面把空间分为__________部分．
4．（2023·高三课时练习）已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个．
5．（2023·高三课时练习）一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.
考点二 证明“点共面”、“线共面”
6．（2023·全国·高三对口高考）给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ）

A．直线与直线共面 B．直线与直线异面
C．直线与直线共面 D．直线与直线异面
9．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
10．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，E、F分别是、上的点，并且．求证：B、E、、F共面．
  
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为________．

12．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.

13．（2023·广东·高三专题练习）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
(2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值.
14．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中， 为底面的中心，是棱 上一点，且，， 为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（    ）

A． 与 共面；
B．三棱锥 的体积跟的取值无关；
C．当时， ；
D．当时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面的周长为．
考点三 证明“点共线”及“线共点”
15．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．
  
16．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
17．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·高三对口高考）已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线．
19．（2023·全国·高三对口高考）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．

(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱中，O为的中点，且点E既在平面内，又在平面内．
  
(1)证明：；
(2)若，，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理由），并求线段的长．
23．【多选】（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（    ）
  
A．，，三点共线 B．异面直线与所成的角为
C．点到平面的距离为 D．过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
24．（2023·青海西宁·统考二模）如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（    ）

A．A，M，O三点共线
B．的长度为1
C．直线与平面所成角的正切值为
D．的面积为
25．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：

①平面；
②平面；
③平面；
④直线交于一点.
其中正确命题的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点，若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.

27．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（     ）

A．直线，有可能平行
B．直线，一定异面
C．直线，一定相交，且交点一定在直线上
D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上
29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为，，，的中点，且．

(1)证明：直线，，交于一点；
(2)设直线，，交于点，记关于平面的对称点为，求二面角的正弦值．
考点四 平面基本性质的应用
30．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（    ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
31．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（    ）
  
A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值
32．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.
  
33．（2023·高三课时练习）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．

(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；
(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．
34．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．
35．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.
考点五 判断两条直线的位置关系
36．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（    ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．a，b一定是异面直线
38．（2023·广东·高三专题练习）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（    ）
A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D．直线c与平面可能平行
39．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（    ）
A． B．面
C． D．面
40．（2023·全国·高三对口高考）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）与平行；（2）与是异面直线；（3）与成角；（4）与垂直.
以上四个命题中，正确的命题的序号是：_________．

41．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（    ）

A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
42．（2023·上海·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（    ）

A．直线直线CD B．直线直线ED
C．直线直线PQ D．直线平面
43．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（    ）

A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．直线与可能垂直
D．若，则二面角的大小为
考点六 等角定理
44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（    ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
45．（2023·全国·高三对口高考）下列说法中，正确的是__________．
①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
④若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；
⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是相交或异面．
46．（2023·高三课时练习）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则______．
考点七 异面直线所成的角
47．（2023·全国·高三对口高考）如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：
①与所在直线平行；
②与所在直线异面；
③与所在直线互相垂直；
④与所在直线成角是．
以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）
  
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
48．（2023·贵州遵义·统考三模）在长方体中，，连接AC，，则（    ）
  
A．直线与平面ABCD所成角为
B．直线与平面所成角为
C．直线与直线所成角为
D．
49．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）
A． B． C． D．
50．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.
51．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱的棱长均相等，E是的中点，则异面直线与BE所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
52．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
53．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
54．（2023·江西抚州·统考模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（    ）
A． B． C． D．
55．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在三棱锥中，，M在内，，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
56．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）在长方体中，与和所成的角均为，则下面说法正确的是（     ）
A． B．
C． D．
57．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．
  
考点八 空间直线与平面位置关系判断
58．（2023·浙江·统考二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（    ）．
A．存在直线，使 B．存在直线，使
C．存在直线，使l，m相交 D．存在直线，使l，m所成角为
59．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于
60．（2023·广西·校联考模拟预测）在三棱倠中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（    ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
61．（2023·河北石家庄·统考三模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
62．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）
A．若，，，则
B．若，，，若，则
C．若，、分别与、所成的角相等，则
D．若m//α，m//β，，则
考点九 平面与平面位置关系的判断
63．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）已知平面，，直线，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
64．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
65．（2023·山东日照·三模）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
66．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（    ）
A．若，且，则 B．若，，，则
C．若，且，则 D．若，，，则
67．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（    ）

A． B．
C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH
68．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（    ）
  
A． B．
C．平面 D．平面平面