2.3函数的值域与最值学案-2024届高三数学一轮复习

2.3　函数的值域与最值

【考试要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的最值，理解函数最值与值域的实际意义.2.掌握常见函数的值域与最值的求法．

【再现型题组】

1、设函数的定义域为,对于下列命题:

 ①若存在常数M,使得对任意,有,则M是函数的最小值;

②若函数有最小值,则存在唯一的,使得对任意,有;

③若函数有最小值,则至少存在一个,使得对任意,有;

 ④若是函数的最小值,则存在,使得.

       则下列为真命题的选项是( )

A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 

【答案】D

【解析】对于①,不一定是函数的函数值,所以可能的最小值大于,故错误;对于②,函数有最小值,则可能存在若干个,使得对任意,有,故错误;对于③,函数有最小值,则由最小值的定义,至少存在一个,使得对任意,有,故正确;对于④,若是函数的最小值,则存在,使得,故正确; 故真命题的选项是②错误④正确.

2、 已知函数定义域为为常数,则“”是“为在上最大值”的( )

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

3．y＝在[3,4]上的最大值为(　　)

A．2  B.  C.  D．4

答案　A

解析　y＝＝＝＋1，

∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，

∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.

4、下列函数中，值域是的是（　　）

A．y=2x+1(x>0)    B．y=x2  C．   D．y=

【答案】C

【解析】对于A，函数y=2x+1在上的值域为，A不是；

对于B，二次函数的值域为，B不是；

对于C，函数的值域为，C是；

对于D，函数y=的值域为，D不是.

【巩固型题组】

1、函数在区间上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B

2、函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，解得：，即函数在为增函数，所以，

即函数的值域为，故选：D.

3、若函数的值域是，则函数的值域为 __．

【答案】

【解析】因为函数的值域是，

所以函数的值域为，

则的值域为，

所以函数的值域为．

故答案为：．

4、函数的值域为___________.

【解析】依题意，在上单调递减，则当时，，

在上单调递增，则当时，，

所以函数的值域为.

5、定义，若x∈R，，则f(x)的最大值为(    )

A．2      B．1   C．－1     D．无最大值

【解析】在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图像．所以当x＝1时，f(x)max＝1.故选B

【提高型题组】

1、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；

故选：B

2、点在函数的图象上，当时，的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，则，所以，，

所以，.

故选：C.

3、已知函数，，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在上为增函数，

所以的值域为，记为，

当时，在为增函数，

所以的值域为，记为，

当时，在为减函数，

所以的值域为，记为，

当时，由题意可知是的子集，

所以，得，

当时，由题意可知是的子集，

所以，得，

综上，或，

故选：C

【变式】已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】，使得，等价于， ，

由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，

又在上单调递增，所以，

所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.

【反馈型题组】

1、函数f(x)=1-的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：函数f(x)=1-的定义域为，

所以，则，

所以函数f(x)=1-的值域为，

故选：A

2、函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，函数的值域为，故选：A.

3、已知函数，（），则它的值域为（       ）

A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）

【答案】D

【解析】由题意，函数

设，则，可得

故的值域为.

故选：D.

4、下列函数中，最小值为的是（       ）

A．      B． 

C．     D．

【答案】C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，故取不到最小值，所以A不正确；

对于B，因为二次函数的开口向下，且定义域为，所以最大值为，

无最小值，所以B不符合题意；

对于C，当时，，当且仅当时取等号，所以C正确；

对于D，，

当且仅当即时等号成立，所以D不正确.

故选：C.

5、若函数的值域是，则函数的值域是（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：令，，则．

当时，单调递减，

当时，单调递增，

又当时，，当时，，当时，，

所以函数的值域为，

故选：B．

6．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为在单调递增，在单调递增，

所以在单调递增.所以.

因为对任意恒成立，所以.故选：D

7、已知，，若，则的最值是（       ）

A．最大值为3，最小值       B．最大值为，无最小值 

C．最大值为3，无最小值     D．无最大值，最小值为

【答案】B

【解析】解：根据已知条件，可以求出，

如图所示，在A处取得最大值，没有最小值.

由得.

所以有最大值，无最小值.

故选：B．

8．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在R上为增函数

B．f(e)>f(2)

C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0

D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]

答案　BC

解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；

若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，

则a≥0或a＋1≤0，

即a≤－1或a≥0，故C正确；

当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，

当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，

故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．

9．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)

A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增

B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)

C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)

D．当a>0时，f(x)的值域为R

答案　BCD

解析　当a>0时，f(x)＝x－，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；

又当x→－∞时，f(x)→－∞，

当x→0－时，f(x)→＋∞，

∴f(x)的值域为R，故D正确；

当a＝－4时，f(x)＝x＋，

由其图象(图略)可知，B，C正确．