2.12 函数的图象学案-2024届高三数学一轮复习

2.12 函数的图象

【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．

【再现型题组】           基础知识回顾练

1.下列结论中正确的是（   ）

A函数y＝|f(x)|为偶函数．

B函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．

C当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．

D函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．

【答案】D

2.函数y＝1－的图象是(　　)

【答案】　B

【解析】　将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B.

3.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）

A．  B． 

C．  D．

【答案】C

【解析】因为,所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故正确.

4.分别画出下列函数的图象：（1）（2）（3）

【解析】 (1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).

(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.

(3) 第一步作y＝lgx的图像．

第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．

第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像

第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．

5.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.

【答案】　e－x＋1

【解析】　∵f(x)＝e－x，

∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.

【巩固型题组】           核心考点重点练

1.（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【变式1】在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（       ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，

所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；

当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，

又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

 【变式2】函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（       ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.

故选：B.

【变式3】已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（       ）

A． B．C． D．

【答案】A

【详解】图1：当时，，当时，

当时，于图2不符合，故排除C、D．

∵恒成立，于图2不符合，故排除B．

故选：A．

【变式4】已知函数与的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由图1可知：函数关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即.

函数的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即.

由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.

A：设，因为，

所以是偶函数，不符合题意；

B：设，因为，

所以是奇函数，符合题意；

C：设，因为，

所以是偶函数，不符合题意；

D：由图1可知：，因为函数在时没有意义，故不符合题意，故选：B

2.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1      B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值     D．有最大值－1，无最小值

【答案】　C

【解析】　画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

3.函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．

【答案】　(－3，0)∪(0，3)

【解析】　函数f(x)的图象大致如图所示．

因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，

所以2x·f(x)<0.

由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．

【变式】若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,2]   B. C．(1，)  D．(，2)

【答案】  A

【解析】  要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.

【提高型题组】           能力提升拓展练

1,、双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（       ）

A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称

B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则

C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方

D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合

【答案】B

【详解】对于A，由于，故为奇函数，其图象关于原点中心对称，

而，故为偶函数，图象关于y轴对称，

故A正确；

对于B，当时 ，，故在时为增函数，

当时 ，，故在时为减函数，

因此的最小值在 时取到，最小值为1；

又，故在R上为增函数，

又因为，

由此作出，的大致图象，如图示，

由图象可知，当时，直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有2个交点，故B错误；

对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方，C正确；

对于D，由于，故双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合，D正确，

故选：B

2.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是      

【答案】　

【解析】　∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，

∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．

当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，

令4(x－2)(x－3)＝－，

解得x1＝，x2＝，

∴要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，

则m≤，∴m∈

【反馈型题组】           课堂内容验收练

1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

【答案】　A

【解析】　将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．

2.函数的大致图像为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

当，，函数为奇函数，排除C；

，排除AD；

故选：B.

3.已知函数，则下列图象错误的是（       ）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．

的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．

故选：D．

4.设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　　)

A.y＝f(|x|)　　  B.y＝－|f(x)|    C.y＝－f(－|x|)    D.y＝f(－|x|)

【答案】 C

5.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)

A．y＝   B．y＝ C．y＝   D．y＝

【答案】　A

【解析】　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.

6.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　

【答案】  B

【解析】  函数是关于t的减函数，故排除C，D，

则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B．

7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)

A．(－，0)∪(，2)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)

D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)

【答案】　C

【解析】　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，

由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，

则或

解得x<－2或<x<2或－<x<0，

故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．

8.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)

A．函数y＝f(x)是奇函数

B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)

C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]

D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增

【答案】　BCD

【解析】　由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；

当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；

当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．

此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；

因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，

即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；

由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；

由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．