空间点、直线、平面之间的位置关系导学案-2024届高三一轮复习

第八章 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、学习目标

【课标解读】

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

【衍生考点】

1.平面的基本性质及应用

2.判断空间直线的位置关系

3.异面直线所成的角

二、相关知识回顾

1.平面的基本性质

【微点拨】三个推论

推论1:经过一条直线与这条直线外一点有且只有一个平面;

推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;

推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

【微思考1】三点一定能确定一个平面,这个说法正确吗?

【微思考2】“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?

2.等角定理（要注意角的两边方向）

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角　　　　　　. 

微思考空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗?

3.空间点、直线、平面之间的位置关系

【微点拨】空间中两直线的位置关系

【微思考】分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗?

4.异面直线所成的角

(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a‘∥a,b’∥b,把a'与b'所成的　　　　　　　　　叫作异面直线a与b所成的角. 

(2)范围:.

【常用结论】

1.异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.

2.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

三、考点精讲精练

考点一 平面的基本性质及应用

【典例突破】

例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:

(1)E,C,D1,F四点共面;

(2)CE,D1F,DA三线共点.

【对点训练1】如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E,F,G,H四点共面;

(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.

考点二 判断空间直线的位置关系

【典例突破】

例2.(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

(2)(2021安徽六安模拟)如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有　　　　　. 

【对点训练2】

(1)(2021江苏苏州园区三中阶段检测)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　)

A.共面 

B.相交

C.异面 

D.异面或相交

(2)(2021江西南昌一模)如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是(　　)

A.直线EF,HG有可能平行

B.直线EF,HG一定异面

C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上

D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上

考点三 异面直线所成的角

【典例突破】

例3.(1)(2021全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)

A. B. C. D.

(2)(2021宁夏吴忠二模)如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于(　　)

A.2 B.      C. D.

【对点训练3】

(1)(2021广西玉林育才中学三模)一个长方体的平面展开图如图所示,其中AB=4,AD=2,DH=,点M为AB的中点,则将该长方体还原后,直线AH与CM所成角的余弦值为(　　)

A. B.       C. D.

(2)(2021山东肥城三模)如图,AB为圆锥底面直径,点C是底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=,圆锥侧面展开图是圆心角为π的扇形,当PB与BC所成角为时,PB与AC所成角为(　　)

A. B. C. D.