空间几何体的结构及其三视图、直观图导学案-2024届高三一轮复习

第八章 第一节　空间几何体的结构及其三视图、直观图

一、学习目标

【课标解读】

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

【衍生考点】

1.空间几何体的结构特征

2.直观图

3.空间几何体的侧面展开问题

4.空间几何体的三视图

二、相关知识回顾

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征：多面体是一个封闭的几何体,是由平面多边形围成的,没有曲面

【微点拨】

1.多面体的关系:

2.特殊的四棱柱

【微思考】有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?

(2)旋转体的结构特征---要注意旋转轴及形成旋转体的平面图形

【微点拨】旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.

2.空间几何体的三视图

(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图,分别是从几何体的　　　　方、　　　　方、　　　　方观察几何体画出的轮廓线. 

(2)三视图的画法

①基本要求:　　　　　,　　　　　,　　　　　. 

②画法规则:　　　　　一样高,　　　　　　一样长,　　　　一样宽;看不到的轮廓线画　　线. 

3.空间几何体的直观图

(1)画法:常用斜二测画法.

九十度画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观

(2)规则

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为　　　　　　　,z'轴与x'轴　　　　. 

②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中　　　　　　　　　　　　,平行于y轴的线段长度在直观图中　　　　　　　　　　　. 

【常用结论】

1.常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆.

(2)底面与水平面平行放置的圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形.

(3)底面与水平面平行放置的圆台的主视图和左视图为全等的等腰梯形.

(4)底面与水平面平行放置的圆柱的主视图和左视图为全等的矩形.

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”

3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:

三、考点精讲精练

考点一 空间几何体的结构特征

【典例突破】

例1.(1)给出下列命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0  B.1   C.2  D.3

(2)给出下列命题:

①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;

③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是　　　　. 

对点训练1下列命题正确的是(　　)

A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条与底垂直的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面形状只能是圆和矩形

考点二 直观图

【典例突破】

例2.(1)(2021宁夏中卫三模)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(　　)

A.等边三角形    B.直角三角形   C.非等边的等腰三角形  D.钝角三角形

(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,用斜二测画法画出的△ABC的平面直观图

△A'B'C'的面积为(　　)

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

对点训练2如图所示的是水平放置的△ABC的直观图,D是BC上一点,点D在直观图中的对应点是D',且D'C'<D'B',又A'D'∥y'轴,那么原△ABC中的AB,AD,AC三条线段中(　　)

A.最长的是AB,最短的是AC

B.最长的是AC,最短的是AB

C.最长的是AB,最短的是AD

D.最长的是AD,最短的是AC

考点三 空间几何体的侧面展开问题

【典例突破】

例3.(1)(2021湖南长沙一中高三模拟)《增减算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(　　)

A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺

(2)(2021广东江门高三一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1, AA1=2,M为棱DD1上的一点,当A1M+MC取最小值时,B1M的长为(　　)

A.2 B. C. D.

对点训练3(2021山东青岛高三模拟)如图,四棱锥的底面是正方形,顶点P在底面上的投影是底面正方形的中心,侧棱长为4,侧面的顶角为30°.过点A作一截面与PB,PC,PD分别相交于点E,F,G,则四边形AEFG周长的最小值是

　　　　　. 

考点四 空间几何体的三视图(多考向探究)

考向1.由空间几何体的直观图识别三视图

【典例突破】

例4.(2021吉林省吉林市第二次调研)我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的主视图、左视图、俯视图依次是(　　)

A.①②③    B.②①③    C.②①④    D.③①④

对点训练4(2021四川成都石室中学月考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的主视图为(　　)

考向2.由空间几何体的三视图还原直观图

【典例突破】

例5.(2021广西桂林中学高三月考)空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为(　　)

对点训练5某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(　　)

A.2 B.2 C.3 D.2

考向3.由三视图的两视图推测另一视图

【典例突破】

例6.一个几何体的主视图和俯视图如下图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆,则左视图的面积为(　　)            A.6+π              B.4+π   C.6+4π              D.4+4π

对点训练6(2021贵州贵阳适应性考试一)如图是某几何体的主视图和左视图,则该几何体的俯视图不可能是(　　)