2023年四川省广元市利州区中考数学一模试卷(含解析)

2023年四川省广元市利州区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是(    )

A. 五棱锥
B. 五棱柱
C. 六棱锥
D. 六棱柱

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  我国古代数学名著九章算术中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了次，下列说法错误的是(    )
 

A. 小明成绩的方差比小华成绩的方差小 B. 小明和小华成绩的众数都是环
C. 小明和小华成绩的中位数都是环 D. 小明和小华的平均成绩相同

7.  如图，点、、在上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：
；
关于的方程有两个不等的实数根；
．
其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高直径约为米，将数用科学记数法表示为        ．

13.  如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数若指针正好指向分界线，则重新转一次，这个数是一个奇数的概率是______．

14.  若，则的值是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则图中阴影部分的面积为______ ．

16.  如图，正方形的边长为，点是边上的动点，过点作交于点，点在上，且，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，四边形的面积为，求的长．

20.  本小题分
自实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，：特别好；：好；：一般；：较差；并将调查结果绘制成以下不完整的统计图，扇形统计图指的是各类人数占调查总人数的百分比，请你根据统计图解答下列问题：

本次调查中，张老师一共调查了______ 名同学并将上面的条形统计图补充完整；
若全班有名学生，请估算出全班是类学生的人数；
张老师想从被调查的类学生和类学生中各选取一位同学进行结对“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图求出结对互助学习都是男同学的概率．

21.  本小题分
每年的月日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．
若，求此时云梯的长．
如图，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
参考数据：，，
 

22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
求点的坐标及的值；
若，求一次函数的表达式．

23.  本小题分
某商店决定购进，两种纪念品进行销售已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同．
求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？
该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表．

当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
该商场购进，型纪念品共件，其中型纪念品的件数少于型纪念品的件数，但不少于件若型纪念品的售价为元件时，求商场将，型纪念品均全部售出后获得的最大利润．

24.  本小题分
如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，在中，点、分别在边、上，且．

如图，若，求证：；
如图，若，，，求的长；
如图，若，，，且，求的长．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．

求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标；
如图，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数轴．
根据题意可知，和两点到原点的距离相等，且两点之间的距离为，即可知两个点到原点的距离均为，即可求解．
【解答】
解：由题意可知，和两点到原点的距离相等，且两点之间的距离为，
所以，两个点到原点的距离均为，
又因为表示的点一定在表示的点的左侧，
所以，的值为．  

2.【答案】 

【解析】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，不符合题意．
故选：．
根据单项式乘单项式的乘法法则，幂的乘方与积的乘方计算法则，平方差公式以及同类项的定义进行分析判断．
本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同类项的定义等知识点，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

过点作，
，
，
，，
，
，
，
；
故选：．
过点作，可得，可得，，再利用角的和差关系可得答案．
本题考查了平行公理的应用，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、根据折线统计图可知，小明成绩的波动较小，小华成绩的波动较大，故小明成绩的方差较小．本选项正确，不符合题意．
B、小明和小华的成绩中，环出现的次数均最多，故众数都是环．本选项正确，不符合题意．
C、将小明和小华的成绩分别按大小顺序排列，每组数据的中间两个数都是，故中位数都是环．本选项正确，不符合题意．
D、小明的平均成绩为环，小华的平均成绩为环．本选项错误，符合题意．
故选：．
根据方差，众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
本题考查了数据的集中趋势与离散程度，体现了数据分析的核心素养．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
先求出，再利用圆周角定理可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故选：．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于，

由作图方法可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图所示，过点作于，由作图方法可知，平分，即可证明，得到，从而求出，的长，进而求出的长，即可利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，特殊角的三角函数的应用等，正确求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，，故正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
，，
，
，
，
．
故正确；
故选：．
当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；
将，代入方程，根据根的判别式即可判断；
将，代入，求解后即可判断．
本题考查二次函数图象上点的特征，一元二次方程根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件进行求解即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可知，
指针指向的区域有种可能性，其中指向的区域内的数是奇数的可能性有种，
这个数是一个奇数的概率是，
故答案为：．
根据题意可写出所有的可能性，然后再写出其中指向的区域内的数是奇数的可能性，从而可以计算出指向的区域内的数是一个奇数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
或，
解得：，，
故答案为：或．
把原方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟练的进行因式分解是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，记于轴交于点，
，

直线与相交于，两点，
当时，，解得，
，
当时，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
过作于，记于轴交于点，根据垂径定理可得，可求，，再求解，，，，再利用即可解答．
本题考查垂径定理，直线与坐标轴交点，勾股定理，特殊角的三角函数的应用，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，
正方形的边长为，
，，

连接，，而，，
为等腰直角三角形，
点为的中点，
，，
，
，，，在以为直径的圆上，
，
在线段上运动，
当时，最短，
为的中点，
，此时为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
如图，连接，交于点，证明，，连接，，而，，证明，，可得，，，在以为直径的圆上，，则在线段上运动，当时，最短，从而可得答案．
本题考查的是正方形的性质，圆周角定理的应用，确定圆的条件，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值的应用，证明在线段上运动是解本题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，化简二次根式，计算零次幂，负整数指数幂，再合并即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：


；
，
，
原式． 

【解析】先计算分式的减法，再把除法化为乘法，约分后可得结果，再把化为，再整体代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求解，一元二次方程的解的含义，整体代入数学思想的应用，熟练的利用整体代入进行求值是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

解：，
，
，
，，
设的长为，，，
由得四边形是菱形，
，
菱形的面积为，

解得：负值舍去，
． 

【解析】由平行线的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论；
根据垂直的定义得到，由，可得，设的长为，则，，由得四边形是菱形，可得，根据菱形的面积列方程即可得到答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、二次根式的乘法运算，锐角三角函数的应用，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查中，张老师一共调查了名学生，
选择的女生有：人，
选择的男生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；

故答案为：；
人，
答：全班是类学生的人数是．
类三人为男女，类人为男女，如下表：
 

结对互助学习都是男同学的概率是 ．
根据类学生的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出类女生和类男生的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出全班是类学生的人数．
根据类有男女，类为男女，再利用列表法求解概率即可；
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、利用列表法求解概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
此时云梯的长为；
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在中，，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据题意可得，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：令，则，
，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
即，；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入到直线解析式中得，
一次函数的表达式为． 

【解析】令，则，所以，得到，设，因为轴，所以，，因为的面积为，列出方程得到，所以，所以；
因为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，得到，得到，从而，将坐标代入到一次函数中即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
设利润为，由表格，得：
当时，，
，
随着的增大而增大，
当售价为：元时，利润最大为：元；
当，，
，
当时，利润最大为：元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，
由题意，得：，解得：，
，
，
设，型纪念品均全部售出后获得的总利润为：，
则：，
整理，得：，
，对称轴为直线，
当时，有最大值，
最大值为：， 

【解析】设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而得到型纪念品的最大利润，设总利润为，求出函数关系式，根据函数的性质，可得答案．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
 

24.【答案】解：证明：连接，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
解：连接，
在中，根据勾股定理得，，
点是中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用已知条件证明，即可得到；
连接，先利用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，利用面积法即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
，
，
∽，
，
；
解：由同理可得：，
过作于，
，
∽，

，
，，
，
设，则，
，
解得：，经检验符合题意；
．
解：如图，延长至点，使，
，

，，
；
，
作于，
，
，
，，
，
作的中垂线交于，交于，
设，则，，
由得：，
，，
，
∽，
，
，
，经检验符合题意；
． 

【解析】先证明，再证明∽，再利用相似三角形的性质可得答案；
由同理可得：，过作于，证明∽，可得，设，则，再建立方程解答即可；
如图，延长至，使，可得，作于，可得，，求解，，可得，作的中垂线交于，交于，设，则，，证明∽，可得，再建立方程求解即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．
 

26.【答案】解：将，两点代入，
得：，
解得：，
，
，
该函数图象顶点坐标为；

设直线的解析式为，将，两点代入，得：
，
解得：，
，
设，则，，
，，
，
，
解得：或或或，
点横坐标为或或或；

过点作交轴于点，作点关于的对称点，连接、，

点关于轴的对称点为点，
，
令，则，
解得：或，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
、、三点共线时，的值最小．
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，把、坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
，
． 

【解析】直接将，两点代入求得、的值即可解答；
先运用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则可得，的坐标，再利用可得方程，解方程即可；
根据得到点坐标，作点关于的对称点，连接与交于点，则的最小值为，联立直线和直线的解析式可求点，进而求出．
本题考查了二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，解绝对值方程，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．