2023年中考数学冲刺复习知识点：因式分解

2023年中考数学冲刺复习知识点：因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1.分解因式x2-2x-x

　x2-2x-x=x(x-2x-1)

2应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.

例2.分解因式a2+4ab+4b2

a2+4ab+4 b2=（a+2b）2

3分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3.分解因式m2+5n-mn-5m

　m2+5n-mn-5m= m2-5m-mn+5n

=( m2-5m)+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4十字相乘法

对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4.分解因式7x2-19x-6

分析：1         -3

7          2

2-21=-19

7x2-19x-6=（7x+2）(x-3)

5配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.

例5.分解因式x2+3x-40

解x2+3x-40= x2+3x+(1.5)2-(1.5)2-40

=(x+1.5)2-(6.5 )2

=(x+1.5+6.5)(x+1.5 -6.5)

=(x+8)(x-5)

6拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解.

例6.分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.

例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2

2x4-x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2

=x2[2(x2+ 1/x2)-(x+ 1/x )-6]

令y=x+1/x，x2[2(x2+ 1/x2 )-(x+ 1/x )-6]

=x2[2(y2-2)-y-6]

=x2(2y2-y-10)

=x2(y+2)(2y-5)

=x2(x+ 1/x+2)(2x+ 2/x -5)

=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)

=(x+1)2(2x-1)(x-2)

8求根法

令多项式f(x)=0，求出其根为x，x，x，……x，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)

例8.分解因式2x+7x-2x-13x+6

令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1

则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与x轴的交点x，x，x，……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)

例9.因式分解x+2x-5x-6

令y=x+2x-5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.

例10.分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)

=(b-c)[a-a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.

例11.分解因式x+9x+23x+15

令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3.5.7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.

例12.分解因式x-x-5x-6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.

设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)

=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)