(暑期班)初升高数学衔接讲义第03讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

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初高中衔接素养提升专题讲义第三讲   一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）【知识点透析】1、一元二次根的判别式  一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：(1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根：(2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；   (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；      (4) 方程无实数根．【解析】： (1) ；  (2) ； (3) ；  (4) ．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ）A．35 B．30 C．26 D．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：由①得：，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有实数根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为10．【例2】已知实数、满足，试求、的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：【变式1】已知，，满足，，，则的值为（    ）A． B．5 C．6 D．【答案】B【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可．【详解】解：，，，，，，，，．故选：B．【变式2】新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵与是“同类方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴当时，取得最大值为2023．故答案为：．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：【知识点精讲】【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.【答案】．（1），  （2）   【解析】（1）由，，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当时，即：因此：（2）【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值.【解析】：是一元二次方程的不等实根则有原式=【变式2】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范围．【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．(1)∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；(2)T＝＋，======2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴且∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2．【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．【详解】（1）假设存在实数k，使成立．∵一元二次方程的两个实数根∴，又，是一元二次方程的两个实数根∴∴，但 ．∴不存在实数k，使成立．（2）∵∴要使其值是整数，只需能整除4，∴，，，注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．所以的值为 【变式4】设一元二次方程的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：，记，那么______．【答案】100【分析】根据得到，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程的两根分别为a，b，∴，∴，∴，，，∴，故答案为：100．
初高中衔接素养提升专题课时检测第三讲   一元二次方程的判别式与韦达定理（精讲（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）[来源:学科网]A.     B. 且    C.     D. 且【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，∴ ，解得，且.故选B.【答案】B2.若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是（  ）A. -2        B. -1           C. 1        D. 2【解析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。【答案】A。3.已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【详解】∵是一元二次方程的一个根，∴∴∴故选：4.已知正实数满足，为方程的根，则（       ）A． B． C． D．【答案】．A【解析】【分析】先由，求出的值，根据韦达定理，得到，，进而可求出结果.【详解】由解得或，因为为正实数，所以，又为方程的根，所以，；因此.故选A5．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（       ）A． B． C．或 D．或【答案】．B【解析】【分析】利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值.【详解】由题意可知，可得，由韦达定理可得，因为，则，原方程为，所以，，故，因此，.故选：B.  二、填空题6．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________.【答案】．【分析】由题知，，再根据韦达定理求解得，进而解方程得【详解】解：因为关于x的方程的两个实数根为，所以，，所以 所以，因为，所以，即，解得 因为，所以故答案为：7.已知实数， 满足等式，，则的值是______．【答案】【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数， 满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：8．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为　2012　．【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，∴a2﹣2013a+1＝0，∴a2＝2013a﹣1，∴原式＝2013a﹣1﹣2012aa111＝2013﹣1＝2012．故答案为：2012．9.观察下列一组方程：①；②；③；④；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”，若也是“连根一元二次方程”，则k的值为____________．【答案】【分析】设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出的值；【详解】设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得：，解得：，，∴，∴，故答案为：10．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则＝        　．【解答】【解析】由根与系数的关系得an+bn＝n+3，an•bn＝﹣3n2，所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1），则，∴原式＝＝＝.三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得关于k的方程，求解该方程即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、，∴，∵，∴．解方程得：，．∵，∴．12.已知关于x的一元二次方程 ，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．【答案】（1）证明见解析；（2）k≤1；（3）2．