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    2024年新高考数学一轮复习 第五章 第三节 第二课时 平面向量数量积的综合问题

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    课时跟踪检测(三十七) 平面向量数量积的综合问题一、全员必做题1.在ABC中,·<0,则ABC的形状是(  )A.锐角三角形  B.钝角三角形C.直角三角形  D.不能确定解析:选B 由题意,·=||||cos〈〉=||·||cos B<0,cos B<0,又B(0,π),B为钝角,则ABC的形状是钝角三角形.2.已知向量abc满足a=(3,0),b=(0,4),cλa+(1-λ)b(λR),则|c|的最小值为(  )A.  B.C.  D.解析:选B 由条件可知c=(3λ,4-4λ),则|c|=,当λ时,|c|min.3.已知点DRtABC的斜边BC上,若AB=2,AC=3,则·的取值范围为(  )A.[2,3]  B.[0,4]C.[0,9]  D.[4,9]解析:选D 设λ,其中0λ1,则λ(),从而λ+(1-λ),故·=[λ+(1-λ)]·()=λ2-(1-λ)2+(1-2λ)·=9λ-4(1-λ)=13λ-4[4,9]4.已知向量ab满足|a|=,|b|=1,且对任意实数x,不等式|axb||ab|恒成立,设ab的夹角为θ,则tan 2θ=(  )A.-  B.  C.-  D.解析:选D |axb||ab|a2+2x a·bx2b2a2+2a·bb2x2+2xcos θ-(1+2cos θ)0,要想不等式|axb||ab|恒成立,只需Δ=(2cos θ)2+4(1+2cos θ)0(cos θ+1)20,而(cos θ+1)20,所以(cos θ+1)2=0,即cos θ+1=0cos θ=-θ[0π],则有sin θ,则有tan θ=-2,所以tan 2θ.5.(2023·武汉调研)(多选)如图,点AB在圆C上,则·的值(  )A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点AB的位置有关解析:选BC 如图,连接AB,过CCDABABD,则DAB的中点,故·=||·||·cosCAD=||·||·||2,故·的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.6.已知空间非零向量abc满足〈ab〉=,|a|=a·(bc)=2,bc方向相同,则|c|的取值范围为(  )A.[0,2]  B.(0,1)  C.(0,2)  D.(1,2)解析:选C 由题可设bλc(λ>0),由〈ab〉=可知〈abc〉=,所以a·(bc)=a·(λcc)=|λcc|·=2,所以|c|=,因为λ>0,λ+1>1,所以0<<2,即|c|(0,2).7.已知面积为6的RtABC中,PQ为斜边BC上的两个三等分点,则·的最小值为(  )A.  B.  C.8  D.解析:选B 如图所示,RtABC面积为6,设ACt(0<t<12),则AB.又PQ为斜边BC上的两个三等分点,设PQ·2=2,当且仅当,即t=2时,·取得最小值.8.设O是平面上一定点,ABC是平面上不共线的三点,动点P满足λλ[0,+),则点P的轨迹经过ABC的(  )A.内心  B.外心  C.垂心  D.重心解析:选C ··λ·λ(-||+||)=·,则··=0,即·=0,故APBC,即点P的轨迹经过ABC的垂心.9.已知正方形ABCD的边长为2,动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上,则·的取值范围是(  )A.[-2,2]  B.[0,2]C.[4,4]  D.[0,4]解析:选C 以点D为圆心,以DCDA所在直线分别为xy轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),A(0,2),B(2,2),C(2,0),圆D的半径为P(cos θsin θ),θR=(cos θ-2,sin θ-2),=(2,-2),·=2(cos θ-2)-2(sin θ-2)=4cos,当cos=-1时,·取最小值-4,当cos=1时,·取最大值4.10.如图,在ABC中,AB=2ACBACP1P2P3是边BC的四等分点,记I1·I2·I3·,则(  )A.I1I2I3  B.I2I1I3C.I2I3I1  D.I3I2I1解析:选C 因为(),所以I1(2·),I3(2·),故只需判断22·之间的大小关系.不妨令AC=1,AB=2,则由余弦定理可得BC,作ADBC,由勾股定理容易得到P3位于点D的右侧,故AP3B为锐角,显然有22·,故I2I3I1,选C.11.已知向量abc满足:a=(4,0),b=(4,4),(ac)·(bc)=0,则b·c的最大值是(  )A24  B.24-8C.24+8  D.8解析:选C 设a=(4,0),b=(4,4),c=(xy),则ac=(4-x,-y),bc=(4-x,4-y),又(ac)·(bc)=0,(4-x)2y(4-y)=0,即(x-4)2+(y-2)2=4,C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=4.而b·c=4x+4y,令z=4x+4y,由平面几何知识,得当直线4x+4yz=0与圆(x-4)2+(y-2)2=4相切时,z取得最大值或最小值,即zmax=24+8,故选C.12.已知ab是单位向量,a·b=0,若向量c满足|cab|=1,则|cb|的取值范围是(  )A.[-1,+1]  B.[1,+1]C.[0,2]  D.[-1,+1]解析:选D 单位向量ab满足a·b=0,即ab,作ab,以OAOB所在直线分别作为xy轴建立平面直角坐标系,如图所示,a=(1,0),b=(0,1),设c=(xy),则cab=(x-1,y+1),由|cab|=1得,(x-1)2+(y+1)2=1,令(0θ<2π),即c=(1+cos θ,-1+sin θ),|cb|=,其中锐角φ满足因此,当sin(θφ)=-1时,|cb|max+1,当sin(θφ)=1时,|cb|min-1,所以|cb|的取值范围是[-1,+1].13.在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,若·=6,则AP=______.解析:平行四边形ABCD中,AOOC,因为·=6,所以·=3,根据向量的几何意义可知·A2=3,解得AP=||=.答案:14.已知向量ab满足|a|=2|b|,a·b=-1,则|ab|的最小值为________.解析:设向量ab的夹角为θ,因为a·b=-1,所以θ,则a·b=|a|·|b|·cos θ=2|b|2·cos θ=-1,所以|b|2,所以|ab|2=|a|2+|b|2+2a·b=5|b|2-2,即|ab|的最小值为.答案:15.(2023·新乡模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以在高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮的最高点距离地面的高度为12,转盘的直径为10,AB为摩天轮在地面上的两个底座,|AB|=10,点P为摩天轮的座舱,则·的取值范围为________.解析:设CAB的中点,如图所示,由题意可知2|PC|12,则·=()·()=222-52,又因为||[2,12],所以·的取值范围是[21,119]答案:[21,119]二、重点选做题1.已知平面向量满足||=||=1,·=-.若||=1,则||的最大值为(  )A.-1  B.-1C.+1  D.+1解析:选D 因为||=||=1,·=-,所以cosAPB=-,即APB,由余弦定理可得AB.如图,建立平面直角坐标系,则AB,由题设点C(xy)在以B为圆心,半径为1的圆上运动,结合图形可知,点C(xy)运动到点D时,有|AC|max=|AD|=|AB|+1=+1.故选D.2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(nt),C(ksin θt).(1)若a,且||=||,求向量(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求·.解:(1)由题设知=(n-8,t),a8-n+2t=0.||=||,5×64=(n-8)2t2=5t2,得t±8.t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,=(24,8)或=(-8,-8).(2)由题设知=(ksin θ-8,t),a共线,t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k2.k>4,0<<1,当sin θ时,tsin θ取得最大值.=4,得k=8,此时θ=(4,8),·=(8,0)·(4,8)=32.

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