2024年新高考数学一轮复习 第五章 第三节 第一课时 平面向量数量积
展开课时跟踪检测(三十六) 平面向量数量积
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:选C 由|a-2b|=3,得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1,故选C.
2.设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-λb)⊥c,则λ等于( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
解析:选A 由题意得a-λb=(1+λ,1-3λ),
又∵(a-λb)⊥c,c=(2,1),∴(a-λb)·c=0,
即2(1+λ)+1-3λ=0,∴λ=3.
3.已知a和b为非零向量,且|2a+b|=|2a-b|,a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析:选C 因为|2a+b|=|2a-b|,则|2a+b|2=|2a-b|2,即4a2+4a·b+b2=4a2-4a·b+b2,所以a·b=0,又因为a和b为非零向量,则a与b的夹角为.
4.设向量a=(x,-4),b=(1,-x),向量a与b的夹角为锐角,则x的取值范围为( )
A.(-2,2) B.(0,+∞)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.[-2,2]
解析:选C 由向量a=(x,-4),b=(1,-x),因为向量a与b的夹角为锐角,
所以x×1+(-4)×(-x)>0且-x2≠-4,解得x>0且x≠2,
即x的取值范围为(0,2)∪(2,+∞).
5.已知向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=,〈a,b〉=150°,则|b|=( )
A.2 B. C.1 D.
解析:选D 因为|a-2b|=,所以|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=|a|2+4|b|2-4|a||b|cos〈ab〉=7,因为|a|=1,〈a,b〉=150°,所以1+4|b|2+2|b|=7,即2|b|2+|b|-3=0,解得|b|=(负值舍去),所以|b|=.
6.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( )
A. B.
C. D.
解析:选A 设=a,=b,∴|a|=|b|=2,且〈a,b〉=,=-=(1-λ)b-a,=-=λa-b,·=[(1-λ)b-a]·(λa-b)=-2λ2+2λ-2=-,
∴λ=.
7.(多选)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则下列结论正确的是( )
A.(a+b)⊥a
B.|2a+b|=
C.向量a,b的夹角为
D.b在a方向上的投影向量是a
解析:选AC 对于A,a+b=(3,-1),由(a+b)·a=3×1+(-1)×3=0,得(a+b)⊥a,故A正确;对于B,2a+b=2(1,3)+(2,-4)=(4,2),|2a+b|==2,故B错误;对于C,a·b=1×2+3×(-4)=-10,|a|==,|b|==2,则cos〈a,b〉===-,即向量a,b的夹角为,故C正确;对于D,b在a方向上的投影向量是a=a=-a,故D错误.
8.(2023·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则·等于( )
A.12 B.-12 C.20 D.-20
解析:选B 如图所示,由题知∠BAD=∠BCD=90°,AD=2,CD=4,∴·=(+)·=·+D·=||||cos∠BDA-||||cos∠BDC=||2-||2=4-16=-12.
9.长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cos θ=( )
A.- B.- C.- D.-
解析:选B 由题意知(v1+v2)·v2=0,则v1·v2+v=|v1||v2|cos θ+v=0,因为|v1|=10,|v2|=4,即10×4cos θ+42=0,所以cos θ=-.
10.(多选)在平面四边形ABCD中,||=||=||=·=1,·=,则( )
A.||=1
B.|+|=|-|
C.=
D.·=
解析:选ABD 因为||=||=||=1,·=||||cos B=,可得B=,所以△ABC为等边三角形,则||=1,故A正确;因为||=1,所以2=1,又·=1,所以2=·,得2-·=·(-)=·=0,所以AC⊥CD,则|+|=|-|,故B正确;根据以上分析作图,由于BC与AD不平行,故C错误;建立如图所示的平面直角坐标系,
则B,C,D,=,=,所以·=,故D正确.
11.(2023·淄博模拟)如图在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB中点,CE=3,CB=8,AB=12,则·=( )
A.-15 B.-13
C.13 D.15
解析:选C 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0),
又CE=3,CB=8,AB=12,则CF==10,
即CE=FC,即FE=FC,则=+=(6,0)+(-6,8)=,
则=,=,则·=×+2=13,故选C.
12.(多选)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=4,点M为线段AB的中点,P为线段CM的中点,延长AP交边BC于点N,则下列结论正确的是( )
A.=+
B.=3
C.||=
D.与夹角的余弦值为
解析:选AC 对A,=+=+,故A正确;对B,设=λ,则由选项A知,λ=+,故=+,因为B,N,C三点共线,故+=1,解得λ=,故=+,故+=++,所以=+,即=2,故B错误;对C,由余弦定理,得cos∠BAC==-,且=+,故||2=||2+||2+||||·,即||2=1+-=,所以||=,故C正确;对D,在△ANC中,AN=,AC=2,NC=BC=,故cos∠NAC===,故D错误.
13.(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=__________.
解析:∵a⊥b,∴a·b=m+3(m+1)=4m+3=0,解得m=-.
答案:-
14.(2023·扬州模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为________.
解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7,∴a·b=-1,又θ∈[0,π]
cos θ==-,∴θ=.
答案:
15.在平面直角坐标系中,力F(2,3)作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力F对物体做的功为________.
解析:根据题意,力F对物体做的功为W=F·,又A(2,0),B(4,0),则=(4-2,0-0)=(2,0),又F=(2,3), 所以W=F·=2×2+3×0=4.
答案:4
16.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,他用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.如图,某数学探究小组仿照“勾股圆方图”,利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF,拼成一个大的正六边形GHMNPQ,若AB=AG=1,则·=________.
解析:在正六边形ABCDEF中,BE⊥FD,则·=0.所以·=·(+)=·+·=·.因为六边形GHMNPQ是正六边形,所以∠PFQ=60°,且G,F,E,P四点共线.又AB=AG=1,所以GF=FE=1,所以·=·=||||·cos∠PFQ=1×2×=1.
答案:1
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