2024年新高考数学一轮复习 第五章 第四节 复数

课时跟踪检测(三十八) 复数

1．(2023·海口模拟)复数的虚部为(　 )

A.  B．  C．－  D．－

解析：选D　由已知得＝＝＝－i，则复数－i的虚部为－，故选D.

2．(2023·西安模拟)已知a，b∈R，且复数z＝＋i∈R，则(　 )

A．a＋b＝0  B．a＋b＝2

C．a－b＝0  D．a－b＝2

解析：选B　z＝＋i＝＋i＝＋i，因为z∈R，故1＝，a＋b＝2，故选B.

3．(2023·石家庄质检)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则对应的点位于(　 )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　由复数的几何意义知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，

则＝＝＝－－i，

对应的点的坐标为，位于第三象限．

4．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　 )

A．4  B．4 

C．2  D．2

解析：选D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D.

5．(2023·威海模拟)已知复数z与复平面内的点(1,2)对应，则＝(　 )

A．1＋i  B．1－i

C．－1＋i  D．－1－i

解析：选C　由复数的几何意义可知z＝1＋2i，则＝＝＝＝－1＋i.

6．(2023·萍乡模拟)在复平面内，复数z1，z2所对应的点关于虚轴对称，若z1＝1＋2i，则复数z2＝(　 )

A．－1－2i  B．－1＋2i

C．1－2i  D．2＋i

解析：选B　因为z1＝1＋2i对应的点为(1,2)，z1，z2所对应的点关于虚轴对称，

所以z2对应的点为(－1,2)，所以z2＝－1＋2i.

7．(多选)已知复数z＝，则下列说法正确的是(　 )

A．复数z在复平面内对应的点在第四象限

B．复数z的虚部为－6

C．复数z的共轭复数z＝－8＋6i

D．复数z的模|z|＝10

解析：选BCD　z＝＝＝＝－8－6i，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；虚部为－6，故B正确；复数z的共轭复数z＝－8＋6i，故C正确；复数z的模|z|＝＝10，故D正确．

8．(2023·开封市东信学校模拟)复数z满足i2 022z＝，则复数z＝(　 )

A.＋i  B．－i

C．－＋i  D．－－i

解析：选D　由i2＝－1，i4＝1可得i2 022＝i4×505＋2＝(i4)505·i2＝－1，则－z＝＝＋i，所以z＝－－i.

9．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，其对应的点为Z0，满足条件|z|＝1的点Z与Z0之间的最大距离为(　 )

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选C　因为z0＝＝＝，且复数z0是纯虚数，所以a＋2＝0且2－a≠0，解得a＝－2，所以z0＝2i，则Z0(0,2)，由于|z|＝1，故设Z(x，y)且x2＋y2＝1，－1≤y≤1，所以|ZZ0|＝＝＝≤ ＝3，故点Z与Z0之间的最大距离为3.故选C.

10．(2023·南通模拟)已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点z所在区域的面积为(　 )

A．π  B．2π  C．3π  D．4π

解析：选C　令z＝a＋bi且a，b∈R，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，

所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即对应区域是圆心为(1，－1)，半径分别为1,2的两个同心圆的面积差，所以区域的面积为4π－π＝3π.

11．(2023·枣庄一模)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则(　 )

A．|z1－z2|＝  B．|z1|＝

C．z1＋z2＝1  D．z1z2＝1

解析：选D　由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，由求根公式得＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.

|z1－z2|＝|i|＝，A错误；|z1|＝＝＝1，B错误；

z1＋z2＝－1，C错误；z1z2＝·＝2－2＝1，D正确．

12．(2023·潍坊模拟)(多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　 )

A.∈R

B.＝·

C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2

D．若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则||＝5

解析：选BC　对于A，＝＝＝＝－i，A错误；

对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，

∴＝－5＋i；

又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；

对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；

对于D，由题意得＝(2，－3)，＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3,2)，

∴||＝＝，D错误．

13．(2023·天津耀华中学模拟)已知i为虚数单位，则复数z＝＝________.

解析：z＝＝·＝·＝·＝－i.

答案：－i

14．复数1＋(i是虚数单位)是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则实数c＝________.

解析：1＋＝1＋＝1＋i，由题意可得(1＋i)2－2(1＋i)＋c＝c－2＝0，解得c＝2.

答案：2

15．若复数z＝－3＋(a－2)i(a∈R)为实数，则的值为________．

解析：因为复数z＝－3＋(a－2)i(a∈R)为实数，所以a－2＝0，解得a＝2，

又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，又2 023＝4×505＋3，所以i2 023＝i4×505＋3＝－i，

所以＝＝＝＝.

答案：

16．在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)．已知z＝(＋i)4，则||＝________；若复数ω满足ωn－1＝0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R，请写出一个满足条件的ω＝________.

解析：∵＋i＝2，

∴z＝(＋i)4＝24，

则||＝|z|＝24＝16.由题意知ω6＝1，

设ω＝cos θ＋isin θ，则ω6＝cos 6θ＋isin 6θ＝1，

所以又ω∉R，所以sin θ≠0，

故可取θ＝，则ω＝cos＋isin.

答案：16　cos＋isin(k＝1,2,4,5)