2024年新高考数学一轮复习 第八章 第二节 第二课时 直线与圆的位置关系

课时跟踪检测（五十七） 直线与圆的位置关系

一、全员必做题

1．直线kx＋y－2－3k＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0的位置关系是(　 )

A．相离  B．相切

C．相交  D．相交或相切

解析：选C　直线kx＋y－2－3k＝0即k(x－3)＋(y－2)＝0，过定点(3,2)，因为圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，则32＋22－4×3－5＝－4<0，所以点(3,2)在圆内，则直线与圆相交．故选C.

2．(2023·秦皇岛模拟)直线l：x＋y＝0被圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0截得的弦长为(　 )

A.      B.       C.  D.

解析：选B　将圆C的方程化为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则圆C的圆心为(3,2)，半径为4，因为圆心到直线l的距离为＝，所以直线l被圆C截得的弦长为2＝.故选B.

3．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是(　 )

A．3x－y－5＝0  B．3x＋y－7＝0

C．x＋3y－5＝0  D．x－3y＋5＝0

解析：选A　∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，∴其方程为＝，整理，得3x－y－5＝0.故选A.

4．过点A(－4，－1)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的一条切线AB，切点为B，则△ABC的面积为(　 )

A．2        B．6    C．12      D．6

解析：选D　由题可得圆心C的坐标为(2,1)，半径r＝2，所以|AC|＝＝2，所以|AB|＝＝＝6，因此S△ABC＝|AB|·|CB|＝×6×2＝6.故选D.

5．(2023·邯郸一模)已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若·＝0，则m的值为(　 )

A．－4或0  B．－4或4

C．0或4  D．－4或2

解析：选A　由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(0，－2)，半径为2，由·＝0，得CA⊥CB，即圆心C到直线x－y＋m＝0的距离为2×＝，即＝，即m＝0或m＝－4.故选A.

6．(2023·湖北省天门中学模拟)(多选)已知直线l：x＋y－4＝0，圆O：x2＋y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则(　 )

A．直线l与圆O相切

B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为

C．存在点M，使∠AMB＝90°

D．存在点M，使△AMB为等边三角形

解析：选BD　对于A选项，圆心到直线的距离d＝＝2>＝r，所以直线和圆相离，故A错误；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为d－r＝，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，∠AMB有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，△AMB为等边三角形，故D正确．故选B、D.

7．(多选)已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝16，则(　 )

A．直线l恒过定点(2, 0)

B．存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直

C．直线l与圆O相交

D．若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为4

解析：选BC　对于A、C，由l：kx－y＋2k＝0，得k(x＋2)－y＝0，令解得所以直线l恒过定点(－2,0)，故A错误；因为直线l恒过定点(－2,0)，而(－2)2＋02＝4<16，即(－2,0)在圆O：x2＋y2＝16内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线l0：x－2y＋2＝0的斜率为，则当k＝－2时，满足直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直，故B正确；对于D，当k＝－1时，直线l：x＋y＋2＝0，圆心到直线的距离为d＝＝，所以直线l被圆O截得的弦长为2＝2＝2，故D错误．故选B、C.

8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

解析：设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.

答案：2

9．与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为________．

解析：设直线的方程为y＝x＋m，即x－y＋m＝0.圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为2，由＝2，解得m＝5或m＝－3.故所求直线方程为y＝x＋5或y＝x－3，即x－y＋5＝0或x－y－3＝0.

答案：x－y＋5＝0或x－y－3＝0

10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.

答案：3

11．已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

解：(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.

因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.

(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为 ＝＝1.

12．已知圆C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．

(1)求圆C的方程；

(2)①请问·是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

②若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．

解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

依题意，得解得

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.

(2)①·为定值，过点A(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，

∴·＝||·||cos 0°＝|AT|2＝7，

∴·为定值，且定值为7.

②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1，又当k＝1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝x＋1.

二、重点选做题

1.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1,2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是(　 )

A．1  B．－7

C．1或－1  D．2或－7

解析：选A　由题知M(－1,2)，N(1,4)，则线段MN的中点坐标为(0,3)，易知kMN＝1，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3－x上．设圆心为S(a,3－a)，则圆S的方程为(x－a)2＋(y－3＋a)2＝2(1＋a2)．当∠MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P(由题中结论得)，则此时P的坐标为(a,0)，代入圆S的方程，得2(1＋a2)＝(a－3)2，解得a＝1或a＝－7，即对应的切点分别为P(1,0)和P′(－7,0)．因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，P′的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以∠MPN>∠MP′N，故点P(1,0)为所求，即点P的横坐标为1.

2．(多选)过点P(－1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－12＝0交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝2，则(　 )

A．|AB|的最小值为2

B．△ABC面积的最大值为8

C．△ABC面积的最大值为

D．|＋|的最小值为6－2

解析：选ACD　∵x2＋y2－4y－12＝0即x2＋(y－2)2＝16，∴圆心C(0,2)，半径r＝4，P(－1,0)在圆C内，|PC|＝，设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d≤，∵|AB|＝2，∴|AB|min＝2＝2，故A正确；S△ABC＝|AB|·d＝·2·d＝＝.∵0≤d2≤5，∴当d2＝5时，(S△ABC)max＝，故B错误，C正确．取MN的中点E，则CE⊥MN，又|MN|＝2，则|CE|＝＝3，∴点E的轨迹是以C(0,2)为圆心，半径为3的圆．∵|＋|＝2||，且||min＝3－|PC|＝3－，∴|＋|的最小值为6－2，故D正确．故选A、C、D.

3．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法错误的是(　 )

A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为

B．切线长|PA|的最小值为

C．四边形ACBP面积的最小值为2

D．直线AB恒过定点

解析：选ABC　由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2,0)，半径r＝1，所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为＝，因为－1<<＋1，故圆C上不是只有一个点到直线l的距离为，所以A错误；由圆的性质，可得切线长|PA|＝＝ ，当|PC|最小时，|PA|达到最小，又|PC|min＝，则|PA|min＝1，所以B错误；由四边形ACBP的面积为2××|PA|×|CA|＝|PA|，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，所以C错误；设P(t，－t)，由题知A，B在以PC为直径的圆上，又由C(2,0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0，由解得x＝，y＝－，即直线AB恒过定点，所以D正确．故选A、B、C.

4．已知圆C：x2＋y2＋4x－2y－4＝0.

(1)过点M(1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程；

(2)设过点的直线m与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为1∶2，求直线m的方程．

解：(1)由C：x2＋y2＋4x－2y－4＝0可得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，

即圆心为C(－2,1)，半径r＝3，

显然当直线斜率不存在时，x＝1是圆的切线，

当直线斜率存在时，设直线为y－5＝k(x－1)，即kx－y＋5－k＝0，

由圆心到直线的距离d＝＝3，解得k＝，

故切线为7x－24y＋113＝0或x＝1.

(2)因为点A，B分圆周得两段弧长之比为1∶2，故∠ACB＝120°，

所以∠CAB＝30°，故圆心到直线的距离d＝＝，

直线斜率不存在时，由－(－2)≠知，不符合题意，

当直线斜率存在时，设直线方程为y－1＝k，

则圆心到直线的距离＝，解得k＝±，故直线方程为6x－8y＋5＝0或6x＋8y－11＝0.