2024年新高考数学一轮复习 第八章 第二节 第一课时 圆的方程

课时跟踪检测（五十六） 圆的方程

1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(2,0)，点M满足＝2，则点M的轨迹方程为(　 )

A．(x＋4)2＋y2＝16  B．(x－4)2＋y2＝16

C．x2＋(y＋4)2＝16  D．x2＋(y－4)2＝16

解析：选B　∵＝2，∴|MA|＝2|MB|，设M(x，y)，则＝2，整理得(x－4)2＋y2＝16，故选B.

2．(2023·山东烟台二中高三期末)刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．

甲：该圆经过点(2,2)．乙：该圆的半径为.丙：该圆的圆心为(1,0)．丁：该圆经过点(7,0)．

如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　 )

A．甲        B．乙         C．丙        D．丁

解析：选D　假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心(1,0)到点(2,2)的距离与圆心(1,0)到点(7,0)的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误，点(2,2)到点(7,0)的距离大于2，不成立；假设丁的结论错误，圆心(1,0)到点(2,2)的距离等于，成立．故选D.

3．(2023·盐城模拟)圆C为过点P(4,3)，Q(2,5)的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为(　 )

A．[2,5]  B．[3,6]

C．[5－，5＋2]  D．[5－，5＋]

解析：选D　易知以PQ为直径的圆最小，则圆心为C(3,4)，半径为，圆心到原点的距离为5，所以M到原点O距离的取值范围为[5－，5＋]．故选D.

4．(2023·福州模拟)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若＝6，则圆C的标准方程为(　 )

A．(x－1)2＋(y－2)2＝25

B．(x－1)2＋(y－2)2＝36

C．(x－1)2＋(y－2)2＝16

D．(x－1)2＋(y－2)2＝49

解析：选A　圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，则d＝＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选A.

5．已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线x－y＋＝0上，且圆C上的点到直线 x＋y＝0的距离的最大值为1＋，则a2＋b2的值为(　 )

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　易知圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，所以圆心为(a，b)，由圆心在直线x－y＋＝0上，可得a－b＋＝0，即b＝(a＋1)　①.圆C上的点到直线 x＋y＝0的距离的最大值dmax＝1＋＝＋1，得|a＋b|＝2　②.由①②得|2a＋1|＝2，又a＜0，所以a＝－，a2＋b2＝a2＋3(a＋1)2＝3.

6．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　 )

A．圆M的圆心坐标为(1,3)

B．圆M的半径为

C．圆M关于直线x＋y＝0对称

D．点(2,3)在圆M内

解析：选ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，半径为.因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．故选A、B、D.

7．已知点P(x，y)为半圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1(y≥1)上一动点，则的最大值为(　 )

A.＋1      B.＋      C.        D.＋1

解析：选D　＝＋1，其中表示半圆上的动点P(x，y)与点Q(0,1)连线的斜率．过点Q(0，1)作QB与半圆相切，B为切点，此时斜率最大，则在Rt△CBQ中，|CB|＝|CQ|，所以∠CQB＝30°，则kQB＝tan∠CQB＝，所以的最大值为＋1.

8．(2023·南京模拟)(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　 )

A．若a≠0，则点O在圆C外

B．圆C与x轴相切

C．若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1

D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2

解析：选ABD　对于A，当a≠0时，将原点代入圆的方程可得a2>0，故点O在圆C外，故A正确；对于B，圆C化为标准方程即为(x－a)2＋(y－3)2＝9，则圆心C(a,3)，r＝3，显然圆心C到x轴距离为3等于半径，所以相切，故B正确；对于C，根据题意，4＝2，解得a＝±1，所以若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝±1，故C不正确；对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以点O在圆C上，显然最小值为0，最大值为2r＝6，故乘积为0且等于a2；当a≠0时，由选项A知，点O在圆C外，|OC|＝，所以最大值为|OC|＋r，最小值为|OC|－r，乘积为|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2，故D正确．故选A、B、D.

9．已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述不正确的是(　 )

A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上

B．满足条件的圆C有且只有一个

C．点(2，－1)在满足条件的圆C上

D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4

解析：选B　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确．

10．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，|AB|＝2，点C满足AC⊥BC，则点C到点P(，1)的距离的最大值为(　 )

A．3       B.        C．5  D．4

解析：选D　由题意可知点C在以线段AB为直径的圆上，设AB的中点坐标为M(a，b)，有|OM|＝|AM|＝|BM|＝1，可得a2＋b2＝1.由|MP|≤|OP|＋1，|OP|＝＝2，有|CP|≤|MP|＋1≤|OP|＋1＋1＝2＋1＋1＝4.当且仅当O，M，P三点共线时取等号．

11．圆M：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，记点P(a，b)，坐标系的原点为O，则|OP|的最小值为(　 )

A．3       B.      C．2  D.

解析：选B　由题意，x2＋y2＋2x－4y＋3＝0⇔(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圆M的圆心为(－1,2)，半径r＝，圆M：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，即圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，故－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3，故|OP|＝＝＝，当b＝－时，|OP|取得最小值为＝.故选B.

12．已知P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点，A(－1,0)，B(1,0)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(　 )

A．52        B．50       C．34       D．32

解析：选C　设点P(x，y)，点O为坐标原点，圆心为C(3,4)，半径为r＝1，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|PO|2＋2，因为(0－3)2＋(0－4)2>1，所以原点O在圆C外，且|OC|＝＝5，如图所示．|OP|≥|OC|－r＝5－1＝4，当且仅当点P为线段OC与圆C的交点时，等号成立．所以|PA|2＋|PB|2＝2|PO|2＋2≥2×42＋2＝34.故选C.

13．(2023·广州模拟)圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________．

解析：圆的圆心为(0,0)，r＝1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离为d＝＝5，所以点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是5－1＝4.

答案：4

14．(2023·洛阳一模)已知点A(－2,0)，P为圆(x－2)2＋y2＝4上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为________．

解析：设AP的中点为M(x，y)，P(x0，y0)，所以(x0－2)2＋y＝4，而⇒所以(2x＋2－2)2＋(2y)2＝4⇒x2＋y2＝1，即AP中点的轨迹方程为x2＋y2＝1.

答案：x2＋y2＝1

15．(2023·江苏金陵中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________．

解析：因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时，∠AMB≥90°，即∠AMC≥45°，则sin∠AMC＝≥，解得2≤t≤6.

答案：[2,6]

16．(2023·日照模拟)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________．

解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆，如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.

答案：