2024年新高考数学一轮复习 第九章 第二节 二项式定理

课时跟踪检测（六十七） 二项式定理

1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　 )

A．C  B．C

C．C  D．(－1)m－1C

解析：选D　(x－y)n的二项展开式第m项为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为(－1)m－1C.

2．(2023·广州模拟)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　 )

A．45     B．84     C．120  D．210

解析：选C　(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝120，故选C.

3．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则a1＋a2＋…＋a2 022＝(　 )

A．－1       B．0      C．1  D．2

解析：选B　令x＝0，代入得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，所以a1＋a2＋…＋a2 022＝0.故选B.

4．(2023·泰州模拟)(x＋1)5的展开式中，一次项的系数与常数项之和为(　 )

A．33      B．34      C．35  D．36

解析：选D　因为(x＋1)5的通项为Tr＋1＝Cx5－r1r＝Cx5－r，所以(x＋1)5的展开式中，一次项的系数为2C＋C＝25，常数项为C＋2C＝11，所以一次项的系数与常数项之和为25＋11＝36，故选D.

5．(2023·青岛模拟)已知二项式n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是(　 )

A．－84      B．－14       C．14     D．84

解析：选A　因为二项式的系数之和等于128，所以2n＝128，解得n＝7，所以二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x2)7－rr＝C27－r(－1)rx14－3r，令14－3r＝－1，解得r＝5，所以展开式中含项的系数为C22(－1)5＝－84，故选A.

6．(2023·济南模拟)(多选)6的展开式中，下列结论正确的是(　 )

A．展开式共6项

B．常数项为64

C．所有项的系数之和为729

D．所有项的二项式系数之和为64

解析：选CD　6展开式的总项数是7，A不正确；6展开式的常数项为Cx6－33＝160，B不正确；取x＝1得6展开式的所有项的系数之和为36＝729，C正确；由二项式系数的性质得6展开式的所有项的二项式系数之和为26＝64，D正确．故选C、D.

7．已知n(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中x2项的系数为84，则a的值为(　 )

A．2       B．1         C.        D.

解析：选B　∵n (a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴n＝9，

又∵9的展开式的通项为Tr＋1＝Ca9－rxx＝a9－rCx，∴令＝2，

解得r＝3.∵展开式中x2项的系数为84，

即a6C＝84，∴a＝1或a＝－1(舍去)．

8．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　 )

A．5     B．6       C．7  D．8

解析：选B　由题意可知，a＝C，b＝C，

∵13a＝7b，∴13·＝7·，

即＝，解得m＝6.

9．(2023·鄂州模拟)已知(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为(　 )

A．－2    B．2      C．－1  D．1

解析：选A　(2x－y)5＝(2x－y)5＋my(2x－y)5，在(2x－y)5的展开式中，

由x－1C(2x)5－r(－y)r＝(－1)r·25－rCx4－ryr，

令得r无解，即(2x－y)5的展开式没有x2y4的项；在my(2x－y)5的展开式中，由myC(2x)5－r(－y)r＝(－1)r·25－rmCx5－ryr＋1，令解得r＝3，即my(2x－y)5的展开式中x2y4的项的系数为(－1)3·25－3mC＝－40m，又(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，所以－40m＝80，解得m＝－2.故选A.

10．(1－2x)3(2＋x)4展开式中x2的系数为(　 )

A．0      B．24      C．192  D．408

解析：选B　由于(1－2x)3的通项公式为Tr＋1＝C(－2x)r，(2＋x)4的通项公式为Tk＋1＝C24－kxk.若(1－2x)3中提供常数项1，(2＋x)4的展开式中提供二次项，此时r＝0，k＝2，则系数为CC22＝24；若(1－2x)3中提供一次项，(2＋x)4的展开式中提供一次项，此时r＝1，k＝1，则系数为－2CC23＝－192；若(1－2x)3中提供二次项，(2＋x)4的展开式中提供常数项，此时r＝2，k＝0, 则系数为4CC24＝192，故展开式中x2的系数为24－192＋192＝24.故选B.

11．(多选)已知n(a>0)的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　 )

A．展开式中各偶数项的二项式系数和为512

B．展开式中第5项和第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含x4的项的系数为210

解析：选AD　由题意知C＝C，∴n＝10，

∴n＝10，

令x＝1，则(1＋a)10＝1 024＝210，∴a＝1.

对于A，展开式中各偶数项的二项式系数和为×210＝512，故A正确；对于B，∵n＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B错误；对于C，展开式的通项为Tr＋1＝C·x－·x10－r＝C·x10－(0≤r≤10，r∈N)，令10－r＝0，得r＝∉Z，故展开式中不存在常数项，故C错误；对于D，令10－r＝4，得r＝4，故展开式中含x4的项的系数为C＝210，故D正确．

12．已知(mx＋1)n(n∈N*，m∈R)的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＝8，则a2＋a3＋…＋an＝(　 )

A．63     B．64     C．247  D．255

解析：选C　∵展开式只有第5项的二项式系数最大，∴展开式共9项，∴n＝8，∵a1＝C·m＝8，∴m＝1，∴(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝28＝256，令x＝0，得a0＝1，∴a2＋a3＋…＋an＝256－8－1＝247.故选C.

13．(2023·烟台模拟)若(1－ax)8展开式中第6项的系数为1 792，则实数a的值为________．

解析：因为T6＝T5＋1＝C(－ax)5＝C(－a)5x5，所以有C(－a)5＝－56a5＝1 792，所以a5＝－32，解得a＝－2.

答案：－2

14．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.

解析：由多项式展开式可知，a2＝2C(－1)2＋C(－1)3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.

答案：8　－2

15．从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则n的展开式中的常数项为________．(用数字作答)

解析：因为从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，所以n＝CA＝6，所以二项式6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝C·(－1)r·26－r·x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以二项式展开式的常数项为C·(－1)3·23＝－160.

答案：－160

16．(2023·南京模拟)(1＋2x－x2)n展开式中各项系数的和为64，则n展开式中的常数项为________．

解析：因为n展开式中各项系数的和为64，则令x＝1得2n＝64，解得n＝6.6表示6个因式1＋x＋的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选1，可得常数项为1；有2个因式都选x，有1个因式选，其余的3个因式都选1，可得常数项为CCC×13＝60；有4个因式都选x，有2个因式都选，可得常数项为CC＝15.故展开式的常数项为60＋15＋1＝76.

答案：76