2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，九年级分别有名，请估计该校八等内容，欢迎下载使用。

2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．8的相反数是（    ）
A． B．8 C． D．
2．如图，该几何体的俯视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．如图，已知，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．
4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）
  
A．4 B．8 C．6 D．18
5．估计的值在（    ）
A．0和1之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为（    ）
  
A．15 B．17 C．19 D．21
7．某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树500棵，第三年植树720棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
8．如图，是的切线，A，B为切点，若，，则的长度为（    ）
  
A．6 B． C． D．
9．如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若，则（    ）
  
A． B． C． D．
10．对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作”
下列说法正确的个数是（    ）
①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为；
②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种；
③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数．
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
11．计算_____．
12．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点，则_____．
13．若一个正多边形的内角和是外角和的倍，则这个正多边形的边数为___________．
14．一个等腰三角形的顶角为，则它的一腰上的高与另一腰的夹角为______．
15．一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字，0，2，3，随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字之和为偶数的概率是______．
16．如图，在等腰梯形中，，，，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分面积为______．
  

三、解答题
17．若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为______．

四、填空题
18．对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若为整数，则称数m为“重九数”，______，若“重九数”（，，c，，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是______．

五、解答题
19．在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空．

(1)用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF．
证明：四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行是边形，
∴①______，
∴，，
∵，且EF是AC的垂线，
∴②______，
在与中，
∴，
∴③______且，
∴④______，
又∵，
∴四边形AECF是菱形．
20．计算：
(1)；
(2)
21．年5月日，是四川汶川地震周年纪念日，也是我国第个“防灾减灾日”，为了解学生对“防灾减灾”知识的了解程度，某校随机抽取了八年级、九年级各名学生进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：，不合格为C等级：，分别绘制成如下统计图表．
其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，；
九年级学生测试成绩数据为B等级共有a个人．
  
八年级、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
八年级



九年级



根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图；
(2)根据以上信息，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八、九年级分别有名，请估计该校八、九年级学生中成绩为合格的学生共有多少名？
22．中考临近，为提高学习效率，小明和小强周末相约在图书馆一起复习，已知小明小强的家距离图书馆的路程均为2.4千米，小明与小强的步行速度之比为，两人同时从家里出发，小明比小强晚10分钟到图书馆；
(1)求小明每分钟步行多少米？
(2)若步行20分钟后，小明改为跑步前进，最终与小强同时到达图书馆，求小明每分钟跑步多少米？
23．如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．
  
(1)求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(2)在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质；
(3)当时，求的值．
24．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向的点A处，它沿着点A的正南方向以每小时10千米的速度航行6小时到达点C处，此时点C位于点B的北偏东75°．
  
(1)求A、B两点间的距离（结果保留一位小数）；
(2)渔船到达点C后，按原航线继续航行一段时间后，船长发现生活物资未带，于是立即向小岛B的工作人员求救，小岛B立即派快艇前去支援，已知快艇的速度为每小时20千米，他们相约在位于小岛B正东方向的小岛D处汇合，且小岛D位于渔船的正南方向，请问谁先到达点D？（参考数据：，）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
  
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为线段上方的抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，交于点F．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，M为新抛物线的对称轴上一动点，N为平面直角坐标系内的任意一点，请直接写出所有使以点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程．
26．在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的点，连接，直线交直线于点G．

(1)如图1，点F在线段延长线上，若，，证明：；
(2)如图2，点F在线段上，连接并延长至点H，使得，连接，若，证明：；
(3)如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上的动点，连接，将沿直线翻折得到，连接，点P为的中点，连接，当最大时，直接写出的值．

参考答案：
1．A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据俯视图的概念，得出答案．
【详解】解：根据俯视图的概念，从几何体上方向下看，可以看到两个圆形轮廓，并且上层轮廓为实线．
故选：A．
【点睛】本题考查俯视图知识，掌握俯视图是从上向下看得到的图形，以及可以看见的轮廓应为实线是解题的关键．
3．B
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出答案．
【详解】解：
（两直线平行，内错角相等．）
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，其中准确找到平行线形成的内错角是解题的关键．
4．B
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解∵与位似，点O为位似中心，已知，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积是8．
故选B．
【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
5．A
【分析】由题意知，由，可得，，然后判断作答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴估算在0和1之间，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法．解题的关键在于合理的确定的取值范围．
6．D
【分析】根据题目中的图形可以发现爱心个数的变化规律，从而可以得到第⑨中共有爱心的个数．
【详解】解：①爱心个数为5；
②爱心个数为；
③爱心个数为；
……
⑨爱心个数为．
故选D．
【点睛】本题主要考查了图形的变化类规律，明确题意，发现题目中白色正方形个数的变化规律是解答本题的关键．
7．B
【分析】设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意、找准等量关系是解题的关键．
8．C
【分析】根据切线长定理得到是等边三角形，得到,利用特殊的锐角三角函数值解出答案．
【详解】解：连接，
  
是的切线,，
，，
是等边三角形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的锐角三角函数的应用，其中有关圆切线的性质是解题的关键．
9．B
【分析】连接，作与交于，得到，从而得到，再通过平行线的性质得到，得到答案．
【详解】解：连接，作与交于，
  
四边形是正方形，
，，
，

，，
，

，
，  


．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等边对等角，平行线的性质，其中两条辅助线的建立是解题的关键．
10．D
【分析】先将化简为，对经过两次“绝对操作”可以得到，故①正确，再经过不同的“绝对操作”得到5种化简结果，故②正确，经过的“绝对操作”可能得到原式的相反数，故③正确．
【详解】解：化简为，
当时，经过一次“绝对操作”后的式子为，当时，再经过一次“绝对操作”后的式子为，
故①正确；
可以进行4种“绝对操作”即



，
∴进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有，，，，
，5种，故②正确．
其中，得到的结果中出现了原式的相反数，故③正确．
【点睛】本题考查了新定义的理解，绝对值的意义，其中对新定义的理解是解题的关键．
11．
【分析】先计算负整数指数幂和绝对值，再按二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算、负整数次幂、绝对值等知识点，在进行实数运算时，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12．2
【分析】将点代入反比例函数计算即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，解得：．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键．
13．
【分析】设正多边形的边数为，根据正多边形的外角和及内角和公式即可解答．
【详解】解：设正多边形的边数为，根据题意可得，
，
解得：，
故答案为；
【点睛】本题考查了正多边形的内角和及外角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
14．
【分析】如图，作于，则即为所求，由题意知，，，，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，则即为所求，
    
由题意知，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15．
【分析】画树状图求出所有等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
  
∵共有12种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的情况数为4，
∴两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．/
【分析】过点作于，过点作，证四边形是矩形，得，再证，得，从而有，，于是利用梯形面积公式及扇形面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于，过点作于D，
  
∵在等腰梯形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴与弧相切，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，扇形的面积公式是解题的关键．
17．
【分析】利用给出的不等式组，可得x的范围，进而得出a的范围，再利用分式方程的解的特征，得到a的取值范围，综合考虑即可得到a的个数，然后相加即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组解集为，
∴，
得，
∵，
∴，
∵分式方程有有非负整数解，
∴，且
解得且a为奇数，，
∴且，a为奇数，
∴符合条件的整数a有，
∴符合条件的所有整数a的和为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程．
18． 10 9891
【分析】（1）根据得出的结果；
（2）根据“重九数”的定义得出均需被9整除，从最大4位数依次取符合要求的数中寻找符合是7的倍数的数，得出答案．
【详解】解：（1）．
故答案为：10．
（2）由题意得：
，
的结果为整数，
为整数，
故是9的整数倍，
同理是9的整数倍，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，并且满足是7的倍数，故．
故答案为：9891．
【点睛】本题考查了对新定义的理解，其中对整除的理解是解题的关键．
19．(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质可得，再证可得，再证四边形AECF是平行四边形，最后结合即可证明结论．
【详解】（1）解：如图即为所求．

（2）证明：根据题意作图如下：

∵如图：四边形是平行是边形，
∴，
∴，，
∵，且EF是AC的垂线，
∴，
在与中
，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：，，，四边形是菱形是平行．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据整式混合运算法则，结合完全平方公式进行计算即可；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：


；
（2）解：


．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则和分式混合运算法则，准确计算．
21．(1)，，
(2)见解析
(3)人

【分析】（1）根据中位数和众数概念进行填写，并完成条形图；
（2）根据数据得出结论；
（3）利用样本估计总体解决问题．
【详解】（1）由图可知九年级B等级占比为，故人数为（人），
根据中位数概念，将八年级成绩从小到大排列得中位数，
根据观察，八年级成绩众数为，
故：，，
  
（2）我认为九年级的测试成绩更好．理由如下：因为九年级的测试成绩众数大于八年级的测试成绩众数，所以九年级测试成绩更好．
（3）（人）
答：该校八、九年级学生中成绩为合格的学生共有约人．
【点睛】本题考查了条形图和扇形图数据统计与分析知识，中位数，众数，用样本估计总体，其中准确找到数据与图表之间的关系是解题的关键．
22．(1)60米
(2)120米

【分析】（1）设小明每分钟步行米，则小强每分钟步行米，由题意知，，计算求出满足要求的，然后计算的值即可．
（2）设小明每分钟跑步y米，由（1）可知，小强每分钟步行80米，由题意知，，计算求解即可．
【详解】（1）解：设小明每分钟步行米，则小强每分钟步行米，
由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴，
答：小明每分钟步行60米．
（2）解：设小明每分钟跑步y米，
由（1）可知，小强每分钟步行80米，
由题意知，，
解得：，
答：小明每分钟跑步120米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式．
23．(1)，
(2)见解析，
(3)当时，或

【分析】（1）根据点的运动速度，正方形的性质，图形结合，以及三角形面积的计算方法，分类讨论即可求解；
（2）根据（1）中的函数解析式即可绘图；
（3）根据（2）中图像性质，分类讨论，当时或当时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：边长为的正方形中，为中点，点以每秒个单位的速度运动，点以每秒个单位的速度运动，运动时间为，
∴，，，，，
∴点从的时间为：，点从的时间为：，
点运动的过程，
①当在上运动时，，，
②当在上运动时，，如图所示，
  
，
∴点在运动过程中；
点运动的过程，，
综上所述：，．
（2）解：由（1）可知，，，如图所示，
  
的函数图像，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
的函数图像，当时，随的增大而增大．
（3）解：由（2）的图像可知，
当时，，
∴，解得，；
当时，，
∴，解得，；
综上所述，当时，或．
【点睛】本题主要考查动点与正方形的性质，动点运动规律与函数图像的综合，掌握动点运动与图形面积的计算方法，函数图像的绘图与性质，一次函数交点的计算方法是解题的关键．
24．(1)82.0千米；
(2)快艇先到达点D．

【分析】（1）过点C作交于点M，解直角三角形得长，最终得出答案；
（2）解直角三角形得长，再计算出用时，比较大小后得出结果．
【详解】（1）解：过点C作交于点M
由题可得：，
∵，    
∴在中，，    
∴（千米），（千米）
∵在中，
∴（千米）
∴（千米）
答：约为82.0千米．
  
（2）解：由题可得：
∵在中，
∴（千米），（千米）
∴（千米）
∴快艇所用的时间（小时）
渔船所用的时间（小时）
∵
∴快艇先到达点D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，其中准确理解题目中的条件，建立适当的直角三角形是解题的关键．
25．(1)；
(2)，；
(3)，，，求解过程见解析．

【分析】（1）根据抛物线解析式得到、点坐标，用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由图可知，点P在对称轴上时最大，据此解出坐标；
（3）原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线对称轴为，根据菱形的判定方法，确定点N的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，
令，，解得：，
∴，．
设直线的解析式为：代入，
∴．
（2）解：设点，则，
∵，开口向下，，当时，，．
（3）解：原抛物线沿射线方向平移个单位，是等腰直角三角形，
原抛物线向左平移个单位，向下平移个单位，
故新抛物线对称轴为
设，，
则，，
当时，无解
当时，时，
∴．当时，，
∴，．
综上：，，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图像的点的坐标，菱形的判定及应用，其中对二次函数图像的理解是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）设、，由题意可得；再根据、得到、，进而得到，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）如图：连接，在上截取点M，使得，连接．再证可得，进而得到；设，则  ,,可得，再证为等边三角形可得．再证可得，进而得到,即．
（3）如图：取中点O，连接可得点P的轨迹为以O为圆心，以长为半径的圆，则当点A、O、P三点共线时，取得最大值，再确定、，，最后求出的面积即可．
【详解】（1）证明：设，，
∵,
∴，
∵，,
∴，,
∴,
∴．
（2）证明：如图：连接，在上截取点M，使得，连接．
∵，,
∴．
在和中，

∴,
∴．
∵，，，
∴．
设，则  ,,
∴,
∴,
∴,
∵，,
∴为等边三角形，
∴，,
∴．
在和中，
,
∴,
∴,
∴,
∴．
∴，
∴．

（3）解：如图：取中点O，连接，
∵点P为的中点，
∴，
∴点P的轨迹为以O为圆心，以长为半径的圆，
∴当点A、O、P三点共线时，取得最大值，
∵,
∴四边形为矩形，以为原点A建立平面直角坐标系，
∴、，．
∴．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的综合题等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．