2023年陕西省咸阳市秦都区中考二模数学试题（含解析）

2023年陕西省咸阳市秦都区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（　　）

A．3 B．1 C． D．

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）

A．    B．   C．   D．  

3．计算：（    ）

A． B． C． D．

4．将三角尺按照如图所示的方式摆放，若直线，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（    ）

A． B． C．7 D．11

7．如图，为的直径，弦于点，于点，，则为（    ）

A． B． C． D．

8．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：

    关于此函数下列说法不正确的是（    ）

A．函数图象开口向下 B．当时，该函数有最大值

C．当时， D．若在函数图象上有两点，，则

二、填空题

9．因式分解：______．

10．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则______．（填“”“”或“”）

11．如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为______．

12．若一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，则k的值为______．

13．如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为______．

三、解答题

14．计算：．

15．解不等式组：

16．化简：．

17．如图所示，请在的平分线所在直线上找一点，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在中，高与高相交于点，，，．

(1)求证：．

(2)求的长．

19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．

(1)直接写出点的坐标______．

(2)请作出平移后的．

20．某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．

(1)第一学习小组抽到《五经算术》的概率是______．

(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．

21．如图，在学校操场上有一棵与地面垂直的树，小明两次测量，第一次在点处测得大树的顶部的仰角为，第二次在点（在同一直线上）处测得大树的顶部的仰角为．两次测量的地点相距10m，求树的高度．（参考数据：，结果精确到0.1m）

22．清明假期，甲、乙两人沿相同的路线前往距离他们居住小区的某景点游玩，乙比甲晚分钟出发，图中和分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分钟)变化的函数图象，根据图象回答下列问题：

(1)求直线和的函数表达式．

(2)甲、乙相遇时，乙走了多少千米？

23．某校进行消防安全知识测试，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如下信息：

(1)此次测试中被抽查学生的平均成绩为______．

(2)被抽查学生成绩的中位数是多少分？

(3)学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“优秀安全消防员”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中约有多少人将获得“优秀安全消防员”称号．

24．如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．

(1)求证：是的切线．

(2)若，求的长．

25．如图，抛物线与轴交于点和点，顶点为，直线经过点，且与抛物线交于点．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)若为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，是否存在以，，为顶点的，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．【问题提出】

(1)如图1，在中，，，为边上的高，则的长为______．

(2)如图2，在四边形中，，且，E，F分别是的中点，连接与相交于点M，与相交于点O，若，求的长．

【问题解决】

(3)如图3，四边形是园林局欲修建的一块菱形园地的大致示意图，沿对角线各修一条人行走道，．E是上的一点，点F，G在上，，．根据规划要求，建造一个四边形OEFG的特殊花卉种植区，求该种植区四边形OEFG的最大面积．

参考答案：

1．C

【分析】根据倒数的定义即可得出答案．

【详解】的倒数是．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．A

【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此判断即可．

【详解】解：选项B、选项C、选项D分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；

而选项A沿一条直线折叠后，直线两旁的部分不能重合，故不是轴对称图形；

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的特点．

3．C

【分析】先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可．

【详解】解：．

故选：C

【点睛】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．

4．B

【分析】利用两直线平行，同位角相等得到，由邻补角即可得到的度数．

【详解】解：如图，

∵，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】此题考查了平行线的性质和邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

5．C

【分析】利用正切的定义求得，再根据中点的意义即可求解．

【详解】解：∵，，，

∴，

∴，

∵D是的中点，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关键．

6．B

【分析】先根据一次函数的图象经过点求出一次函数的解析式，从而得到随的增大而减小，由于自变量的取值范围是，因此当时，最小为，即可得到答案．

【详解】解：一次函数的图象经过点，

，

，

一次函数的解析式为：，

随的增大而减小，

自变量的取值范围是，

当时，最小为，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的增减性，是解题的关键．

7．A

【分析】利用四边形内角和得出，结合圆周角定理求解即可．

【详解】解：，，，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了圆周角定理，四边形内角和，理解题意，熟练运用知识点是解题的关键．

8．D

【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可．

【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、，

即：，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

∵，

∴抛物线开口向下，故A正确；

∵，

∴当时，该函数有最大值，故B正确；

当时，，故C正确；

∵当，即，解得：，，

∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，

∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，

∴当函数值时，，或，故D错误；

故选：D．

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．

9．

【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式阖分解因式是解题的关键．注意分解因式要彻底．

10．

【分析】根据数轴先判断出的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．

【详解】解：根据数轴可得：，，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则．

11．

【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长．

【详解】解：∵，，

根据杠杆平衡原理，可得，

∴，

解得，

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键．

12．

【分析】先将代入一次函数可得的，确定点A的坐标为，再将代入反比例函数即可求得k的值．

【详解】解：将点）代入一次函数可得：，即

将代入反比例函数可得：，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意求得是解答本题的关键．

13．3

【分析】过点E作于H，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．

【详解】解：如图，过点E作于H．

由折叠的性质得，

∵四边形是矩形，

∴，，

设，则，

在中，则有，

解得，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，，

∴，

∴的面积为．

故答案为：3．

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

14．

【分析】先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可．

【详解】解：

【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

15．

【分析】先分别解每个不等式，然后确定其解集的公共部分作为不等式组的解集．

【详解】解：解不等式①得：，

解不等式②得：，

所以，原不等式组的解集为：．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握计算步骤正确计算并理解不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”是解题关键．

16．

【分析】先算括号里面的减法，再算除法．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练分解因式是解题的关键．

17．见解析

【分析】先作出的垂直平分线，即可得到垂直平分线与的交点，即可求解．

【详解】解：根据题意画出图如图所示：

  ．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂直平分线，熟练掌握作垂直平分线的作法是解题的关键．

18．(1)见解析

(2)4

【分析】（1）由已知可得，推出，根据三角形内角和定理求得，进而可得，利用“”即可得证；

（2）根据直角三角形的性质及全等三角形的性质即可得到答案．

【详解】（1）证明：，，

，

、是的高，

，，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：，

，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．

19．(1)

(2)见解析

【分析】(1)根据平移的性质即可得到答案；

(1)根据平移的性质即可作出图形．

【详解】（1）解：∵，先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，

∴点的坐标为，即；

故答案为：；

（2）解：如图，即为所求．

．  

【点睛】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由概率公式即可得到答案；

（2）由题意得，分别记《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》为A、B、C、D，画出树状图，根据概率公式即可得到答案．

【详解】（1）解：∵共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，

故答案为：

（2）由题意得，分别记《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》为A、B、C、D，画树状图得：

一共有12种等可能性结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的情况有两种，

所以，，

故答案为：．

【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，正确画出树状图是解题的关键．

21．树的高度为

【分析】根据三角函数分别求出，再根据，列方程即可求得．

【详解】解：根据题意可得：

，，，

，

，

，

，

树的高度为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据三角函数分别求出是解题的关键．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）设直线对应的函数解析式为，根据题意求出值，得到直线对应的函数解析式；设直线对应的函数解析式为，根据题意求出，的值，得到直线对应的函数解析式；

（2）将两个解析式联立得到关于和的二元一次方程组，从而求出甲、乙相遇时，乙走的路程．

【详解】（1）直线经过和，

设直线对应的函数解析式为，

，

，

直线对应的函数解析式为；

直线经过和，

设直线对应的函数解析式为，

，

，

直线对应的函数解析式为；

（2）由题意得

，

，

甲、乙相遇时，乙走了．

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，能够根据图形提取出条件是解本题的关键．

23．(1)分

(2)8分

(3)600人

【分析】（1）根据加权平均数计算公式，即可求解；

（2）根据中位数的定义，即可求解；

（3）根据用样本估计总体，进行运算，即可求解

【详解】（1）解：此次测试中被抽查学生的平均成绩为：

(分)，

故答案为：分；

（2）解：这20个数据的中位数是第10个和第11个数据的平均数，

由条形统计图可知：第10个和第11个数据都是8，

故被抽查学生成绩的中位数是8分；

（3）解：(人)，

故估计该校名学生中约有600人将获得“优秀安全消防员”称号．

【点睛】本题考查了条形统计图，加权平均数，中位数，用样本估计总体，从统计图中获取相关信息是解决本题的关键．

24．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明是的垂直平分线，进而证明，再证明，，根据等角的余角相等，证明即可得证；

（2）解，求出，则．

【详解】（1）证明：连接，

∵是的直径，

∴，

∴

又∵D是的中点，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴

∴，

∴

∴是的切线．

（2）解：由（1）得，，

在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．

25．(1)

(2)存在，或

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）证明，得到，即可求解．

【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为：，

抛物线经过点，

，

解得：，

抛物线的函数表达式为；

（2）解：存在，

联立方程组，

解得：，

点的坐标为，点的坐标为，

 ，

，

，

设点的坐标为，则点的坐标为，

当时， ，

即，

解得，

点的坐标为或．

【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质等，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

26．(1)4.8

(2)12

(3)

【分析】（1）利用直角三角形的面积相等可得，即可求出；

（2）先求出的值，再利用三角形中位线定理求出的值即可；

（3）先根据菱形的性质和已知条件可知，再运用勾股定理和三角形的等面积法求得,再证可得；设，则，即，再说明四边形为直角梯形，然后用x表示出，最后配方，运用二次函数的性质求最值即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵E、F别是中点，

∴，

∵.，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴

∴，即

∵，

∴

∴．

∴．

（3）解：如图，过点D作点M

∵菱形中，

∴,

∴,

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∴，

设，则，即

∴，

∵，且，

∴四边形为直角梯形，

∴,

,

配方可得：

∵

∴当时，四边形有最大值，且最大值为．

【点睛】本题主要考查了等面积法的应用、平行线等分线段定理、三角形中位线、菱形的性质、勾股定理、二次函数求最值等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．