2023年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．绝对值等于5的有理数是(     )
A．±5 B．5 C． D．
2．某正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“博”字相对的字是(     )

A．自 B．民 C．爱 D．由
3．据科学家估计，地球的年龄大约是4 600 000 000年．则4 600 000 000用科学记数法可表示为(   )
A．46×108 B．4.6×109 C．4.6×1010 D．0.46×1010
4．如图，，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
5．不等式在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，若，则（   ）

A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为分，分，分，则小颖本学期的学业成绩为（    ）
A．分 B．分 C．分 D．分
9．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空题
11．计算：______．
12．若是方程的根，则____________．
13．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______．
14．如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．

15．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．


三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
①确定调查对象有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是方案三；
②收集整理数据：按照国家视力健康标准，学生视力状况分为四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计表：
类别




视力
视力
4.9
视力
视力
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160


56
③分析数据，解答问题：
(1)调查视力数据的中位数所在类别为______类；
(2)该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
(3)为更好保护视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求该反比例函数的解析式及的值；
(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
19．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

20．为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．
(1)求，两种跳绳的单价各是多少元？
(2)若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？
21．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央竖直安装一根水管，为水管与地面交点，在水管顶端处安装一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，以为原点，以原点与水流落地点所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是．

(1)求水管的高度；
(2)求喷出的水流距地面的最大高度；
(3)若要使喷出的水流不落在池外，试求水池的半径至少要多少米？
22．概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解

(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
23．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的性质即可求解.
【详解】∵，∴绝对值等于5的有理数是±5，
故选A.
【点睛】此题主要考查绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质.
2．D
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“博”字相对的面上的汉字是“由”．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】4600000000用科学记数法表示为：4.6×109．
故选B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．D
【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法即可得到答案．
【详解】解：，
开口向正数方向（向右），实心，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式解集在数轴上的表示方法，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法即可得到答案．
6．C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【详解】解： ，，

，

解得：经检验符合题意
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．
7．A
【分析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
8．B
【分析】根据加权平均数的计算公式即可．
【详解】小颖的学业成绩为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
9．C
【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n），
∴，
∴，
∴，
∴1=3×2+m，
∴m=-5,
∴关于x，y的方程组的解；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
10．B
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．
【分析】先计算、，再算减法．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．
12．1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率．
14．
【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．
【详解】在中，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴


故答案为：
【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
15．/
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．(1)
(2)该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数为704人
(3)建议学校加强电子产品进校园以及使用时间的管控

【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）利用样本估计总体即可求出中度视力不良和中毒视力不良的总人数；
（3）根据数据提出一条合理的建议即可．
【详解】（1）解：调查的总人数是：（人），
由图表可得：（人），
根据中位数的定义可知，中位数应是第200、201个数据的平均数，
而，
所以调查视力数据的中位数所在类别为类；
故答案为：；
（2）解：由题意得：（人），
（人），
答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数为704人；
（3）解：该校学生近视程度为中度及以上约占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园以及使用时间的管控．
【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表，中位数以及用样本估计总体的知识，关键是从统计图表得出信息解决问题．
18．(1)，
(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答

【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
19．货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(1)A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元
(2)至多可以购买种跳绳20根

【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元．
（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，
由题意得：，
解得：，
答：至多可以购买种跳绳20根．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．
21．(1)水管的高度为2m
(2)喷出的水流距地面的最大高度为2.25m
(3)水池的半径至少要2米

【分析】（1）把代入即可得到结论；
（2）把化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）令，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：当时，，
答：水管的高度为2m；
（2）∵，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，，
答：喷出的水流距地面的最大高度为2.25m；
（3）（3）当时，，
解得（不合题意，舍去），，
答：水池的半径至少要2米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，充分理解题意是解题的关键．
22．(1)3；
(2)证明见解析；

【分析】（1）根据垂径定理得出，然后再根据勾股定理求出结果即可；
（2）连接、，证明，即可得出答案；
概念应用过点作交于，过点作交于，连接，证明四边形是正方形，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；

（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；

概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质．
23．（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．

∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，

∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．