2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考三模数学试题（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A．3 B． C． D．

2．下列计算正确的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，下列由多个同样的小正方体组合而成的几何体中，主视图如图的是（    ）

A． B． C． D．

5．抛物线的最大值为（    ）

A．4 B． C．5 D．

6．方程的解为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．如图，AB是的直径，BC是的切线，点B是切点，AC交于点D，，则的度数为（    ）

A．40° B．60° C．80° D．100°

8．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（    ）．

A． B．

C． D．

9．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在边上运动（不与B、C重合），交于点G，则下列等式错误的是（    ）

A． B． C． D．

10．甲、乙两人沿同一路线去外的某地学习，他们所走的路程与时间t（分）之间的函数图象如图所示，则以下说法中不正确的是（    ）

A．甲比乙晚到12分钟 B．乙的速度是甲的速度的4倍

C．乙出发时，甲已经走了 D．乙出发6分钟后追上甲

二、填空题

11．哈尔滨冰雪大世界接待游客约210000人，将210000用科学记数法表示为______．

12．在函数中，自变量x的取值范围是______．

13．计算______．

14．把多项式因式分解的结果是 ____________．

15．不等式组的解集为______．

16．若点在反比例函数的图象上，则k的值为______．

17．一个布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出两个球，都是红球的概率是______．

18．一个扇形的面积是，圆心角是120°，则此扇形的半径是______．

19．在中，是上的高，，，则的度数是______度．

20．如图，在中，垂足为E，，，，则的面积为______．

三、解答题

21．先化筒，再求代数式的值，其．

22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画，点E在小正方形的顶点上，使得是一个轴对称图形，且面积为3；

(2)在方格纸中画四边形，点F、G均在小正方形的顶点上，连接，使得四边形是中心对称图形，且，并直接写出线段的长．

23．某校从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行每周上网时间调查，将上网时间分成以下四组：A．小时；B．1小时小时；C．4小时小时；D．小时，

并将统计结果制成了如下两幅统计图，请根据图中信息解答下列问题：

(1)求参加调查的学生的人数；

(2)请将条形统计图补全；

(3)请估计全校上网不超过7小时的学生人数．

24．在中，平分，交边于点E，过点B作，垂足为点O，交边于点F，连接．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；

(2)如图2，若，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包含等腰直角三角形）．

25．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元．

(1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？

(2)商店准备用不超过1615元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？

26．如图，已知：四边形内接于，弦垂足为F，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，连接，点G在上，连接并延长交于点H，连接，若，，求证：；

(3)在（2）的条件下，连接GO并延长交DE于点N，AH与BC交于点K，若，时，如图3，求线段DC的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，，．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)点P在第二象限的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为s，如图2，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；

(3)在（2）的条件下，点Q在第一象限的抛物线上，连接交y轴于点D，过点Q作的垂线，交x轴于点E，连接，射线沿直线翻折所得射线与x轴交于点F，过点Q作轴垂足为H，当，，时，如图3，求s值．

参考答案：

1．A

【分析】根据相反数的定义求解即可．

【详解】的相反数是3．

故选A．

【点睛】本题考查求一个数的相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键．

2．C

【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，故不成立；

B. ，故不成立；

C. 成立

D. 故不成立；

故应选C

3．D

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．

4．D

【分析】分别得出各选项的主视图后，再进行判断即可．

【详解】解：A.此选项的主视图为，不符合题意；

B, 此选项的主视图为，不符合题意；

C. 此选项的主视图为，不符合题意；

D. 此选项的主视图为，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了三视图，能够根据实物画出三视图是解决问题的关键．

5．D

【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．

【详解】解：∵，

∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值．

故选D．

【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数的对称轴为，顶点坐标为，当，函数有最大值k．

6．A

【分析】先去分母，解整式方程，再对求出的根进行检验．

【详解】解：，

去分母，得：，

解得，

当时，，

经检验，是原分式方程的根，

故选A．

【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是注意验根．

7．C

【分析】BC是的切线，可得，又由，圆周角定理即可得到荅案．

【详解】解：∵BC是的切线，点B是切点，

∴．

又∵，

∴，

∴．

故答案为C．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理，其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质．

8．A

【分析】此题可设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．

【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得

故选：A．

【点睛】本题考查的是平均变化率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：．

9．D

【分析】根据三角形中位线的判定和性质即可求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可推得．

【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点，

∴

∴，

∴是的中位线，

∴，

即，故A正确；

∵，

∴，

又∵点D是边的中点，

∴，

即，故B正确；

∵，

∴，

又∵点是边的中点，

∴，

即，故C正确；

不能证明，

故选：D．

【点睛】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．

10．C

【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．

【详解】解：乙在28分时到达，甲在40分时到达，

所以乙比甲提前了12分钟到达，

故A正确；

根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度，

乙的平均速度，

，

∴乙的速度是甲的速度的4倍，故B正确；

，

∴乙出发时，甲已经走了，故C错误；

④设乙出发x分钟后追上甲，则有：，

解得，

故D正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．

11．

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

12．

【分析】根据分式有意义的条件求解即可．

【详解】解：要使有意义，则，解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了函数的概念、分式有意义的条件等知识点，理解分式的有意义是解题的关键．

13．

【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减法则求解即可．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用二次根式的的性质化简是解题的关键．

14．

【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

15．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【详解】，

解不等式①可得：，

解不等式②可得：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解不等式，解本题的要点在于分别求解①，②不等式，从而得到答案．

16．9

【分析】根据题意，将点代入到计算，即可得到答案．

【详解】∵点在反比例函数的图象上，

∴将点代入到，

∴，

∴，

故答案为：9．

【点睛】本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，即可完成求解．

17．

【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．

【详解】解：∵布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，

∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．

18．3

【分析】利用扇形的面积计算公式直接代入计算即可．

【详解】解：设这个扇形的半径是rcm．

根据扇形面积公式，得：，

整理得：

解得：r＝±3（负值舍去），即r＝3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的解法，掌握扇形面积的计算公式是解决问题的关键．

19．25或65

【分析】分两种情况：当在线段上时，根据题意，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；当在线段的延长线上时，根据题意，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出的度数，综合即可得出答案．

【详解】解：如图，当在线段上时，

∵是边上的高，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

如图，当在线段的延长线上时，

∵是边上的高，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

综上所述，的度数为或．

故答案为：25或65．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．

20．

【分析】过点C作，可得，即，从而得，利用勾股定理可得，进而即可求解．

【详解】解：过点C作，

∵，

∴，

∵在中，，

∴，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的面积=，

故荅案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和面积公式，熟练掌握平行四边形性质是解题关键．

21．，

【分析】首先根据分式的混合运算法则化简，然后求出x的值代入求解即可．

【详解】解：

，

∵，

∴原式．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、分母有理化和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

22．(1)见解析

(2)图见解析，

【分析】（1）作出以为腰，面积为3的即可；

（2）根据网格特点作平行四边形，并且，利用勾股定理求出线段的长即可．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

∵，

∴是等腰三角形，

∵，

∴是一个轴对称图形，且面积为3；

（2）如图所示，四边形即为所求四边形，且， ,

由图可知，，

∴四边形是平行四边形，

∴四边形是中心对称图形，

由图可知，，，，

∴，

∴是直角三角形，，

即．

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理及其逆定理、轴对称图形和中心对称图形等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．

23．(1)200名

(2)见解析

(3)960人

【分析】（1）用A组的人数除以其所占比例求解即可；

（2）先求出C组的人数，进而可补全统计图；

（3）利用样本估计总体的思想求解．

【详解】（1）（名），

答：本次活动一共抽取了200名学生．

（2）C组的人数有：（名）

补全条形统计图如图所示，

（3）（名），

答：估计全校上网不超过7h的学生有960名．

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图和利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中得出解题所需要的信息是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)，，，

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，得到，然后证明出垂直平分，进而得到，即可证明出四边形是菱形；

（2）首先证明出四边形是正方形，然后得到，得到是等腰三角形；然后证明出四边形，四边形是矩形，得到，证明出是等腰三角形；然后证明出，得到，是等腰三角形；然后根据平行线的性质和角度的转化得到，然后得到，证明出是等腰三角形．

【详解】（1）∵平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴垂直平分，

∴，，

∴，

∴四边形是菱形．

（2）∵四边形是菱形，，

∴四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰三角形；

∵四边形是平行四边形，，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴是等腰三角形；

∵，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

综上所述，等腰三角形有，，，．

【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

25．(1)A种商品每件进价40元，B种商品每件进价25元

(2)24件

【分析】(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购进A种商品m件，则购进B种商品(50-m)件，根据总价=单价×数量，结合总价不超过1615元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】（1）解：设A种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元

由题意得           解得

答：A种商品每件进价40元，B种商品每件进价25元．

（2）设购进A种商品的件数为m，则购进B种商品的件数为（50-m）

由题意得40m+25（50-m）≤1615

解得m≤       

 ∵m为正整数，

∴m的最大值为24

答：最多购进A种商品24件

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1) 找准等量关系，正确列出二元一次方程组； (2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26．(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）首先根据圆内角四边形的性质得到，然后结合，，利用平行线的判定方法求解即可；

（2）取的中点T，连接，首先根据圆周角定理得到，然后结合，得到，然后证明出，进而可得到；

（3）过点G作于M，延长交于W，首先证明出，得到，然后由得到，进而得到，求出，，，，然后由得到，求出，，过点C作于S，得到四边形是矩形，最后利用三角函数和勾股定理求解即可．

【详解】（1）∵四边形内接于，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

（2）取的中点T，连接，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）过点G作于M，延长交于W，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，，，

∴，，，，

∴，

∴，

∴，解得，，

过点C作于S，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

设，

∴，

∴，

在中，勾股得，

∴，

∴，解得，（舍），

在中，．

【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，三角函数的运用，全等三角形等性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

27．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将点、代入得到关于a、b的一元二次方程组求解即可；

（2）如图：连接，由题意可得，再根据即可列出表达式；

（3）先证明可得，进而得到四边形QCOH是正方形且边长为4，即；再说明；设，可得；在中可得，即，则；设结合，，可得；在中运用勾股定理可得，即;过点P作于K，可证，由正切函数可得即，解得，最后代入（2）所对的解析式即可解答．

【详解】（1）解：将点、代入

可得：,解得:，

∴．

（2）解：如图：连接，

∵，

∵

，

∵点P在第二象限的抛物线上，

∴，

∴．

（3）解：∵，

∴

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四边形QCOH是正方形且边长为4，即

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

设，

∴，，，

∴，

在中， ，解得（负值舍），

∴，

在中，，

过点P作于K，可证，

∴，

∴，

∴，

∴，解得，

∴当时，．

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、列函数关系式、正方形的判定与性质、勾股定理、正切函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．