2023年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考三模数学试题（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（　　）

A． B． C．2023 D．

2．一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

3．计算（　　）

A． B． C． D．

4．已知点，是正比例函数图象上的两点，则b、c的大小关系是（　　）

A． B． C． D．不能确定

5．在菱形中，对角线与交于点O，则的值可以是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，为的直径，C、D为上两点，，则（　　）

A．129° B．128° C．109° D．99°

7．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　）

A．20 B．60 C．70 D．80

二、填空题

8．因式分解：___________．

9．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则___________．

10．如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则___________．

11．如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为___________．

12．如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，，点M为直线之间一点，连接，则与面积之和是________．

三、解答题

13．计算：

14．解不等式组：．

15．解方程：

16．如图，已知，点D是AC上一点．请用尺规作图法，在射线AB上求作一点P，使与互余．（保留作图痕迹，不写作法）

17．如图，四边形中，，点E在对角线上，且，如果___________，那么．请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论．

18．观察下列算式：

①；②；

③；……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第⑤个算式：___________；

(2)根据规律，猜想第n个算式（用含n的式子表示），并证明．

19．西安某超市购进一批樱桃，交由甲、乙两名工人分装成盒，甲工人分装了120盒，乙工人分装了200盒．现从两位工人分装的成品中各随机抽取20盒进行称重（单位；克），将所抽取的每盒樱桃的重量进行整理和分析（每盒樱桃重量用x表示，共分成四组，A组：，B组：，C组：，D组：），并将称重数据绘制成了如下两幅统计图：

(1)所抽取的甲工人分装的樱桃成品重量的中位数落在___________组；所抽取的乙工人分装的樱桃成品重量的众数落在___________组．

(2)若每盒樱桃重量在C组范围时为合格产品，请估计经过甲、乙两名工人分装后的樱桃成品中，合格产品的盒数．

20．共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标（共享出行、共享服务、共享物品、共享知识），制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片放入一个不透明的口袋中，摇匀放好．

(1)小沈从中随机抽一张，记录上面的字母后，放回摇匀．小沈共重复抽了60次，结果统计如下图，则小沈抽到标有字母C的卡片的频率是___________；若小沈再抽一次卡片，抽到标有字母C的卡片的概率是___________．

(2)小沈从中随机抽两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（四张卡片用对应的编号A、B、C、D表示）

21．无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们可以直接利用视线解决问题．如图，小佳同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，小佳眼睛到地面的距离为，并测得，，，求树高的长度．（结果保留整数，）

22．下图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象（高度h与距离s的函数图象），其中s表示飞机离起点O的水平距离，h表示飞机距地面的垂直高度．飞机从起点O处沿仰角爬升，到高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行后到达B处开始沿直线降落，降落时经过C处．

(1)求所在直线的函数表达式；

(2)当飞机距地面的垂直高度为时，求它距起点O的水平距离是多少？

23．如图，为的直径，C、D为上两点，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E，且．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

24．如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；

(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．

25．如图，正方形是边长为4米的一块板材．

操作一：现需从中裁出一个等腰直角模具，点P在边上，Q在正方形的内部或边上．

(1)如图，若，米，是否能裁出符合条件的？若能，确定Q的位置；若不能，请说明理由．

(2)如图，连接，在对角线上取点Q，连接，过点Q作交边于P，连接，得到．请证明符合裁剪要求．

操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求进行裁剪．即在正方形中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边上．

(3)如图，若需裁出的四边形面积为10平方米，请探究模具四边形周长的最小值．

参考答案：

1．D

【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．

【详解】解：的倒数是，

故选：D．

【点睛】本题考查倒数的定义，关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．

2．C

【分析】由平行线的性质可得，再根据邻补角定义从而可得答案．

【详解】∵，

∴，

∵，

∴，

故选：．

【点睛】此题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，解本题的关键是掌握“两直线平行，内错角相等”．

3．D

【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．

【详解】解：

故选；D．

【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键．

4．B

【分析】根据正比例函数的增减性进行判断即可．

【详解】解：正比例函数解析式为，

∴y随x的增大而增大，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查一次函数的性质、比较函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

5．D

【分析】根据菱形的性质，判断、、能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】解：菱形中，对角线与交于点O，

由与垂直，、、能构成直角三角形，

A、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；

B、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；

C、，则、、不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；

D、，则、、能构成直角三角形，故该选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

6．A

【分析】根据圆周角定理求出，，再利用三角形内角和求出的度数．

【详解】解：∵，

∴，，

∴，

故选：A．

【点睛】此题考查了圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

7．C

【分析】设每千克上涨x元，利润为w元，根据利润(销售单价进的单价)×数量，列函数关系式，再根据二次函数最值求法求解即可．

【详解】解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得

，

∵，

∴，

∵，

∴当时，w有最大值，最大值为1800元，

∴每千克的售价应定为（元）．

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意，列出关系式是解题的关键．

8．

【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题考查综合提取公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．

9．/48度

【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．

【详解】解：连接,

∵点O是正六边形的中心，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．

10．10

【分析】过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果．

【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，

∵轴，轴，

∴，

又∵F为的中点，，

∴，

∵轴，，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【点睛】本题考查三角形的中位线的性质、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．

11．2

【分析】根据题意可得，，则，设正方形的边长为x，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．

【详解】解：由题意可得：，，

∴，

设正方形的边长为x，则，，

在中，，即，

解得：，（舍），

∴正方形的边长为2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元二次方程，根据勾股定理列方程是解题的关键．

12．8

【分析】先根据矩形的性质和已知条件证明四边形是平行四边形，则可求平行四边形的面积，再根据、的高的和等于点D直线距离，则与面积之和等于平行四边形的面积的一半，据此解答即可．

【详解】解：∵矩形中，，

∴,

∵

∴,

∴,

∴四边形是平行四边形，

∴平行四边形的面积为

∵、的高的和等于点D直线距离，

∴与面积之和等于平行四边形的面积的一半，

∴与面积之和是8．

故答案为8．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的面积等知识点，明确与面积之和等于平行四边形的面积的一半是解答本题的关键．

13．

【分析】先计算开方与乘方，并去绝对值符号，再计算加减即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整指数幂、绝对值意义是解题的关键．

14．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

15．

【分析】利用分式方程的解法解决问题．

【详解】解：

经检验，是原方程的解．

是原方程的解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，结果需要检验是本题的易错点．

16．见解析．

【分析】过点，作出 的垂线并交于 点，即为所求点．

【详解】解：过点D作AC的垂线，交AB于P点，由三角形内角和可知，∠A与∠APD互余.

如图点如图即为所求

【点睛】本题主要考查作图，作垂线等知识，解题的关键是学会利用三角形的内角和解决问题．

17．，证明见解析

【分析】添加条件：，根据平行线的性质得，结合已知利用证明全等即可．

【详解】添加条件：，

证明如下：∵，

∴，

在和中，

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

18．(1)

(2)，证明见解析

【分析】（1）根据规律进行计算即可求解；

（2）根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论．

【详解】（1）解：①，

②，

③，

④，

第⑤个算式为：．

（2）解：第个算式为：．

证明：

．

【点睛】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键．

19．(1)C，C

(2)110盒

【分析】（1）根据中位数和众数定义求解即可；

（2）用甲分装后的合格产品的盒数+乙分装后的合格产品的盒数，计算即可．

【详解】（1）解：随机抽取甲工人分装的成品中20盒樱桃重量，A组有（盒）， B组有（盒）， C组有（盒）， D组有(盒)，

重量按从小到大排列，第10，第11在C组，所以所抽取的甲工人分装的樱桃成品重量的中位数落在C组；

随机抽取乙工人分装的成品中20盒樱桃重量，C组出现次数最多，有8次，所以抽取的乙工人分装的樱桃成品重量的众数落在C组．

故答案为：C，C

（2）解：（盒），

答：估计经过甲、乙两名工人分装后的樱桃成品中，合格产品的盒数为110盒．

【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数与众数，用样本估计总体，解题关键是熟练掌握把一组数据按从小到大排列后，若这组数据有偶数个，则中间两个数的平均数叫中位数，若这组数据有奇数个，则中间这个数叫中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫这组数据的众数．

20．(1)，

(2)

【分析】（1）直接根据频率公式求解，然后概率公式计算概率即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：小沈抽到标有字母C的卡片的频率为，

小沈再抽一次卡片，抽到标有字母C的卡片的概率是．

（2）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，

抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．

【点睛】此题考查了频率，用概率公式求概率和用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21．10

【分析】结合题意画出图形，可证明四边形为矩形，易得，；在中，由勾股定理可得；再证明，由相似三角形的性质可解得，然后由可计算树高的长度．

【详解】解：如下图，

由题意可知，，，，，，

∴，，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，，，

在中，，，，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

解得，

∴．

答：树高的长度为10．

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，综合运用相关知识是解题关键．

22．(1)

(2)或

【分析】（1）先求出点，从而求得，再用待定系数法求解即可；

（2）分两种情况：当飞机在降落时，距地面的垂直高度为；当飞机在爬升时，距地面的垂直高度为．分别求解即可．

【详解】（1）解： 飞机爬升角度为，

上的点的横纵坐标相同．

．

由题意，飞机到达点A后水平飞行后到达B处，

∴

由图知：，

设直线解析式为，

把，代入，得

，解得：，

∴BC所在直线的函数表达式为；

（2）解；当飞机在降落时，距地面的垂直高度为，

即，则，

解得：；

当飞机在爬升时，距地面的垂直高度为，

设直线的解析式为，

把代入，得，

∴，

当时，则，

综上，当飞机距地面的垂直高度为时，它距起点O的水平距离是或．

【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次解析式．理解题意，从图象上获取作息是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据切线的性质和垂直的定义可得，证得，然后根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出结论；

（2）连接，，利用勾股定理求出，可得的值，然后证明，可得，进而可得，然后可求的长．

【详解】（1）证明：如图，连接，

是的切线，，

，

∴，

，

，

，

∴；

（2）解：如图，连接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

为的直径，，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理以及锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．

24．(1)

(2)，或，．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）先求得，由平称可得：，，再根据对称性求出抛物线的解析式为，设，则，所以有，求出x，即可求解．

【详解】（1）解：把点，，代入，得

，

解得：，

∴．

（2）解：对抛物线L：，

当时，，

∴，

∴，

由平移可得：，，

∵抛物线与L关于x轴对称．

∴抛物线的解析式为，

设，则，

∵使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，

∴，

∴，

解得：，，

∴，或，．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何变换，轴对称性质，平移性质，根据轴对称性质，求出抛物线的解析式和根据地平移性质得出，，是解题的关键．

25．(1)不能，理由见解析

(2)见解析

(3)10

【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形进行判断即可；

（2）过点Q作于点M，延长交于点N，证明，即可推出，由此得到结论；

（3）延长至点E，使，证得，得到，根据面积求出，设，则，利用勾股定理求出的值，利用函数的性质得到当时，最小，故也最小，勾股定理求出，即可求出四边形周长的最小值．

【详解】（1）解：不能裁出符合条件的，

∵，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴与不全等，

故，

故不是等腰直角三角形，

∴不能裁出符合条件的；

（2）如图，过点Q作于点M，延长交于点N，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）如图，延长至点E，使，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，解得，

设，则，

∴，，

∴，

∴当时，最小，故也最小，

∴，

∴四边形周长的最小值．

【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，综合掌握以上知识是解题的关键．