2023年广东省云浮市云城区高峰中学中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省云浮市云城区高峰中学中考一模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省云浮市云城区高峰中学中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A．3 B． C． D．1
2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（    ）
A．若甲对，则乙对 B．.若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
5．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ）

A．90° B．100° C．110° D．120°
6．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（    ）
A． B．
C． D．
7．定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为(    )
A． B． C．无解 D．
8．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（  ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
9．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
10．如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
12．已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______．
13．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．

14．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为___________


三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次调查的学生人数是 　 　人；
(2)扇形统计图中“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是 　 　；
(3)请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有多少人？
(4)老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．
19．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
20．已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点

（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；
（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．
21．某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
(1)请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
(2)根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
22．如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，连接，点E在直线上方的抛物线上，连接，当面积最大时，求点E坐标；
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．【基础巩固】
　　 　　
(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值．
【拓展提高】
(3)如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据倒数的概念即可得到答案．
【详解】解：的倒数是﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的概念：两个数乘积为1，则这两个数互为倒数．
2．B
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．B
【分析】根据合并同类项、幂的除法、积的乘方及完全平方公式即可求解．
【详解】解：A.，故错误；    
B.，故正确；
C.，故错误；    
D.，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查合并同类项、幂的除法、积的乘方及完全平方公式，解题的关键是熟知各自的运算法则．
4．B
【详解】对于选项A，若甲对，设只参加一项的人数为15人，可知两项都参加的人数为5人，则乙错，所以选项A不符合题意；
对于选项C，若乙错，设两项都参加的人数为5人，可知只参加一项的人数为15人，则甲对，所以选项C不符合题意；
对于选项D，若甲错，设只参加一项的人数为14人，可知两项都参加的人数为6人，则乙错，所以选项D不符合题意.
故选B.

5．C
【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
【详解】∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形内接于⊙，
∴，
∴，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
6．A
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．B
【分析】根据新定义得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，根据题意列出一元一次不等式组是解题的关键．
8．D
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是，选项D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键．
9．D
【详解】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
10．D
【分析】根据旋转的性质可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．
【详解】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；
根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，
∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B选项错误；
若C选项正确，则，即，
∵∠AEF=∠HEA=45°，
∴△EAF△EHA，
∴∠EAH∠EFA，
而∠EFA=45°，∠EAH45°，
∴∠EAH∠EFA，
∴假设不成立，故C选项错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，
∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是解题的关键．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到实数x的取值范围．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式有意义，熟练掌握二次根号下非负是二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．或
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得．
【详解】∵等腰三角形的一个外角为，
∴与130°相邻的内角为50°，
当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题．
13．
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，

设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．
14．
【分析】将转化为，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．
15．
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，轴，
∴OP=1，AO=2，∠OPA=90°，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵，
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简是解题的关键．
17．，
【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：

，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
18．(1)50
(2)
(3)400人
(4)

【分析】（1）由0.5小时人数及其所占百分比可得总人数；
（2）减去其他三个时间段的百分比即为自主学习时间为2小时的百分比，再乘以即可；
（3）总人数乘以样本中1.5小时、2小时所占百分比之和可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果和选中小华B的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数是（人），
故答案为：50；
（2）2小时人数所占百分比为，
“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
（3）该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有（人），
答：九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有400人；
（4）列表如下：

A
B
C
A



B



C



∵由树状图可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，
∴．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里
【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；
（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
【详解】解：（1）过A点作于点D，
∴，
由题意可得，
∴在中，，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）在中，，
∵，
∴，
在中，，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）如图1，延长DO交BC于F，根据垂径定理得到DF⊥BC，根据圆周角定理得到AB⊥BC根据平行线的判定定理即可得到AB∥OD；
（2）连接DO并延长交BC于F，由垂径定理得到DF⊥CB，求得CF=BC=4，根据全等三角形的性质得到OF=OE=OA-3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，延长DO交BC于F，

∵点D为优弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴AB∥OD；
（2）连接DO并延长交BC于F，
∵点D为优弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥CB，
∴CF=BC=4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=∠OFC=90°，
∵∠DOE=∠COF，OC=OD，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=OA-3，
∵OC2=OF2+CF2，
∴OC2=（OC-3）2+42，
∴OC=，
∴⊙O的半径为．
【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．(1)购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元
(2)购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元

【分析】（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，根据“购买'A课程'3课时与'B课程'5课时共需付款410元，购买'A课程'5课时与'B课程'3课时共需付款470元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，利用总利润＝每课时获得的利润×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和写出函数关系式．
22．(1)，
(2)E的坐标为
(3)存在，或

【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式．再将其变为顶点式即得出顶点坐标；
（2）由抛物线解析式可求，即．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设．过点E作轴于点H，交于点F，则，即得出，，从而得出．再根据三角形面积公式可得出，结合二次函数的性质即可求出点E的坐标；
（3）设．分类讨论：①当在右侧时，设交x轴于G和②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P．分别根据相似三角形的判定和性质求出点G和点N的坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，最后两个直线解析式分别与二次函数解析式联立，再求解即可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
∵，
∴顶点；
（2）对于，令，则，
解得：．
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点E在直线上方的抛物线上，
∴设．
如图，过点E作轴于点H，交于点F，

∴，
∴，，
∴．
∴




．
∵，，
∴当时，面积最大，此时，
∴点E的坐标为；
（3）在抛物线上存在点M，使，
理由：设，
分类讨论：①如图，当在右侧时，设交x轴于G，

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：，，
∴；
②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P，如图，

∵，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
联立，解得：，，
∴．
综上所述，存在点M，其坐标为或．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的最值问题，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直线与抛物线的交点问题等知识，为中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长交于M，连接，过点M作于N，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．