2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．已知点在第一象限，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（    ）
A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7
C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
5．如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（ ）

A． B． C．3 D．
6．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（    ）
  
A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2
8．已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB=50°，则∠ABC的度数是（      ）

A．25° B．40° C．45° D．50°
9．如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为(    )．

A． B． C． D．

二、填空题
11．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为_____．
12．分解因式：______．
13．如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个多边形是_____边形．
14．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
15．已知，，是方程的两个实数根，则的值是______．
16．如图，BC＝8cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为_____．


三、解答题
17．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.

18．已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．

19．先化简，再求值：，其中.
20．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
21．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
22．如图：为的直径，点A是弧的中点，交于点E，，．
  
(1)求证：；
(2)求的值．
23．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
24．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：

(1)当时，求t的值；
(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线过点，交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，且对于任意实数，恒有成立．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．
2．B
【分析】根据点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数求解即可．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴
解得：．
故选：B．
【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
3．A
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可．
【详解】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意；
C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意；
D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．C
【分析】先根据圆周角定理求得 ，然后解直角三角形即可．
【详解】∵，
∴
∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤．
6．D
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．
【详解】解：如图，

由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】连接OC，根据切线的性质定理确定∠OCD=90°，根据角的和差关系求出∠OCB，最后根据等边对等角即可求解．
【详解】解：如下图所示，连接OC．

∵CD是的切线，
∴OC⊥CD．
∴∠OCD=90°．
∵∠DCB=50°，
∴∠OCB=∠OCD-∠DCB=40°．
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质定理，角的和差关系，等边对等角，熟练掌握这些知识点是解题关键．
9．D
【分析】根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是 ，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长．
【详解】解：设与的交点为，

四边形为矩形，
，，，
为直角三角形，
，，
，
，
又由作图知为的垂直平分线，
，，
在中，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．
10．D
【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：

，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
11．1.64×10﹣6
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故答案是：1.64×10﹣6．
【点睛】本题考查了小数的科学记数法表示，熟记指数n是左边第一个非零数字前面数字零个数的相反数是解题的关键．
12．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：


故填：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要进行到不能再分解为止．
13．五
【解析】用360除以72即为所求．
【详解】解：因为多边形的外角和是360°，
所以，，
所以这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【点睛】本题考查了正多边形的外角度数与边数之间的关系，学生应该掌握正多边形的每个外角度数相同，且它们的和是360°，即可利用公式求出边数，因此解题的关键是理解相关概念与性质，牢记公式等．
14．
【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得．
【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，


故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
15．
【分析】将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案.
【详解】解：∵，，是方程的两个实数根，
∴，，
，
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，．
16．
【分析】作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BDE=∠ADC，∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，利用SAS可证明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，进而可证明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根据三角形内角和定理可得∠BPC=120°，根据圆周角定理可得点P在△BCP的外接圆上，∠BPC=∠BGC=120°，可得点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，根据圆周角定理可得∠BOC=120°，根据垂径定理可得BF的长，利用勾股定理即可求出OB的长，利用弧长公式求出的长即可得答案.
【详解】作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，
∵△ABD和△CDE是等边三角形，
∴∠ABD=∠EDC=60°，
∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，
∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△ADC中，，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，
∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，
∴点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，
∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，
∴BF=BC=×8=4，∠OGB=∠BGC=60°，
∵OB=OG，
∴△OBG是等边三角形，
∴∠BOG=60°，
∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，
∴OF=OB，
∴OB2=OF2+BF2，即OB2=(OB)2+(4)2,
解得OB=8，（负值舍去），
∴==，

故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及垂径定理，根据圆周角定理确定点P的运动轨迹是解题关键.
17．﹣1＜x＜3，见解析.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.根据不等式解集的表示方法在数轴上表示即可.
【详解】解不等式x﹣2＜1得x＜3，
解不等式4x+5＞x+2，得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
18．详见解析
【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB＝∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB＝DE．
【详解】证明：∵AC∥BD，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵AC＝BE，BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB，
∴AB＝DE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．
19．，
【分析】先利用分式的运算法则对原式进行化简，再把代入化简结果计算即可．
【详解】解：



当时，
原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，还考查二次根式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
20．(1)调查学生人数200人，补图见解析
(2)愿意参加劳动社团的学生人数900人
(3)作图见解析，P（同一社团）

【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；
（2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：调查学生人数：人，
科普类人数：人，
补全条形统计图，如图：

（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：人；
（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：

共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．
∴恰好选中同一社团的概率为．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元．
(2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．

【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．
【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：，
∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：，
其正整数解为：
或或
当时，利润（元），
当时，利润（元），
当时，利润（元），
∵，
∴当时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得的长，再根据圆周角定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【详解】（1）证明：∵点是弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：，，
，
，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列方程的解，
为的直径，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正切，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
23．(1)，
(2)8

【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积．
【详解】（1）在中，∵，
∴，
∵，∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点C作轴，垂足为E，则，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴   
∴，
∴；

（2）解方程组，得，
∴，
过D作轴，垂足为点
∵
∴

．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)存在，

【分析】（1）利用得，即，进而求解；
（2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式；
（3）当时，易证，得出，则，进而求出t值．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
∵绕点A按逆时针方向旋转得到
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
答：当时，t的值为．

（2）解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴

∴



∴
（3）解：假设存在某一时刻t，使

∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴存在时刻，使．
【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
25．(1)
(2)存在，点或
(3)

【分析】（1）由成立，得到顶点的纵坐标为，即可求解；
（2）由，得到点在的外接圆上，进而求解；
（3）根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，当在对称轴右侧时，则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，此时，、、离对称轴的距离依次减小，即可求解；当在对称轴左侧时，列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，即可求解．
【详解】（1）对于任意实数，恒有成立，
顶点的纵坐标为，
即，
解得：（舍去）或2，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由如下：
对于，当时，，
令，则或1，即点、的坐标分别为：、，
，则，
则点在的外接圆上，

作的中垂线交抛物线的对称轴于点，则点是的外接圆的圆心，
则点是、的中点，则点的坐标为，，且直线经过点，
则直线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，则点，
设点，
则，
即，
解得：，
即点或；
（3）由抛物线的图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，
，
当在对称轴右侧时，
则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，
此时，、、离对称轴的距离依次减小，
即且，
解得：；
当在对称轴左侧时，
列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，
故．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解不等式、一次函数的性质等，熟练运用二次函数的增减性是解题的关键．