2023年广东省汕头市金平区蓝天学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省汕头市金平区蓝天学校中考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省汕头市金平区蓝天学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知点，过点作轴的垂线，垂足为，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是（    ）
锻炼时间（小时）
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
A．6 B．7 C．5 D．2
6．已知方程组的解也是方程的解，则的值是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是(    )
  
A． B．
C． D．点O到直线的距离是1
8．如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（    ）

A． B．
C． D．
9．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．如图，在平面直角坐标系中，已个纸片，顶点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（　　）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．因式分解：___________．
12．微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为平方毫米，数据用科学记数法表示为 _____________．
13．如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡________米．
  
14．已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么______．(填“”或“”或“”)．
15．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=，E为BC上一点，且BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为________．


三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，点E在边上，，，．求证：


19．自2020年开始，新冠病毒疫情严峻，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往武汉，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
20．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
  
(1)这次统计共抽查了___________名学生：
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人；
(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
21．如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．
  
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点的坐标：
(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：AE平分∠CAB；
(3)若AQ＝10，EQ＝5，求四边形CHQE的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于､两点，与轴交于点，连接，
    
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标：
(2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标
(4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值．

参考答案：
1．B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．D
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】先画图，过点作轴的垂线，结合图形可得答案．
【详解】解：如图，点，过点作轴的垂线，垂足为，

∴；
故选：C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
4．D
【分析】根据乘法公式，同底数幂的乘除法运算，积的乘方法则，即可求解．
【详解】解：、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握乘法公式，同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】根据中位数的求法可进行求解．
【详解】解：由表格可知：这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；
故选A．
【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键．将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
6．B
【分析】根据方程同解组新的方程组，求解的值，然后代入方程，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，解得，
代入得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键在于正确的运算．
7．C
【分析】由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出的度数，由三角形内心的性质求出的度数是，的长在变化不一定等于，由直角三角形的性质得到，由角平分线的性质得到，得到到的距离是，据此即可求解．
【详解】解：作于，于，
  
、分别平分、，
，，
，
，
故A正确；
、分别平分，
是的内心，
平分，
，
，
故B正确；
的长在变化不一定等于，
故C不一定正确；
，，
，
，
到的距离是，
故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
8．C
【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；
C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；
D、
，
根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到
故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，尺规作图，正确理解尺规作图，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
9．D
【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：，，
∴
∴一次函数解析式为：，
故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
10．C
【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确；②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②正确；③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③错误；④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确．
【详解】①四边形是矩形，
，
将沿折叠得到，
，， ，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；故①正确，符合题意；
②过作于，
点，点，
，，
，，
，
，
的面积为，故②正确，符合题意；
③连接，
则，
即当时，取最小值，
，，
，
，
即的最小值为；故③错误，不符合题意；
④，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，符合题意；
故选：．
  
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11．
【分析】首先提公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．
【分析】根据斜坡的坡度与的值先求出，再根据斜坡的坡度，求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，,
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
14．
【分析】因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15．
【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG=90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．
【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=45°，
∴∠BEF=∠TEG，
∵EB=ET，EF=EG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC=，BE=，CD=AB=6，
∴CE= BC-BE==6=CD，
∴DE=，
∴∠CED=∠BET=45°，
∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ=TE=BE=，
∴CJ⊥DE，
∴JE=JD，
∴CJ=DE=，
∴CG=CJ+GJ=，
∴CG的最小值为+，
故答案为：+．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根的定义，进行计算即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根的定义．
17．；
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式


，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．证明见解析
【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明．
【详解】证明：，
，
，，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
19．（1）甲单价 90 元/件、乙 80 元/件；（2）筹集资金330000元
【分析】（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x−10）元/件，然后根据购买件数相同的等量关系,列出分式方程解答即可；
（2）设甲种物品件数y件，则乙种物品件数为3y件，然后根据总共购买4000件，列出一元一次方程并求解，最后求所需资金即可．
【详解】（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x−10）元/件，
可得：解得：x=90，经检验x=90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：y+3y=4000，解得：y=1000，
所以筹集资金=90×1000+80×3000=330000元，
答：筹集资金330000元．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，弄懂题意、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
20．(1)
(2)见解析
(3)（人）
(4)

【分析】（1）根据“电话”组的人数，“电话”组的百分比即可求解；
（2）根据（1）可求样本总量，由此可算出“短信”组的人数；
（3）根据样本中“微信”组的百分比估算总体的情况即可求解；
（4）运用列表或画树状图的方法求概率即可求解．
【详解】（1）解：“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，
∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，
∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，
  
（3）解：样本中用“微信”沟通的人数为人，
∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
（4）解：画树状图为：
  
共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，掌握统计中根据样本百分比计算样本容量的方法，运用样本百分比估算总体的方法，运用列表或树状图求概率的方法是解题的关键．
21．(1)
(2)当时，；当时，
(3)点的坐标为或

【分析】（1）如图所示，连接，设矩形的长，宽，可得的坐标，分别表示出的面积，根据，，可求出点横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设，可得，在中，根据勾股定理可的的关系，联立方程即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以为底，作的垂直平分线，运用相似三角形求出与轴的交点，由此即求出的直线解析式，再根据与轴的交点，图形结合即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，设矩形的长，宽，
  
∴，，，
∵分别是边中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，则
∵点在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴双曲线的解析式为．
（2）解：设，
∵，
∴
∴①，
在中，根据勾股定理得：，即②，
联立①②解得：或，
当时，；
当时，．
（3）解：①当时，以为底边的等腰三角形，
∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，
  
∵，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，且，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，，，
∴，解得，，
∴直线的解析式是为，
∵直线与轴交于点，
∴令，得，
∴点的坐标为；
②当时，以为底边的等腰三角形，
∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，
  
∴，，，，，∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，，，
∴，解得，，
∴直线的解析式是为，
∵直线与轴交于点，
∴令，得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)20

【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）连接OE，OP，

∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE平分∠CAB；
（3）∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAO+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵△ACE≌△AQE，AQ＝10，
∴AQ＝AC＝10，
∵tan∠EAQ，AQ＝10，EQ＝5，
∴，
设HG＝x，则AG＝2x，
∴QG＝10﹣2x，
∵HQ＝EQ＝5，
∴52＝x2+（10﹣2x）2，
∴x＝3或x＝5（不合题意舍去），
∴QG＝4，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝5×4＝20．
【点睛】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定，平行四边形的判定菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理并正确的作出辅助线是解题的关键．
23．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)

【分析】（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线可知对称轴为直线，，设，根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴于轴交于点，如图所示，可得或，分类讨论：当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，设，根据两点间的距离公式即可求解；当点在轴下方时，，点在轴下方时不存在；当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有；由此即可求解；
（4）连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如图所示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点；根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：（1）将､代入
∴，解得：，
∴抛物线的解析式，
∴顶点坐标为．
（2）解：存在点，使，理由如下：
，
对称轴为直线，令，则，
，设，

，
，解得，
．
（3）解：在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴与轴交于点，如图所示：
  
，
或，

当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，
，

，设，
，
或，解得（舍）或（舍）或或，

当点在轴下方时，，此时
或，解得（舍）或（舍），
点在轴下方时不存在；
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有，
此时不存在点使；
综上所述：或．
（4）解：连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如下图，
  
①当点Q不与B重合时，
∵，为的中点，
∴，，
∴当最小时，即三点共线是时，有最小值，
∵，
∴，
∵为直径，点抛物线顶点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时有最小值为．
②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点，如下图
  
∵，

，
综上所述：，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的变换，掌握二次函数图像的性质，几何图形的变换，等腰三角形的性质，两点之间的距离公式的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．