2023年湖南省永州市零陵区中考三模数学试题（含解析）

2023年湖南省永州市零陵区中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在下列各数中：、、、，最大的是(    )

A． B． C． D．

2．在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（    ）

A． B． C． D．

3．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，完成“太空会师”，2022年12月4日，神舟十四号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球240000000 光年字宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观测到的最大亮度，其中240000000用科学记数法表示为（     ）

A． B． C． D．

5．下列各式计算正确的是(    )

A． B． C． D．

6．判定三角形全等的方法有（    ）

①；②；③；④；⑤

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤

7．下列求三角函数值，正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，已知一次函数和反比例函数的图像相交于、两点，则不等式的解集为（　　）

A．或 B． C． D．或

10．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：

．．．．．．

解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ）

A．2601 B．2501 C．2400 D．2419

二、填空题

11．三角形的内角和为__________度．

12．写出一个第二象限内的点的坐标：_________．

13．掷一枚硬币，正面朝上的概率是_____．

14．“等边对等角”的逆命题是_____．

15．已知一次函数的图象经过点，则的值为______．

16．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：

第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点；

第二步：作直线．

点是直线上一点，则线段______(填、或)．

17．小明背对小亮按小列四个步骤操作：

（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；

（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；

（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是_______________．

三、解答题

18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：

例：已知关于的方程有实数根，求的最大值？

解：由题意可知，当时，方程有实数解

当时，

即

∴

设函数

当 时，

综上

（1）已知关于的方程有实数根，则的最大值为__________；

（2）已知方程有实数根，则的最大值为__________．

19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)解不等式①，得____________；

(2)解不等式②，得____________；

(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示为：

(4)原不等式组的解集为_____________________．

20．先化简，再求值: ，其中

21．列方程（组）解应用题：

平谷区某食用菌种植合作社将废弃树枝秸秆粉碎后制作成蘑菇菌棒．废菌棒经过高温灭虫后还田，生产性废料循环利用还可以改善土壤PH值（土壤酸碱度）和板结的情况，抑制杂草生长，改善蔬果口感．合作社积极鼓励村民用废弃树枝秸秆换取菌棒，培训推广科学种植菌菇技术，扩大种植规模，让更多的村民能够拥有一技之长，形成一条绿色循环生态产业链，实现生态效益与经济效益双赢．现合作社准备购进一批加工菌棒的设备，现有A，B两种型号的设备，经调查购买一台A型号的设备比购买一台B型号的设备多2万元；购买2台A型号的设备比购买3台B型号的设备少1万元．求A，B两种型号的设备每台各多少万元？

22．虹承中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了A，B，C，D四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在A，B，C，D四种套餐中，你最喜欢的套餐种类是什么?

(必选且只选一种)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢D种套餐的学生占被抽取人数的20％．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生?

（2）通过计算，补全条形统计图；

（3）如果全校有2 000名学生．请你估计全校学生中最喜欢B种套餐的学生有多少名?

23．如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径长．

24．在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，大小方向用有向线段，表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的大小和方向表示合速度（即实际速度）v的大小和方向，这种方法称为平行四边形法则．下面利用平行四边形法则解决实际问题．

(1)已知小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h．如图2，当小船朝着垂直河岸方向航行时，根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东______°，大小为______km/h．

(2)已知小河的水流速度仍为3km/h．如图3，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为km/h，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？

25．如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．

(1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值；

(2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；

(3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积．

26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求、两点的坐标（用含的式子表示）；

(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；

(3)已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，），图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．

【详解】

最大的数是：

故选：D．

【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．

2．B

【分析】根据三视图的定义，即可进行解答．

【详解】解：A．圆锥的左视图和主视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意；

B．正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；

C．该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是一列两个相邻的矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意；

D．圆柱的左视图和主视图都是相同的长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．

3．A

【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：选项B，C，D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项A能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：A．

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义是解题的关键．

4．B

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】解：将240000000用科学记数法表示为：．

故选：B．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．C

【分析】根据算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项正确，符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，熟练掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值是解题的关键．

6．A

【分析】根据判定三角形全等的方法分析即可求解．

【详解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，

故选：A．

【点睛】本题考查了判定三角形全等的方法，熟练掌握判定三角形全等的判定定理是解题的关键．

7．A

【分析】根据特殊角的三角函数值，逐项分析判断即可求解．

【详解】A. ，故该选项正确，符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

8．B

【分析】根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．

【详解】解：∵圆锥底面圆的半径为1，

∴圆锥底面圆的周长为：，

∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：．

故选：B．

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图中扇形的弧长，熟练掌握圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长是解题的关键．

9．A

【分析】根据一次函数图像与反比例函数图像的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．

【详解】解：观察函数图像，发现：当或时，一次函数图像在反比例函数图像的上方，

不等式的解集是或．

故选：A．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图像的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图像的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．

10．A

【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．

【详解】解：观察以下算式：

发现规律：，

∵

解得，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律．

11．180

【详解】三角形的内角和为180度．

故答案为：180.

12．（答案不唯一）

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．故只要写一个横坐标为负数，纵坐标为正数的点的坐标即可，如（答案不唯一）．

【详解】解：∵第二象限；

∴符合条件的点可以为：；

故答案为：

【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，熟记四个象限内点得到坐标特点是解本题的关键.

13．/0.5

【分析】根据概率的意义分析即可得解．

【详解】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，

∴正面朝上的概率是P=．

【点睛】本题考查了概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，理解概率的意义是解题的关键．

14．等角对等边

【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．

【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；

故答案为：等角对等边．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是分清原命题的题设和结论．

15．

【分析】将点，代入解析式即可求解．

【详解】将点，代入一次函数

即．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数与轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

16．

【分析】根据作图可得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解．

【详解】解：∵根据作图可得是线段的垂直平分线，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

17．6

【分析】把每堆牌的数量用字母表示出来，列出表示变化情况的式子即可解答.

【详解】设第一步时，每堆牌的数量都是x(x≥2)，

第二步时：左边x-2，中间x+2，右边x；

第三步时：左边x-2，中间x+4，右边x-2，

第四步时：左边x-2，所以从中间拿走x-2，

则中间剩余牌数为（x+4）-(x-2)=x+4-x+2=6，

所以中间一堆现有张数是6，

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查整式的加减，把复杂问题通过逻辑推理简单化是解答的关键.

18．     不存在    

【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可求解；

（2）令，则，将代入，得，根据题意得出，进而根据二次函数的性质即可求解．

【详解】解：（1）∵关于x的方程，即有实数根，

∴，，，

即

∴

设函数

当时，或

∴是最大值不存在，

故答案为：不存在；

（2）令，则，将代入，

整理得，该方程有实数根，

∴

∴

有最大值

即的最大值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

19．(1)

(2)

(3)见解析

(4)

【分析】（1）根据移项合并同类项解一元一次不等式；

（2）根据去分母，移项合并同类项解一元一次不等式；

（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示；

（4）根据数轴求得不等式组的解集即可求解．

【详解】（1）解：解不等式①，得，

故答案为：；

（2）解：解不等式②，得，

故答案为：；

（3）解：将不等式①和②的解集在数轴上表示为：

；

（4）解：原不等式组的解集为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

20．

【分析】原式约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值；

【详解】解：

=

=

当时，原式==.

【点睛】考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．A型号设备7万元/台，B型号设备5万元/台

【分析】由题意，设A型号设备x万元/台，B型号设备y万元/台，然后列出方程组，解方程组即可得到答案．

【详解】解：设A型号设备x万元/台，B型号设备y万元/台．

根据题意列方程组，得：              

解方程得：．                     

答：A型号设备7万元/台，B型号设备5万元/台．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解题意，从而进行解题．

22．（1）200名

（2）（3）500名

【详解】解：（1）一共抽取的学生有40÷20%=200（名），

答：在这次调查中，一共抽取了200名学生．

（2）根据题意得：喜欢C种套餐的学生有200－90－50－40=20（名），

据此补全条形统计图如下：

（3）∵全校有2000名学生，

∴全校学生中最喜欢B中套餐的学生有2000× =500（名），

答：估计全校最喜欢B种套餐的学生有500名．

（1）根据最喜欢D种套餐种类的人数除以最喜欢D中套餐的学生所占的百分比，即可求出调查总人数．

（2）根据（1）中所求出的总人数减去喜欢A，B，D三种套餐种类的人数，即可求出喜欢C种套餐的人数，从而补全条形统计图．

（3）用全校总学生数乘以最喜欢B中套餐的学生所占的百分比，即可求出答案．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；

（2）利用勾股定理即可求出半径．

【详解】（1）证明：连接 ．

∵BE平分∠ABC，

．

又，

，

，

，

．

又点在上，

 是的切线．

（2）设的半径为，

，

，

即，

解得，

∴的半径为．

【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．

24．(1)；

(2)小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为

【分析】（1）设小船的实际速度方向为北偏东角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向；再根据勾股定理，计算得出小船的实际速度大小；

（2）画出图形，根据勾股定理，计算得出小船在静水中的航行速度；再设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向．

【详解】（1）解：设小船的实际速度方向为北偏东角度，

∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h，

∴，

∴，

∴小船的实际速度方向为北偏东；

∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为，

∴小船的实际速度为：；

故答案为：；

（2）解：如图，

∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，

小船在静水中的航行速度为：；

设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，

∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，

∴，

∴，

∴小船在静水中的航行的方向为北偏西，

综上可得：小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为．

【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在理解平行四边形法则．

25．(1)

(2)平行四边形的周长为

(3)

【分析】（1）根据勾股定理求得，设到的距离为，等面积法求得，根据题意，即可求解；

（2）根据折叠的性质，得出是等腰三角形，勾股定理求得即等腰三角形腰上的高，结合平行四边形的性质即可求解；

（3）根据三角形的面积公式，根据，求得，根据等边三角形的性质即可求解．

【详解】（1）解：∵在矩形中，，，

∴，

设到的距离为，

则，

∴，

∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．

∴

（2）解：∵四边形是矩形，

∴，

∴

∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，

∴，，，

∴

∴

∴是等腰三角形，

在与中，

∴

∴，

在中，,

即等腰三角形，腰上的高为，

依题意，，

∴平行四边形的周长为；

（3）解：如图所示，连接

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握题中结论是解题的关键．

26．(1)，

(2)或

(3)或

【分析】（1）当时，，解方程即可求解；

（2）画出函数图象，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

（3）由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，分别求出， ，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线上方时；②当C点在B点右侧，且在的下方时，两种情况讨论．

【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）

当时，

即

解得：

∴，

（2）解：当时，，

解得或，

∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

如图1，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

如图2，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

综上所述：或时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

（3）解：由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，

当时，，

∴，

如图当点在点左侧，同时点在直线上方时，都符合题意，如图所示，

当在上时，

∴

解得：或

∴

如图所示，当点在上或者的下方时，且在对称轴的右侧时，

解得：或（舍去）

综上所述，或时，图象M上恰有一个点到直线l距离为2；

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．