2023年四川省达州市宣汉县中考一模数学试题（含解析）

2023年四川省达州市宣汉县中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-2的倒数是（ ）

A．-2 B． C． D．2

2．2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（   ）

A． B． C． D．

5．如图，直线相交于点，若，则的度数是（    ）

A．30° B．40° C．60° D．150°

6．六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（    ）

A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差3 D．众数是14

7．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（    ）

A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1或3

11．为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．1

二、填空题

13．分解因式：=______．

14．计算：______．

15．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．

16．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．

17．如图，菱形的对角线相交于点O，，则菱形的周长为 ___________．

18．如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．

三、解答题

19．

20．解方程：x2－2x－3＝0

21．先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．

22．如图，B是线段AC的中点，，求证：．

23．去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

24．如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和C．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式．

（2）已知点，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求的面积．

25．如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．

(1)求证：是的切线．

(2)若，求的值．

26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．

(1)求，的值；

(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；

(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．

【详解】解：-2的倒数是-，

故选：B．

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．

2．C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

3．D

【分析】根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．

【详解】解：A、5a-3a=2a，选项错误；

B、6a÷2a=3，选项错误；

C、，选项错误；

D、，选项正确；

故选：D．

【点睛】题目主要考查单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

4．B

【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．

【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；

C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；

D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

5．A

【分析】根据对顶角相等可得．

【详解】解：∵，与是对顶角，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．

6．D

【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可．

【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为，故选项错误，不符合题意；

B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15，

∴中位数为，故选项错误，不符合题意；

C．六位同学的年龄的方差为，故选项错误，不符合题意；

D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题的关键．

7．A

【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组．

【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子，

由题意可得：，

故选：A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

8．B

【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．

【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，

∴A、C坐标关于原点对称，

∴C的坐标为，

故选C．

【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．

9．A

【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．

【详解】解：在中，的平分线交于点D，，

∴CD=DF=3，故B正确；

∵DE=5，

∴CE=4，

∵DE//AB，

∴∠ADE=∠DAF，

∵∠CAD=∠BAD，

∴∠CAD=∠ADE，

∴AE=DE=5，故C正确；

∴AC=AE+CE=9，故D正确；

∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，

∴△BDF∽△DEC，    

∴,

∴，故A错误；

故选：A．

【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．

10．A

【分析】先根据根的判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得到，，接着利用得到，所以，然后解关于的方程，从而得到满足条件的的值．

【详解】解：根据题意得，

解得，

∵方程的两实数根为，，

∴，，

∵，

∴，

即，

整理得，

解得，，

∵，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式．

11．A

【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．

【详解】解：连接OT，如下图．

∵与⊙相切于点，

∴ ．

∵，，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．

12．B

【分析】在AD上截取连接GE，延长BA至H，使连接EN，可得出，进而推出得出

，设则用勾股定理求出由可列方程解出x，即CN的长，由正切函数，求出BM的长，由即可得出结果．

【详解】解：如图所示：在AD上截取连接GE，延长BA至H，使连接EN，

为正方形外角的平分线，

在和中，

在和中，

在和中，

设则

在中，

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．

13．a（b+1）（b﹣1）

【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），

故答案为a（b+1）（b﹣1）．

14．

【分析】根据幂的乘方可直接进行求解．

【详解】解：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．

15．/50度

【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解．

【详解】解：∵在中，，，

∴，

由作图可知是的垂直平分线，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．

16．

【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．

【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，

，

，

，

，

根据与的周长比等于相似比可得，

故答案为：．

【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．

17．52

【分析】根据菱形的性质可得、，由勾股定理即可求得的长，最后求出菱形的周长即可．

【详解】解：∵菱形中，，

∴，

在中， ，

∴菱形的周长=．

故答案是：52．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，掌握菱形的对角线相互垂直平分是解答本题的关键．

18．或/或

【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．

【详解】解：如图，

观察图象得：当x=2时，y≥1，

即，解得：，

当x=-2时，y≥3，

即，解得：，

∴的取值范围是或．

故答案为：或

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

19．3

【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．

【详解】解：原式．

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．

20．

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．

【详解】解：，

，

或，

或，

故方程的解为．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．

21．，当时，式子的值为；当时，式子的值为．

【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．

【详解】解：原式

，

，

，

又为满足的整数，

或，

当时，原式，

当时，原式，

综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．

22．证明过程见详解

【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．

【详解】证明∵B是AC中点，

∴AB=BC，

∵，

∴∠A=∠EBC，

∵，

∴∠DBA=∠C，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE(ASA)．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．

23．米

【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．

【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：米，，

，

，

在中，米，米，

在中，米，米，

则（米），

答：压折前该输电铁塔的高度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．

24．（1）直线AB：；反比例函数：；（2），

【分析】（1）分别设出对应解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）先求出C点坐标，从而求出直线CD的解析式，然后求出E点坐标，再利用割补法求解面积即可．

【详解】（1）设直线AB的解析式为，

将点，代入解析式得：

，解得：，

∴直线AB的解析式为：；

设反比例函数解析式为：，

将代入解析式得：，

∴反比例函数的解析式为：；

（2）联立，解得：或，

∴C点坐标为：，

设直线CD的解析式为：，

将，代入得：

，解得：，

∴直线CD的解析式为：，

联立，解得：或，

∴E点的坐标为：；

如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，

则F点坐标为，，

∴．

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，准确求出各直线的解析式以及与双曲线的交点坐标，灵活运用割补法求解面积是解题关键．

25．(1)见解析；

(2)3

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；

（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值．

【详解】（1）证明：连接OC，

∵为的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO,

∵，

∴∠BCD=∠ACO，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

∴OC⊥CD，

∴是的切线．

（2）解：过点O作OF⊥BC于F，

∵，

∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，

∴BE=BC-CE=1.5x，

∵∠C=90°，

∴AC=，

∵OA=OB，OF∥AC，

∴，

∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF=，

∴=．

【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．

26．(1)，

(2)

(3)存在这样的点，点的坐标为或

【分析】（1）将点的坐标代入抛物线可得到关于的方程组，解方程组即可得；

（2）设直线的解析式为，从而可得点的坐标为，利用三角形的面积公式可得的面积为，再利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立可得点的坐标，从而可得的面积，然后根据与的面积相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案；

（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可设点的坐标为，点的坐标为，再分①以为一边的矩形是矩形和②以为一边的矩形是矩形两种情况，利用相似三角形的性质和矩形的性质将用表示出来，然后将点代入抛物线的解析式可求出的值，由此即可得出答案．

【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，

∴，

解得．

（2）解：由题意，设直线的解析式为，

当时，，即，，

则的面积为，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

联立，解得，

则点的坐标为，

所以的面积为，

因为与的面积相等，

所以，

解得或（不符题意，舍去），

经检验，是所列分式方程的解，

所以直线的解析式为．

（3）解：抛物线的对称轴为直线，

则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，

，

，

设点的坐标为，点的坐标为，

由题意，分以下两种情况：

①如图，当以为一边的矩形是矩形时，

则，，

，

，

，

在和中，，

，

，即，

解得，

，

矩形的对角线互相平分，

，解得，

将点代入得：，

解得或，

当时，，符合题意，

当时，，不符题意，舍去，

则此时点的坐标为，

②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，

则，

同理可证：，

，即，

解得，

，

，

矩形的对角线互相平分，

，解得，

将点代入得：，

解得或（不符题意，舍去），

当时，，符合题意，

则此时点的坐标为，

综上，存在这样的点，点的坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．