2023年湖南省长沙市长沙县中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考三模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市长沙县中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在数轴上表示负数a的点与原点O的距离是1，则负数a等于（    ）
A．1 B． C． D．0
2．“着眼长远，共同推动中法中欧关系行稳致远”．2023年4月初，国家主席习近平同法国总统马克龙，欧盟委员会主席冯德莱恩举行中法中欧三方会唔，共同呵护中法中欧关系的稳定性．2022年中欧双边货物贸易总额达847300000000美元，同比增长2．4%，中欧双方互为重要贸易伙伴，双边贸易持续上升，中欧合作关系良好．将数据“847300000000”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（    ）

A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．如图，将一束平行光线射入一张对边平行的纸板，若图中，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，是半圆O的直径，点D，C是半圆上的三等分点，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
6．下列计算，正确的是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，平移这四个点中的一个点，使得这四个点关于y轴对称，则正确的平移过程是（    ）
  
A．将点A向左平移3个单位长度 B．将点B向左平移4个单位长度
C．将点C向左平移5个单位长度 D．将点D向右平移6个单位长度
8．在2023年长沙中考理科实验考查中，某校九年级毕业生的插标成绩统计如下：
插标成绩（分）
20
19
18
17
16
15
得分人数（人）
9
4
2
1
1
1
那么该校九年级毕业生理科实验插标成绩的中位数和众数分别是（    ）
A．18，19 B．18.5，20 C．19，20 D．19.5，20
9．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
10．如图，于点B，于点C，点E是线段上一个动点，于点E，射线交射线于点F，，设，，当点E从点B运动到点C时，y与x的函数图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．化简：________．
12．若是一元二次方程的根，则k的值等于________．
13．分解因式：________．
14．如图，在中，，，点D是边的中点，则的长等于________．（用含的三角函数值表示）

15．为拓展学生视野，某校今年春季开展了研学活动，研学基地平面图大致如图所示，学生李想，瑞希从A入口进入基地开展活动，2小时后活动结束．若学生从每个出口离开的可能性相等，则李想，瑞希两位同学都从C出口离开的概率是________．

16．小丽、小刚、小亮三人按如下步骤玩扑克牌：
第一步：每个人取相同数量的扑克牌（每个人扑克牌的数量相等，且均不少于2张）．
第二步：小丽拿出2张扑克牌给小亮．
第三步：小刚拿出1张扑克牌给小亮．
第四步；小丽现在有几张扑克牌，小亮就拿出几张扑克牌给小丽．
若此时小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍，则此时小刚有________张扑克牌．

三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．阅读下列作图过程，完成解答．第（1）问将正确答案填写在横线上，第（2）问将正确答案的序号填写在括号内．如图，线段是半圆O的直径，按如下步骤作图：

第一步：分别以点B、点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F；
第二步：作直线交半圆于点C，交于点D；
第三步：连接、．
(1)求证：；
证明：因为线段是半圆O的直径，所以________．
由作图可知，直线垂直平分，所以________．
所以，且________．
所以．（推理依据：____________________）
(2)若，则的长等于（       ）
A．4    B．5    C．    D．
20．为提升学生的核心素养，长沙县某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类（记作A类），艺术类（记作B类），科普类（记作C类），其他类（记作D类）．学生张华根据收集的数据绘制了如图1，图2所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：
  
(1)木次随机抽样调查的书籍的本数是________本；a=________；D类扇形圆心角的度数等于________°；
(2)通过计算，补全图①中的条形统计图．
(3)本次活动，该校一共捐书1000本，请你估计文学类的书籍约有多少本？
21．如图，在中，点E是边的中点，点D是边上的一个动点，且不与点A，点B重合，过点C作交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，当时，求的值．
22．“叶儿粑”被引进长沙后，经过改良，成为了长沙的特色小吃，深受广大市民的喜爱．某商家推出了“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售，其中“花生芝麻馅叶儿粑”比“芽菜肉馅叶儿粑”每个贵元，且销售个“花生芝麻馅叶儿粑”和销售个“芽菜肉馅叶儿粑”价格相同．
(1)求“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是多少元？
(2)若“芽菜肉馅叶儿粑”成本是每个元，“花生芝麻馅叶儿粑”成本是每个元．五一劳动节这天，该商家准备生产个“叶儿粑”销售，其中“花生芝麻馅叶儿粑”的数量不少于“芽菜肉馅叶儿粑”数量的倍，试求该商家这天利润的最大值，此时这两种“叶儿粑”的数量分别是多少个？
23．如图，矩形的对角线，相交于点O，点F是边上个动点．

(1)若，求证：是等边三角形；
(2)在（1）的条件下，若，，求矩形的面积．
24．如图，内接于半径为1的，，过点A作，的延长线交于点E，交直线于点D，连接．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．
25．已知，我们不妨约定：当自变量x满足：时，函数值y恰好满足：，此时我们就说该函数是“星联函数”，“”的值叫做该“星联函数”的“星联距离”，根据约定，解答下列问题：
(1)当时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”；
①（    ）；②（    ）；③（    ）．
(2)若当时，一次函数（）是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”；
(3)当时，“星联函数”解析式为，求该函数的“星联距离”．

参考答案：
1．B
【分析】设数轴上与原点的距离等于1的点所表示的数是，则，由为负数，即可得出结论．
【详解】解：数轴上点与原点的距离等于1，则，
所以，
因为为负数，
所以，
故选B．
【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴的定义和绝对值的定义是解题关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：这个数用科学记数法可以表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．A
【分析】由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱．
【详解】解：由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的表面展开图，解题的关键是熟记几何体的表面展开图的特征．
4．B
【分析】先根据得出，再根据，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
  
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
5．B
【分析】如图，连接，由题意知，，由圆周角定理可知，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，
由题意知，，
由圆周角定理可知，，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
6．D
【分析】根据合并同类项的法则可判断A，B，根据单项式除以单项式可判断C，根据同底数幂的乘法可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意，
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
7．C
【分析】根据轴对称的性质和平移的性质可得答案．
【详解】解：A、将点A向左平移3个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
B、将点B向左平移4个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
C、将点C向左平移5个单位长度后坐标为，这四个点关于y轴对称，正确；
D、将点D向右平移6个单位长度后坐标为，这四个点不关于y轴对称，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和平移的性质，能够得出平移后的点的坐标是解题的关键．
8．D
【分析】根据中位数与众数的定义求解即可．
【详解】解：把毕业生的插标成绩按从小到大排列，最中间两个数为19，20，所以中位数是；
20出现了9次，出现次数是最多的，故众数是20．
故选：D．
【点睛】本题考查中位数与众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是出现次数最多的那个数．
9．A
【分析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
10．C
【分析】根据，，得出，根据，得出，通过证明可得，即可得出y关于x的函数表达式，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，，则，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例，以及二次函数的图象．
11．7
【分析】进行化简即可得．
【详解】解：，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算法则．
12．2
【分析】将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：将代入得，，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
13．
【分析】提取公因式，即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是找出公因式．
14．
【分析】由，可知是等腰三角形，由点D是边的中点，可得，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
15．
【分析】根据题意，画树状图如图，然后求概率即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：

∴共有9种等可能的结果，其中李想，瑞希两位同学都从C出口离开有一种等可能的结果，
∴李想，瑞希两位同学都从C出口离开的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于根据题意画树状图．
16．6
【分析】设每个人的扑克牌有a张，根据二、三、四步表示出此时小丽与小亮的扑克数，由小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍列出方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出此时小刚的扑克数．
【详解】设每个人的扑克牌有a张，根据第二、三步得：小丽：张；小刚：张；小亮：张；

根据第四步得：小亮取出张扑克给小丽，此时小丽：张，小亮：（张），

∵此时小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍，
∴，
解得：，
∴，
则小刚此时有6张扑克．
故答案为6．
【点睛】本题考查了整式的加减和一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
17．
【分析】分别根据0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：

.
【点睛】本题考查的是0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
18．，
【分析】先化简括号里的，再计算除法得，将代入进行计算即可得．
【详解】解：

.
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．
19．(1)；；；两个角对应相等的两个三角形相似；
(2)C

【分析】（1）证明，结合，从而可得结论；
（2）由作图可得，可得，，由，可得，则，从而可得答案．
【详解】（1）证明：因为线段是半圆的直径，所以．
由作图可知，直线垂直平分，所以．

所以，且，
所以．（推理依据：两个角对应相等的两个三角形相似．）
（2）由作图可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
故选C
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，作线段的垂直平分线，熟记相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．(1)100，25，54；
(2)见解析；
(3)250

【分析】（1）由科普类（记作C类）书籍的数量及其所占百分比可得抽取的总数量，再求出A、D类各自所占百分比即可解题；
（2）用样本容量减去其他类别的数量即可求出B类书的具体数量，从而补全图形；
（3）用总数量乘以样本中文学类书籍数量所占比例可得．
【详解】（1）解：本次抽样调查的书有（本）；
A类所占百分比为，
D类所占百分比为，
D类扇形圆心角的度数为，
故答案为：100，25，54；
（2）随机抽样调查B类书的数量为（本），
补全统计图如下：
  
（3）估计文学类（D类）书籍的本数为（本）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，解决问题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）在中，点是边的中点得，根据交的延长线于点得，根据即可得；
（2）证明四边形是矩形，可得，即可得．
【详解】（1）证明：在中，点是边的中点，
，
∵交的延长线于点，
∴，
在和中

∴；
（2）解：当时，则，
，,
，
四边形是矩形，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
22．(1)“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是元，元；
(2)当“芽菜肉馅叶儿粑”个数是个，“花生芝麻馅叶儿粑”个数是个时，该商家这天最大利润为元；

【分析】（1）设“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是元，元列方程即可解答；
（2）设“芽菜肉馅叶儿粑”个数是个，则“花生芝麻馅叶儿粑”数量别是个，该商家这天利润为元得到一次函数，最后根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是元，元，
∴，
解得，，
∴，
答：“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是元，元．
（2）解：设“芽菜肉馅叶儿粑”个数是个，则“花生芝麻馅叶儿粑”数量别是个，该商家这天利润为元，
依题意得，，
解得，
∴最大值为，
∴，
∵，
∴当最大值为时，最大值为元，
∴．
答：当“芽菜肉馅叶儿粑”个数是个，“花生芝麻馅叶儿粑”个数是个时，该商家这天最大利润为元.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的与实际问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质的性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明，从而可得结论；
（2）由（1）得，是等边三角形，，可得，可得，可得，可得，，，从而可得答案．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
，又，
，
∴是等边三角形．
（2）由（1）得，是等边三角形，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，，
矩形的面积．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用基本图形的性质是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）连接，根据，得是线段的垂直平分线，根据得，即可证出是的切线；
（2）设，根据题意得出，再根据三角形内角和得，解出，从而得出，，再根据阴影部分的面积即可解得；
（3）由的面积为，的面积为，的面积为，得，再根据平分得出：点到的距离等于点到的距离，，，再由即可解答；
【详解】（1）证明：如图，连接，设交于点，则，
  
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
过点作，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
由（1）得，是线段的垂直平分线，且，
，，
，
，
，
，
，且，
，
在中，，
，

，
，，
，
，
图中阴影部分的面积.
  
（3）解：方法一：的面积为，的面积为，的面积为，
若，则，
，
，
平分，
点到的距离等于点到的距离，
，又，
，
，，
，，
，
，
.
  
方法二：的面积为，的面积为，的面积为，
若，则，
在利中，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，或（舍去），
，
，，
，，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了圆切线证明、圆与相似三角形、扇形的面积公式、勾股定理、线段垂直平分线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用圆的相关知识点．
25．(1)①√；②×；③×
(2)该一次函数的解析式为，“星联距离”为4
(3)或

【分析】（1）根据“星联函数”的定定义，逐个判定即可；
（2）分两种情形：情形一，当时，随的增大而增大；情形二，当时，随的增大而减小．分别求解即可．
（3）分两种情形：情形一，若，则；情形二，若时，则，．分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵
∴
当时，
∴
∴
故①√；
②∵
∴
当时，
∴
∴
故②×；
③∵
当时，
∴
故③×．
（2）解：情形一，当时，随的增大而增大．
当，一次函数是“星联函数”，
，；，，
可得方程解得
该一次函数的解析式为，“星联距离”为．
情形二，当时，随的增大而减小．
当，一次函数是“星联函数”，
，；，，
可得方程解得
又，情形二不存在．
综上，该一次函数的解析式为，“星联距离”为4．
（3）解：“星联函数”解析式为的对称轴为．
情形一，若，则，由“星联函数”定义得
  、是方程的两根，
由一元二次方程根与系数的关系，得，此种情形不存在．
情形二，若时，则，，
当时，．
①若，，
，，
此时星联距离为．
②若，则，不合题意，合去．
情形三，若，则由“星联函数”定义得
①-②，得，
方程①可以化为，
方程②可以化为，
、是方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系得，，
符合题意．该函数的“星联距离”为：
．
综上，该函数的“星联距离”为或．
【点睛】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，理解新定义，熟练掌握一次函数与二次函数图象性质是解题的关键．