2023年辽宁省阜新市新邱区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省阜新市新邱区中考一模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省阜新市新邱区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在，0，，2这四个实数中，最大的数是（    ）
A．0 B． C．2 D．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分
100
99
98
97
人数
3
7
6
4
则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（    ）
A．98，98 B．98，99 C．98.5，98 D．98.5，99
5．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
7．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
8．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．分解因式：______．
12．已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
13．化简：______．
14．贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是___________．
15．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

16．如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则______．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．

18．如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．


三、解答题
19．计算：．
20．2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率

15
0.1

a
0.2

45
b

60
c
(1)表中___________，___________，___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证．

22．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
23．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地．

（1）求地与信号发射塔之间的距离；
（2）求地与信号发射塔之间的距离．（计算结果保留根号）
24．问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

25．是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．

(1)如图1，求证；
(2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长．
26．图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．C
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
3．B
【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项计算即可判断．
【详解】A．，故选项A错误，不合题意；
B．，故选项B正确，符合题意；
C．，故选项C错误，不合题意；
D．，故选项D错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解本题的关键．
4．D
【分析】根据众数，中位数的定义计算选择即可．
【详解】∵99出现的次数最多，7次，
∴众数为99；
∵中位数是第10个，11个数据的平均数即，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数），众数在一组数据中出现次数最多的数据，熟练掌握定义是解题的关键．
5．D
【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可．
【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6．D
【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
9．D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
10．D
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
11．
【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12．5
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
【详解】解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
13．/
【分析】根据分式的混合运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．
14．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．6
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，


解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
16．6
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：

∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键．
17．
【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案．
【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度，
∴点A向右边平移了4个单位与C对应，
∴ 即
故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题的关键．
18．或4
【分析】由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明得，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，,
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若时，则有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，,
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为或4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．
19．
【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．
20．(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为

【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1），
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）频数分布直方图如图所示：

（3）用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：

A
B
C
d
A

BA
CA
dA
B
AB

CB
dB
C
AC
BC

dC
d
Ad
Bd
Cd

共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．证明见解析
【分析】由菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，进而推出BE＝DF，根据全等三角形判定的“SAS”定理证得，由全等三角形的性质即可证出．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AD﹣AF，    
∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，，
∴，
∴CE＝CF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
22．（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
23．（1）；（2）
【分析】（1）过点作于点,分别求出即可求出；
（2）过点作于点，解即可求出．
【详解】（1）依题意知：，，
过点作于点，

∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
（2）∵，
∴
过点作于
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键．
24．（1）BF﹣AFCF；（2）见解析；（3）BF﹣kAF•FC
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），则△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EFCF，进而求解；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），再证明△BCG≌△ACF（ASA），得到△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，即可求解；
（3）证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到，则BG＝kAF，GC＝kFC，进而求解．
【详解】解：（1）如图（2）
∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EFCF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AFCF；
即BF﹣AFCF；
（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，
则BF＝BG+GF＝AFCF，
即BF﹣AFCF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即 ，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴ ，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF •FC，
则BF＝BG+GF＝kAF•FC，
即BF﹣kAF•FC．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，解题的关键是综合运用三角形全等和相似及勾股定理解决问题．
25．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明，，即可得出；
（2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
【详解】（1）解：∵ ，
∴，
∵ 是的切线，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）解：如图，连接AC．

∵ 的半径为2，
∴，，
∵ 在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∵ ，经过的圆心，
∴，
∴．
∵是的直径，C是上一点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键．
26．（1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）
【分析】（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，
（2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可，
（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可．
【详解】：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中，
得：，
解得，
∴抛物线得函数关系为
（2）点或、点或点．
如图：

∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，
∴或，
∵点B（3，0），C（0，－3），
当时，则，
设对称轴与x轴交于点M，
∴，，
∴；
同理时，；
故答案为：；．
（3）当时，，
解得：，
∴A（－1，0）
又，
∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4）
∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）
∴，
∴
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝
设点M得坐标（），则点G得坐标为，
根据题意知：
∠AMG＝∠BCD＝
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：

①当时，此时有：或
解得：或＝0，，都不符合，所以时无解．
②当时，此时有：或
解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）
③当m＞3时，此时有：或
解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）
所以点M（6，0）或M（，0）
答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度．