2023年广东省汕头市潮阳实验学校中考模拟数学试题（含解析）

2023年广东省汕头市潮阳实验学校中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．某种粒子的质量为0.00000081g，将0.00000081用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列命题错误的是（　　）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．如图，在中，D，E分别是边的中点，，现将沿翻折，点C的对应点为，则的大小是（        ）．

A．40° B．30° C．20° D．10°

6．某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（　　）

A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5

7．下列说法正确的是（    ）

A．五边形的外角和是

B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点

D．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等

8．若关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

9．如图所示，在RT△AO中，，，点在反比例函数的图像上，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ）．

A． B． C． D．

10．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为【   】

A． B． C． D．

二、填空题

11．函数中，自变量x的取值范围是_______．

12．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．

13．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．

14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为______．

15．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点，和三点共线时，的长为______．

三、解答题

16．解方程组：．

17．先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，将四边形ABCD折叠，使A，C两点重合，折痕与AD，AC，BC分别交于点E，O，F．

(1)请用尺规作出直线EF；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

19．科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，．

(1)求连接水管的长．（结果保留整数）

(2)求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）

（参考数据：）

20．某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．

(1)A，B两款保温杯销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大？

21．如图，已知中，，E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接．

(1)求证：四边形是矩形．

(2)若的面积是18，求的长．

22．如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)如图2，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点．

①试探究线段与之间满足的数量关系；

②若，，求线段的长．

23．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是线段上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点E的坐标．

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】根据两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数即可判断．

【详解】解：因为与Q点关于x轴对称，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是牢记两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．

2．C

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】0.00000081=8.1×10-7.

故选C．

【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．B

【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、分式的除法法则逐项判断即可得．

【详解】A、，此项错误，不符题意；

B、，此项正确，符合题意；

C、，此项错误，不符题意；

D、，此项错误，不符题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、分式的除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．

4．D

【分析】运用不等式的基本性质排除选项．

【详解】解：A、若a＞b，则ac2≥bc2，故A正确；

B、若a＞b，则1-a＜1-b，故B正解；

C、若a＞b，则2a-3＞2b-3，故C正确；

D、若a＞b，则3a+b＞4b，故D错误．

故选D．

【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

5．C

【分析】先根据三角形的中位线可得，得到，再根据折叠的性质可得，最后根据平角的定义列式求解即可．

【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点，

∴,

∴,

∵将沿翻折，点C的对应点为，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、平行线的性质、折叠的性质等知识点，掌握中位线的性质是解答本题的关键．

6．C

【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．

【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为，

众数为12，

平均数为，

故选：C．

【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折线统计图准确读取数据是解题的关键．

7．D

【分析】根据三角形外心的性质、正方形的判定和多边形的外角和以及正多边形和圆，判断即可．

【详解】解∶ A、五边形的外角和是，故原说法错误；

B、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故原说法错误；

C、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，故原说法错误；

D、圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，故原说法正确；

故选∶D．

【点睛】考查了三角形外心、正方形的判定和多边形的外角和，解题的关键是了解三角形外心、正方形的判定和多边形的外角和等知识，难度不大．

8．B

【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．

【详解】解：由题意得，x+1=2，y-2=-1．

∴x=1，y=1．

故选：B．

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义解决此题．

9．D

【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.

设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m，

∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，

∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴，

∵2OB=3OA，∴BD=m,OD=n，

因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=2，

∵点B在反比例函数y=kx的图象上,B点的坐标是(−n , m)，

∴k=−n⋅m=−mn=−.

故选D.

10．B

【详解】解析动点P的运动过程，采用定量解析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论：

不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：

（1）当点P在A→B段运动时，PB=1－t，（0≤t＜1）；

（2）当点P在B→A段运动时，PB=t－1，（1≤t≤2）．

综上所述，，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．

故选：B．

11．且

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件．

【详解】要使在实数范围内有意义，

必须且．

故答案为x≥-1且x≠2

【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件．

12．

【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同．

【详解】由一次函数图像得，当y>3时，，

则y=kx+b>3的解集是．

【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．

13．

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．

【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．

故答案为6π．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14．

【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次根的判别式可得出即，解出即可得出结果．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

即

故答案为：

【点睛】本题主要考查了一元二次根的判别式判定方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．

15．

【分析】连接，先证明，得，再利用勾股定理构造方程即可得解．

【详解】解：连接，

∵将矩形绕点逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点，和三点共线，，，

∴，，，,

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴即

解得，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，矩形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，矩形的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．

16．

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．

【详解】解：

得：，

解得：，

将代入①得：，

解得：，

∴原方程组的解为：．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．

17．原式=x－2；当x=3时，原式=1．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值．

【详解】解：原式=•=•=x﹣2，

当x=3时，原式=3﹣2=1．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．

18．(1)作图见解析；

(2)菱形，理由见解析

【分析】（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线即可；

（2）证△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由OA=OC，得四边形AFCE为平行四边形，然后由EF⊥AC，即可得出结论．

【详解】（1）解：连接AC，如图，直线EF即为所求作：

；

（2）解：四边形AFCE是菱形．理由如下：

证明：∵AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

由作图知：EF垂直平分AC，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

∵EF垂直平分AC，

∴平行四边形AFCE是菱形．

【点睛】本题考查了作图-基本作图、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据的正切值求解即可；

（2）连接．首先证明出四边形为矩形，进而得到，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】（1）∵，

∴．

答：连接水管的长为．

（2）如图，连接．

∵，

∴四边形为平行四边形．

∵，

∴四边形为矩形，

∴．

∵，

∴，

∴．

答：水盆两边缘C，D之间的距离为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．

20．(1)A款保温杯的售价为40元，B款保温杯的售价为50元

(2)进货40个A款保温杯，80个B款保温杯

【分析】（1）设A款保温杯销售单价为x元，则B款保温杯销售单价为元，可得：，即可解得A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为元；

（2）由已知B款保温杯销售价为元，设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯个，总利润为W元，根据A款保温杯的数量不少干B款促温杯数量的一半可得，即知，又，根据一次函数性质即可得到答案．

【详解】（1）解：设A款保温杯销售单价为x元，则B款保温杯销售单价为元，

根据题意得：，

解得，

经检验，是原方程的解且符合题意，

∴，

答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；

（2）解：由已知B款保温杯销售价为(元)，

设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯个，总利润为W元，

∵，且，

∴，

根据题意得：，

∵，

∴W随m的增大而减小，

∴时，W最大，最大值为，

此时1，

答：购进A款保温杯40个，购进B款保温杯80个，才能使这批保温杯的销售利润最大．

【点睛】本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证；

（2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴，

∵E是的中点，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴四边形是矩形；

（2）解：如图，

∵，，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

在中，由勾股定理得，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，解得，

∴的长为．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

22．(1)见解析

(2)①;②．

【分析】（1）如图，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论；

（2）①如图，过作于点，证明，则，得；

②先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴是的切线；

（2）解：①线段与之间满足的数量关系是：，

理由如下：

如图，连接,过作于点，

∴，

∵，且，

∴，

∵为公共边，

∴（），

∴，

∴；

②∵,,,

∴,

∵，

∴，由①得：，

∴，

设，则，

在中，，

∴，

解得：，即，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵四边形为的内接四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形、垂直的定义、全等三角形的判定、勾股定理及相似三角形性的判定与性质，熟练掌握并运用是解题关键

23．(1)

(2)当时，S有最大值为，

(3)或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求得点D、B坐标，再求得直线的解析式，设，轴于点H，则，再利用坐标与图形得到四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；

（3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的性质分和，结合坐标与图形求解即可．

【详解】（1）解：由题意，将，代入抛物线解析式，

得 ，解得，

∴抛物线解析式为 ；

（2）解：由 ，可知对称轴为直线 ，∴，

令，则，

解得

∴，

设直线的解析式为,

将B、C点坐标代入得，解得，

∴直线的解析式为，

设，轴于点H，则，

∴梯形的面积，

的面积，

的面积，

∴四边形的面积，

又∵F在抛物线上

∴将代入S得，

∵S是关于x的二次函数，，

∴当时，S有最大值为，

此时E点的横坐标，

∵E点在直线上，

∴ ，

∴；

（3）解：∵，，

∴，

当时，点P坐标为或；

当时，点P的坐标为，

综上，满足条件的P点坐标为或或．

【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．