2023年吉林省长春市九台区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市九台区中考三模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市九台区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数，，0，－2中，最大的数是（    ）
A． B． C．0 D．－2
2．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口成功举办，本届冬奥会的运动员达到2892人，历史规模第二．数据2892用科学记数法表示应是（    ）
A． B． C． D．
3．某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（    ）

A．圆柱 B．长方体 C．四棱锥 D．五棱锥
4．不等式3x﹣1≥5x＋1的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆的长可表示为（    ）

A． B．米 C．米 D．米
6．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为　  　

A．75° B．80° C．100° D．110°
7．如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（    ）
  
A．7 B．8 C．14 D．16
8．如图，中，，，它的面积为6，AO与x轴的夹角为30°，双曲线经过点A，则k的值为（）

A． B． C． D．

二、填空题
9．分解因式：______________．
10．已知一个正n边形的每个内角都为120°，则_____．
11．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.

12．如图，在等腰直角三角形中，于点O，中线与相交于点F，则的值为________．

13．如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F，若，则对角线BD的长为______．

14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．


三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势，“天宫课”第三课已于2022年3月23日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
(1)该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率＝______________；
(2)小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到相同实验的概率．
17．在抗击“新型冠状病毒”期间，某车间接受到一种抗疫物资的加工任务，该任务由甲、乙两人来完成，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.2倍，现两人各加工600件这种物资，甲比乙少用2天，求甲，乙两人每天各加工多少件这种物资？
18．如图，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分．

(1)证明：是的切线；
(2)若，，则的长为______________．
19．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于10次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成A、B、C、D四组，并绘制了如下统计图表：
等级
次数
频数
A

4
B

12
C

14
D

m
请结合上述信息完成下列问题：
(1)________，__________；
(2)上述样本数据的中位数落在__________组；
(3)若A组学生一分钟跳绳的平均次数为110次，B组学生一分钟跳绳的平均次数为130次，C组学生一分钟跳绳的平均次数为150次，D组学生一分钟跳绳的平均次数为190次，请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少？
20．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．

(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使＝；
(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC＝；
(3)在图③中，画出一个四边形ACBD，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为，C、D为格点．
21．某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资180吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因故停止，1天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的，甲、乙运输队调运物资的数量y（吨）与甲工作时间x（天）的函数图象如图所示．

(1)a＝_______；b＝_______．
(2)求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y（吨）与工作时间x（天）的函数关系式；
(3)直接写出乙完成运输工作前，甲、乙运输队运输的物资相等时x的值．
22．【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．
  
【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
  
（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．
求证：①是的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
23．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P在上（点P与点C不重合），做点C关于直线的对称点，连接、．
  
(1)线段的长为______________．
(2)设到的距离为h，求h的最大值．
(3)当是锐角三角形时，求的取值范围．
(4)当直线与的一条边平行时，直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当点在此抛物线上，且抛物线在时，随的增大而减小，求的值：
(3)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象
①当点在轴上方，图象的最高点到两坐标轴的距离和为，图象的最低点到轴的距离为，当时，求的值．
②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连结，当和图象有公共点时，直接写出的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】用0大于负数而小于正数，两个负数绝对值大的反而小的法则判断．
【详解】解：∵，
∴实数，，0，－2中，最大的数是．
故选B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解决问题的关键是熟练掌握实数的大小比较的法则．
2．C
【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．
【详解】解：2892用科学记数法表示应是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，把一个数表示成的形式，其中，解题的关键是确定n的值，用科学记数法表示绝对值大于1的数时，n的值比整数位数少1．
3．C
【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【详解】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记常见立体图形的平面展开图的特征．
4．A
【分析】先求出一元一次不等式的解，然后再数轴上表示出来即可得出选项．
【详解】解：3x﹣1≥5x＋1

，
在数轴表示为：
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式及在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式及在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键．
5．C
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，然后根据中点的定义可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵点C是的中点，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6．D
【分析】由题意结合三角形内角和易求出、，再根据四边形内角和即可求出的大小，最后根据对顶角相等即可求出的大小．
【详解】∵
∴，
，
在四边形CDFE中，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形的内角和．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
7．A
【分析】过点E作于H，由图可知是的平分线，利用角平分线的性质得，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于H，如图，
  
由题中作图可知：是的平分线，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积公式．熟练掌握尺规作角平分线和角平分线的性质是解题的关键．
8．D
【分析】过点A作AH⊥x轴，先证明△BAO∽△AHO，再求得△AHO的面积，即可求出k．
【详解】解：过点A作AH⊥x轴，

∵中，，，
∴∠AOB=30°，
∵AO与x轴的夹角为30°，
∴∠AOH=30°，
∴，
∵∠BAO=∠AHO=90°，
∴△BAO∽△AHO，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∵双曲线在第二、四象限，
∴k=-9，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．6
【分析】根据正多边形每个内角相等、每个外角相等的性质及多边形外角和定理即可求得边数．
【详解】解：∵正n边形的每个内角都为120°，
∴正n边形的每个外角，
∴多边形边数．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角的性质，多边形的外角和定理，掌握这些性质与定理是关键．
11．
【分析】设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
12．
【分析】由等腰直角三角形的性质得到点是的中点，即可得到，然后由中线得到点是的中点，进而得到点是的重心，从而得到，最后得到的值．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
是斜边上的中线，
，
是的中线，
点是的重心，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心的性质．
13．6
【分析】连接AC交BD于H，证明，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，

由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴（AAS），
∴DH=DF=3，
∴DB=2DH=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
14．40米
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，进而可得的长．
【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：

∴，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：40米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．解题的关键在于建立二次函数模型．体现了数形结合的思想．
15．，
【分析】先根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：原式

．
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与化简求值，实数的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖抽到不同实验的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小明随机抽取的实验是“D．太空抛物实验”的概率是，
（2）解：画树状图如下：
    
由图可知共有16种等可能的结果，其中小明和小颖抽到相同实验的结果有4种，
∴P（小丽和小雨抽到相同实验）．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．甲每天加工60件这种物资，乙每天加工50件这种物资．
【分析】设乙每天加工件，则甲每天加工件，由题意：现两人各加工600件这种物资，甲比乙少用2天，列出分式方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设乙每天加工件，则甲每天加工件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲每天加工60件这种物资，乙每天加工50件这种物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线；
（2）由是的直径，可法度得半径，由，可得，从而求得，然后由弧长公式可求解．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
又，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴的长．
【点睛】本题考查切线的判定，弧长计算，熟练掌握切线的判定定理和弧长公式是解题的关键．
19．(1)10；30%；
(2)C；
(3)估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是150次．

【分析】（1）由A组的频数和A组所占的比例可得调查总人数，进而得出m、n的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）调查总人数为：4÷10%=40（人），
∴m=40-4-12-14=10（人），n=1-10%-25%-35%=30%，
故答案为：10；30%；
（2）由题意可知，样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）×（4×110+12×130+14×150+10×190）
=×6000
=150（次），
答：估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是150次．
【点睛】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据相似三角形的性质得出点E，使＝；
（2）作出等腰直角三角形ABC即可满足cos∠BAC＝；
（3）根据中心对称的性质和轴对称的性质在图3中，画出矩形ACBD，邻边之比为，C，D为格点即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求；

（2）如图所示，即为所求；

（3）如图所示即为所求作

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．
21．(1)4，10
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意可以求，的值．
（2）设解析式为且过，，用待定系数法可求解析式．
（3）联立求解即可．
【详解】（1）解：甲运输队工作3天后因故停止，1天后重新开始工作

甲运输的工作效率降低到原来的，
原来3天调运90吨，现在需6天调运90吨．
，
故答案为：4，10；
（2）解：设函数关系式为，
图象过，，
，
解得：，
解析式；
（3）由题意得：乙运输队调运物资的数量（吨与工作时间（天的函数关系式：，
联立，
当甲、乙运输队运输的物资相等时，
，
解得：，
甲、乙运输队运输的物资相等时x的值为6．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式．
22．（1）①见解析②
（2）
【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可；
②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果．
【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：
  
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
是的中点；
②在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：
  
过点作 交于点，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，，
设，则，
在中，，
，，
即，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4) 或或

【分析】（1）直接由勾股定理求解即可；
（2）当时，则h最大，据此求解即可；
（3）根据是锐角三角形时，则是锐角三角形，求出当时，；当时，，即可求解；
（4）①当时，1）当在左侧时，2）当在左侧时；②当时；分别求解即可．
【详解】（1）解：∴∠ACB＝90°，AC＝1，，
∴根据勾股定理，得．
（2）解：当动点P在BC上，做点C关于直线PD的对称点时，点在以点D为圆心，为半径的圆上，所以当时，到AC的距离最大，即h最大，所以延长交于E，当时，则h最大，最大值为，
  
∵点D为AB的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵点C关于直线的对称点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：是锐角三角形时，则是锐角三角形，
当时，
∵点D为AB的中点，
∴
∴
∵，
∴
∴
当时，
∵
∴点P上的中点，
∴
∴的取值范围是．
（4）解：①当时，1）当在左侧时，如图，过点D作于E，延长交于F，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
由轴对称可得：，，
设，则，，
由勾股定理，得，
解得（舍去），；
∴；
2）当在左侧时，如图，过点D作于E，于F，
  
同理可得，，，
由轴对称得，，
设，则，
∴，
由勾股定理，得，
解得：（舍去），；
②当时，
  
∵
∴，
由轴对称得，
∴
∵
∴
∴，
∴．
综上，当直线与的一条边平行时， 的长为 或或．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，本题属轴对称综合题目，是中考试压轴题，熟练掌握相关性质及判定是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)①或
②，

【分析】（1）根据函数对称轴和与轴交点可直接得到结论；
（2）把点代入得，解得，，然后根据时，随的增大而减小，所以，即可得求解．
（3）①∵点在轴上方，当时，图象的最高点，得，图象的最低点，得，根据求解得（舍）；当时，同理求解得（舍）；
②当时，即，则点E在点D上方，根据临界点求得可得当和图象有公共点时，则；当时，，则点E在点D下方，根据临界点求得当和图象有公共点时，．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，
∴，
∴．
∵抛物线（为常数）与轴交点坐标为
∴．
∴此抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：∵点在此抛物线上，
∴，解得，．
∵时，随的增大而减小，
∴，
∴．
（3）解：令，则，
解得：，，
∵
∴抛物线线顶点坐标为，
①∵点在轴上方，
当时，图象的最高点，
∴，
图象的最低点，
∵，
∴，
∴
∵
，
解得（舍），
当时，同理，
解得（舍），
综上或．
②∵点在点的左侧，
∴，
∴，
I）当时，即，则点E在点D上方，如图，

令，则，
解得：，，
令，则
解得：，，
由可得当和图象有公共点时，则，
II）当时，，则点E在点D下方，如图，

此时F坐标为，把代入，得
，
解得：，（舍去），
当经过点B时，此时，
把代入，得，
解得：（舍去），
∴当和图象有公共点时，．
综上，当和图象有公共点时， 的取值范围为或．
【点睛】本题考查抛物线对称轴和与y轴交点，抛物线的图象性质，抛物线图象与线段交点问题，熟练掌握抛物线图象与性质是解题的关键，注意分类讨论．