江苏省徐州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2022～2023学年度第二学期期末抽测

高一年级数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（    ）

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

2.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（    ）

A.    B.    C.     D.

3.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A.若，，则    B.若m，n与所成的角相等，则

C.若，，则    D.若，，，则

4.有一组样本数据，，，…，，其平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d.由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，则新样本数据的（    ）

A.样本平均数为2a      B.样本中位数为2b

C.样本方差为4c       D.样本极差为

5.已知向量，的夹角为，若，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

6已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.己知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ）

A.    B.   C.   D.

8.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知，则的取值范围是（    ）

A.  B.   C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.设，是复数，则下列说法正确的是（    ）

A.若是纯虚数，则    B.若，则

C.若，则     D.若，则名

10.有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ）

A.A，B相互独立  B.B，D相互独立  C.A，D相互独立  D.C，D相互独立

11.如图，在等腰直角三角形ABC中，，，设点，，，是线段BC的五等分点，则（    ）

A.

B.

C.

D.的最小值为

12.如图，在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为线段的中点，则在翻折过程中，（    ）

A.异面直线CN与所成的角为定值

B.存在某个位置使得

C.点C始终在三棱锥外接球的外部

D.当二面角为60°时，三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为______.

14.已知，，则的值为______.

15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，与的平分线交于点O，则的值为______.

16.在正四棱柱中，己知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知向量，.

（1）若，求；

（2）若，求.

18.（12分）

如图，四棱锥的底面为梯形，，，底面ABCD，平面平面PCD，点E在棱PD上，且.

（1）证明：平面PAB；

（2）证明：.

19.（12分）

近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.

（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.

（i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；

（ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.

20.（12分）

每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p，q.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.

（1）若，求甲恰好胜出一轮的概率；

（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为会.

（i）求p，q，的值；

（ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.

21.（12分）

在①，②，③的面积

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.

（1）求角C；

（2）若点D在边AB上，且，，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

22.（12分）

如图，在三棱锥中，底面BCD是边长为2的正三角形，平面BCD，点E在棱BC上，且，其中.

（1）若二面角为30°，求AB的长；

（2）若，求DE与平面ACD所成角的正弦值的取值范围.

2022～2023学年度第二学期期末抽测高一数学参考答案与评分标准

一、选择题：

1.D  2.B  3.D  4.C  5.A  6.C  7.B  8.C

二、选择题：

9.ACD  10.BC  11.BCD  12.AC

三、填空题：

13.36  14.  15.  16.，（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：

17.（1）因为，所以，

当时，不成立，则，从而，………………………………2分

故.………………………………4分

（2）因为，所以，

即，故，………………………………6分

从而.

当时，不成立，则，故，…………………………8分

所以.……………………………10分

18.（1）在平面PAD中，过E作交PA于点F，连接BF，

因为，所以.……………………………2分

又，所以.又，所以，

所以四边形BCEF为平行四边形.

所以，……………………………4分

又平面PAB，平面PAB，

所以平面PAB.……………………………6分

（2）因为底面ABCD，平面ABCD，

所以.……………………………7分

在平面PAC中，过点A作，交PC于点Q，

因为平面平面PCD，平面PAC，平面平面，

所以平面PCD.又平面PCD，所以.……………………………10分

又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.

又平面PAC，所以.……………………………12分

19.（1），，

所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家.……………………………3分

（2）（i）根据题意可得，解得，……………………………5分

设中位数为x，因为，，

所以，解得，

所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元.……………………………7分

平均数为，

所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.……………………………9分

（ii），

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256.……………………………12分

20.设“甲在第一轮竞赛中胜出”， “甲在第二轮竞赛中胜出”，

“乙在第一轮竞赛中胜出”，“乙在第二轮竞赛中胜出”，

则，，，相互独立，且，，，.

（1）设“甲恰好胜出一轮”，则，，互斥。

当时，……………………………1分

.

所以当，甲恰好胜出一轮的概率为.……………………………3分

（2）记“甲、乙各胜出一轮”，“甲、乙都获得优秀”，

所以，.

因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，

所以

，……………………………5分

，……………………………6分

则，解得，或，此解不成立.

综上，，……………………………8分

（3）设“甲获得优秀”，“乙获得优秀”，

于是“两人中至少有一人获得优秀”，

且，，

所以，，……………………………10分

所以.

故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为.……………………………12分

21.（1）若选择①，

因为，结合余弦定理，

得，即，……………………………2分

由正弦定理可得，所以，又，所以，

所以，即，又，所以.……………………………4分

若选择②.

因为，结合正弦定理可得，

即，

，

即，

又，，故，即，……………………………2分

所以，，

因为，，所以，得.……………………………4分

若选择③.

条件即，又，，

所以，……………………………2分

即，所以，又，则，

所以，又，所以.……………………………4分

（2）设，则.

因为，，故，

所以，………………………6分

在中，由正弦定理可得，即，

在中，同理可得，，…………………………8分

因为，所以，即，………………………10分

整理得，即.………………………12分

22.（1）取CD中点F，连结BF，AF.

因为为等边三角形，所以.………………………1分

因为平面BCD，BC，平面BCD，

所以，，又因为，

所以，

因为F为CD中点，所以.

因此为二面角的平面角，………………………3分

所以.

所以在直角三角形ABF中，.………………………5分

（2）因为平面BCD，所以.

在中，，

所以.所以.

设E到平面ACD的距离为d，

所以，所以.

因为，所以，解得.………………………8分

在中，由余弦定理得，

所以.

设DE与平面ACD所成角为.

则………………………10分

令.则.

因为，所以，所以，

所以DE与平面ACD所成角的正弦值的取值范围是.………………………12分