2023年湖南省郴州市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，能由图形通过平移得到的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列几何体中，各自的三视图完全一样的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列问题适合全面调查的是(    )

A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C. 了解郴江河的水质情况
D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

6.  一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  小王从地开车去地，两地相距原计划平均速度为，实际平均速度提高了，结果提前小时到达由此可建立方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  第届中国湖南矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午：开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是(    )

A. 途中修车花了
B. 修车之前的平均速度是
C. 车修好后的平均速度是
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  计算 ______ ．

10.  在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是______ 任写一个符合条件的数即可．

11.  在一个不透明的袋子中装有个白球和个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是______ ．

12.  已知抛物线与轴有且只有一个交点，则 ______ ．

13.  为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评某参赛队歌曲内容获得分，演唱技巧获得分，精神面貌获得分则该参赛队的最终成绩是______ 分

14.  如图，在中，，，，点是的中点，求 ______ ．

15.  如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器______ 台

16.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是______ 结果用含的式子表示．

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从、、、、五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
请把图中缺失的数据，图形补充完整；
请计算图中研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
若该校共有名学生，请估计最喜欢去地研学的学生人数．

 

20.  本小题分
如图，四边形是平行四边形．
尺规作图；作对角线的垂直平分线保留作图痕迹；
若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形．

21.  本小题分
某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，浏得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离参考数据：，结果精确到．

22.  本小题分
随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．
求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人？

23.  本小题分
如图，在中，是直径，点是圆上一点在的延长线上取一点，连接，使．
求证：直线是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积结果用含的式子表示．

24.  本小题分
在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘固定中放置一个物体，在右边托盘可左右移动中放置一个可以装水的容器，容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：

把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．

请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
观察函数图象，并结合表中的数据：
猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
求关于的函数表达式；
当时，随的增大而______ 填“增大”或“减小”，随的增大而______ 填“增大”或“减小”，的图象可以由的图象向______ 以“上”或“下”或“左”或“右”平移得到．
若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．

25.  本小题分
已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
如图，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
如图，当点在线段的延长线上时，
线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
如图，连接设，若，求四边形的面积．

 

26.  本小题分
已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．

求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
如图，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数：乘积是的两数互为倒数，进而得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，
观察图形可知，选项B中图形是由图形通过平移得到，
，，均不能由图形通过平移得到，
故选：．
根据平移的定义逐个判断即可．
本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项中，，结论正确；
选项中，，故B选项结论错误；
选项中，，故C选项结论错误；
选项中，，故D选项结论错误；
故选：．
根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式及多项式的运算，熟练掌握完全平方公式及多项式的运算方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
B.圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C.圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D.球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
 

5.【答案】 

【解析】解：调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B.了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
C.了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D.神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；
故选：．
由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设原计划平均速度为，
由题意得，，
故选：．
设原计划平均速度为，实际平均速度为，根据走过相同的距离时间缩短了小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，途中修车时间是：到：共花了，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是，
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是，
故C不符合题意；
，
车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍，
故D符合题意，
故选：．
根据图象即可判断选项，根据“路程时间速度”即可判断和选项，进一步可判断选项．
本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
如果，那么叫做的立方根．记作：，由此即可得到答案．
本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：在一次函数的图象中，随的增大而增大，
，
解得：．
值可以为．
故答案为：答案不唯一．
由随的增大而增大，利用一次函数的性质可得出，解之即可得出的值，再取其内的任意一值即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，
从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．
故选：．
从袋子中随机摸出个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
方程有唯一解．
即，
解得：．
故答案为：．
利用判别式即可得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点知识，明确决定抛物线与轴的交点个数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，，，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
由勾股定理可求解的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
所对弧所对的圆心角是，
，
最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
故答案为：．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是，则共需安装台．
此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
 

16.【答案】 

【解析】解：以为圆心作圆弧，如图所示，在中，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
点的运动路径长为．
故答案为：．
根据旋转的性质得到点的运动路径是圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．
解：本题考查了轨迹，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
最喜欢去地的人数为：人，
补全条形统计图如下：

研学活动地点所在扇形的圆心角的度数为：；
名，
答：估计最喜欢去地研学的学生人数约名． 

【解析】用的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去地的人数；
用乘“”所占比例可以求得“”部分所占圆心角的度数；
用乘样本中所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：如图，直线即为所求；

证明：设与交于点由作图可知，垂直平分线段，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据要求作出图形；
根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
 

21.【答案】解：由题意得，海里，，，
过作于，
，
，
海里，
，
解得，
答：该船在航行过程中与小岛的最近距离为海里． 

【解析】由题意得，海里，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形应用方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

22.【答案】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得：，不合题意舍去，
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
设月份后天日均接待游客人数是万人，
由题意可得：，
解得：，
答：月份后天日均接待游客人数最多是万人． 

【解析】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由月份游客人数为万人，月份游客人数为万人，列出方程可求解；
设月份后天日均接待游客人数是万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

是直径，
，
，，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线．
解：，，
，
，
在中，，，
，解得，
阴影部分的面积． 

【解析】连接，由是直径，可得，再证，从而有，即可证明．
由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．
本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
 

24.【答案】减小  减小  下 

【解析】解：作出关于的函数图象如下：

观察表格可知，是的反比例函数，
设，把代入得：，
，
关于的函数表达式是；
，
；
；
观察图象可得，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
，，
，
，
．
描点作出图象即可；
用待定系数法可得关于的函数表达式；
由与关系，结合可得答案；
观察图象可得答案；
根据可得关于的不等式，可解得的范围．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

25.【答案】解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，

是等边三角形，
，，
，
，，，
为等边三角形，
，
，，
，，
又，
≌，
；
成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，

是等边三角形，
，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，，
，，
又，
≌，
；
 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，

由知：为等边三角形，≌，
，
为等边三角形，，，
，，，
≌，
，，
≌，
，，
，
，
，
设，，则：，，
，
，
∽，
，
即：，
 联立可得：负值已舍去，
经检验是原方程的根，
，，，
，
，
，
，
四边形的面积为． 

【解析】由“”可证≌，得到；
由“”可证≌，得到；
根据已知条件推出，得到，证明∽，得到，可以的长，由面积的和差关系可求解．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．
 

26.【答案】解：抛物线与轴相交于点，，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
由知，当时，，

，抛物线的对称轴为直线，
的周长等于，为定长，
当的值最小时，的周长最小，
，关于抛物线的对称轴对称，
，当，，三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，，
；
存在，
为的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
当点在点上方时：过点作，交抛物线于点，则：，此时点纵坐标为，

设点横坐标为，则：，解得：，
或；
当点在点下方时：设与轴交于点，

则：，
设，则：，，
，
解得：，
，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
，
联立，
解得：或，
或；
综上所述，或或或． 

【解析】由待定系数法求出函数解析式即可；
根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到，关于对称轴对称，则：，得到当，，三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．