2023年黑龙江省绥化市中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省绥化市中考数学适应性试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省绥化市中考数学适应性试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个有理数的倒数是它本身，这个数是(    )
A. 0 B. 1 C. −1 D. 1或−1
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. 2 12=1 B. 2 3×3 3=6 3
C. (−a)3⋅a2=−a5 D. (2a2)3=6a6
4. 下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是(    )
A. B. C. D.
5. 下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的函数是(    )
A. y= x−2 B. y= 2x−1 C. y=1 x−2 D. y=1 2x−1
6. 下列命题是真命题的是(    )
A. 相等的角是对顶角 B. 两直线与第三条直线相交，同位角相等
C. 任意多边形的外角和为360° D. 对角线相等的四边形是矩形
7. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为．(    )





A. 3 2 B. 5 C. 4 D. 31
8. 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(    )
A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 方差
9. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是(    )
A. 110x+2=100x B. 110x=100x+2 C. 110x−2=100x D. 110x=100x−2
10. 一次函数y=ax+b(a≠0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(−2,0)，则下列结论中，正确的是(    )
A. b=2a+k
B. a=b+k
C. a>b>0
D. a>k>0
11. 早晨，小张去公园晨练，右图是他离家的距离y(千米)与时间x(分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是(    )

A. 小张去时所用的时间多于回家所用的时间 B. 小张在公园锻炼了20分钟
C. 小张去时的速度大于回家的速度 D. 小张去时走上坡路，回家时走下坡路
12. 在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM=α(0°<α<90°)，给出下列四个结论：
①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN−AM=2；
④S△EMN=2cos2α．
上述结论中正确的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
13. 从一个不透明的口袋中任意摸出一球是白球的概率为16，已知袋中白球有3个，则袋中球的总数是______ 个．
14. 因式分解：x2−9y2=        ．
15. 不等式组x+12≤11−2x<4的整数解是______．
16. 将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分(阴影)的量角器圆弧(AB)对应的中心角(∠AOB)为120°，AO的长为4cm，则图中阴影部分的面积为______ ．

17. 以方程2x2−x−4=0的两根的倒数为根的一元二次方程是______ ．
18. 平面直角坐标系中有两点M(a,b)，N(c,d)，规定(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)，则称点Q(a+c,b+d)为点M，N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”.现有点A(3,6)，B(−1,4)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是______ ．
19. 如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白=______．


20. “双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在网上购买价格为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有______ 种.
21. 如图所示，将形状和大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则1a1+1a2+1a3+…+1a10的值为______．


22. 在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=60cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为______cm．

三、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题7.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．
(1)用尺规在线段AC上找一点E，连接BE，使BE+CE=AC(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)BC=2，试求BE的长．

24. (本小题8.0分)
如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2，上的两点，某人在A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上测得∠DEB=60°，求C，D两点间的距离．

25. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A(4,3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
(1)求函数y=kx+b和y=ax的表达式；
(2)已知点C(0,5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．

26. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
(1)求证：△CDE≌△CBF；
(2)当DE=12时，求CG的长；
(3)连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．

27. (本小题10.0分)
如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
(1)试说明CE是⊙O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当12CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

28. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=12x2+2x与x轴相交于点O，B，顶点，连接OA．
(1)点A的坐标和∠AOB的度数；
(2)将抛物线y=12x2+2x向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线其顶点为C.连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′，试判断其形状，说明理由；
(3)(2)的情况下，判断点C′是否在抛物线y=12x2+2x上，请说明理由；
(4)P为x轴上的一个动点，在抛物线M上是否存在点Q，使以O，P，C，Q为顶点的四边形平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1，
故选：D．
根据倒数的定义可知如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．
此题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．

2.【答案】A 
【解析】解：选项B、C、D都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项A不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．

3.【答案】C 
【解析】解：A.2 12=2× 22= 2，故此选项不合题意；
B.2 3×3 3=18，故此选项不合题意；
C.(−a)3⋅a2=−a5，故此选项符合题意；
D.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、是三棱锥的展开图，故不是；
C、是四棱锥的展开图，故不是；
D、两底在同一侧，也不符合题意．
故选：A．
根据三棱柱的展开图的特点作答．
熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：A、x−2≥0，即x≥2；
B、2x−1≥0，即x≥12；
C、x−2>0，即x>2；
D、x>12．
故选C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0分别求范围，再判断．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

6.【答案】C 
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两平行直线与第三条直线相交，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、任意多边形的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
利用对顶角的定义、平行线的性质、多边形的外角和定理及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．

7.【答案】B 
【解析】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°−30°=60°，
∴∠ACD=90°−60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴AO=CO=12AB=12×6=3，AB⊥CO，
∵DC=7，
∴D1C=DC=7，
∴D1O=7−3=4，
在Rt△AOD1中，AD1= AO2+D1O2= 32+42=5．
故选：B．
先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．

8.【答案】C 
【解析】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．
故选C．
15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

9.【答案】A 
【解析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为(x+2)千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，
则甲骑自行车的平均速度为(x+2)千米/时，
由题意得：110x+2=100x．
故选：A．

10.【答案】D 
【解析】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为(−2,0)，
∴−2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a>0，
∴b>0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k>0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k>0，
∴2a+k>2a，即b<2a+k．
故A选项错误；
B、∵k>0，b=2a，
∴b+k>b，
即b+k>2a，
∴a=b+k不成立．
故B选项错误；
C、∵a>0，b=2a，
∴b>a>0．
故C选项错误；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=kx(k≠0)图象知，当x=−b2a=−2a2a=−1时，y=−k>−b24a=−4a24a=−a，即k ∵a>0，k>0，
∴a>k>0．
故D选项正确；
故选：D．
根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．

11.【答案】C 
【解析】解：如图，
A、小张去时所用的时间为6分钟，回家所用的时间为10分钟，故选项错误；
B、小张在公园锻炼了20−6=14分钟，故选项错误；
C、小张去时的速度为1÷660=10千米每小时，回家的速度的为1÷1060=6千米每小时，故选项正确；
D、据(1)小张去时走下坡路，回家时走上坡路，故选项错误．
故选：C．
根据图象可以得到小张去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据C的速度可以判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．

12.【答案】C 
【解析】解：①如图，

在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
∠AEM=∠FENAE=EF∠MAE=∠NFE，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴①错误，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正确，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN−AM=BC−CN−AM=BC−BM−AM=BC−(BM+AM)=BC−AB=4−2=2，
∴③正确，
④方法一：如图，

由①得，CN=CF−FN=2−AM，AE=12AD=2，AM=FN
∵tanα=AMAE，
∴AM=AEtanα
∵cosα=AEME=AE AE2+AM2，
∴cos2α=AE2AE2+AM2，
∴1cos2α=1+AM2AE2=1+(AMAE)2=1+tan2α，
∴2cos2α=2(1+tan2α)
∴S△EMN=S四边形ABNE−S△AME−S△MBN
=12(AE+BN)×AB−12AE×AM−12BN×BM
=12(AE+BC−CN)×2−12AE×AM−12(BC−CN)×CN
=12(AE+BC−CF+FN)×2−12AE×AM−12(BC−2+AM)(2−AM)
=AE+BC−CF+AM−12AE×AM−12(2+AM)(2−AM)
=AE+AM−12AE×AM+12AM2
=AE+AEtanα−12AE2tanα+12AE2tan2α
=2+2tanα−2tanα+2tan2α
=2(1+tan2α)
=2cos2α．
方法二，∵E是AD的中点，
∴AE=12AD=2，
在Rt△AEM，cosα=AEEM，
∴EM=AEcosα=2cosα，
由(1)知，Rt△AME≌Rt△FNE，
∴EM=EN，∠AEM=∠FEN，
∵∠AEF=90°，
∴∠MEN=90°，
∴△MEN是等腰直角三角形，
∴S△MEN=12EM2=2cos2α．
∴④正确．
故选C．
①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．
②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；
③经过简单的计算得到BN−AM=BC−CN−AM=BC−BM−AM=BC−(BM+AM)=BC−AB=4−2=2，
④方法一：用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．方法二：先判断出△EMN是等腰直角三角形，再用面积公式即可．
此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．

13.【答案】18 
【解析】解：袋中球的总数是3÷16=18(个)．
根据白球的概率利用概率公式计算出袋中球的总个数即可．
球的总数=某颜色球的个数÷相应的概率．

14.【答案】(x+3y)(x−3y) 
【解析】解：原式=(x+3y)(x−3y)．
故答案为：(x+3y)(x−3y)．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

15.【答案】−1，0，1 
【解析】解：x+12≤1…①1−2x<4…②，
解①得：x≤1，
解②得：x>−32
则不等式组的解集是：−32 则整数解是：−1，0，1．
故答案是：−1，0，1．
首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可．
本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键．

16.【答案】(16π3+2 3)cm2 
【解析】解：∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
∵AO=4cm，
∴BO=4cm，
在Rt△OBC中，OC=2cm，BC=2 3cm；
故阴影部分的面积=120×π×42360+2×2 3÷2=(16π3+2 3)cm2，
故答案为：(16π3+2 3)cm2．
根据题意，可得阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△BOC的面积，代入数据计算可得答案．
考查了扇形面积的计算，解决本题的关键是把阴影部分合理分割为规则图形的面积．

17.【答案】4x2+x−2=0 
【解析】解：设方程2x2−x−4=0的两根分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b=12，ab=−2，
∵1a+1b=a+bab=12−2=−14，
1a⋅1b=1ab=1−2=−12，
∴以1a和1b为根的一元二次方程可为x2+14x−12=0，
即4x2+x−2=0．
故答案为：4x2+x−2=0．
设方程2x2−x−4=0的两根分别为a、b，则根据根与系数的关系得a+b=12，ab=−2，则可计算出1a+1b=−14，1a⋅1b=−12，然后写出以1a和1b为根的一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．

18.【答案】(2,10)或(−4,−2)或(4,2) 
【解析】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，
①当C为A、B的“和点”时，C点的坐标为(3−1,6+4)，即C(2,10)；
②当B为A、C的“和点”时，设C点的坐标为(x1,y1)，
则−1=3+x14=6+y1，解得C(−4,−2)；
③当A为B、C的“和点”时，设C点的坐标为(x2,y2)，
则3=x2−16=4+y2，解得C(4,2)；
∴点C的坐标为(2,10)或(−4,−2)或(4,2)．
故答案为：(2,10)或(−4,−2)或(4,2)．
以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，分3种情况讨论：①C为点A、B的“和点”；②B为A、C的“和点”；③A为B、C的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．
本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．

19.【答案】5 
【解析】解法一：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为12a， 32a，
∴S空白=12a⋅ 32a= 34a2，
∵AB=a，
∴OC= 32a，
∴S正六边形=6×12a⋅ 32a=3 32a2，
∴S阴影=S正六边形−S空白=3 32a2− 34a2=5 34a2，
∴S阴影S空白=5 34a2 34a2=5，
解法二：割补(如下图)
，则可以很直观的看出S阴影/S空白=5
故答案为5．
先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．

20.【答案】4 
【解析】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，
依题意得：80x+120y=1000，
整理，得
y=25−2x3．
因为x是正整数，
所以当x=2时，y=7．
当x=5时，y=5．
当x=8时，y=3．
当x=11时，y=1．
即有4种购买方案．
故答案为：4．
设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．
本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．

21.【答案】175264 
【解析】解：由图可得，
第1幅图中，“●”的个数为a1=1+2=3，
第2幅图中，“●”的个数为a2=1+2+3+2=8，
第3幅图中，“●”的个数为a3=1+2+3+4+2+3=15，
第4幅图中，“●”的个数为a4=1+2+3+4+5+2+3+4=24，
…
第n幅图中，“●”的个数为an=1+2+3+…+(n+1)+2+3+4+…+n=(n+1)2−1，
∴1a1+1a2+1a3+…+1a10=13+18+115+…+1112−1
=11×3+12×4+13×5+…+110×12
=12×(1−13+12−14+13−15+…+110−112)
=12×(1+12−111−112)
=12×175132
=175264，
故答案为：175264．
根据题目中的图形可以写出前几个图形中“●”的个数，从而可以发现“●”的个数的变化规律，进而求得所求式子的值．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“●”的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】160 33或80 
【解析】解：∵∠A=90°，∠C=30°，AC=60cm，
∴AB=20 3，∠ABC=60°，
由折叠可知：△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=30°，BE=AB=20 3，
∴DE=20，BD=40，
如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF=BF=40 33，
∴平行四边形的周长=160 33，
如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE=EG=20，
∴平行四边形的周长=80，
综上所述：平行四边形的周长为160 33或80，
故答案为：160 33或80．
解直角三角形得到AB=20 3，∠ABC=60°，根据折叠的性质得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC=30°，BE=AB=20 3，求得DE=20，BD=40，如图1，平行四边形的边是DF，BF，如图2，平行四边形的边是DE，EG，于是得到结论．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．

23.【答案】解：(1)如图：点E即为所求；
(2)∵∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=4，
由作图得：EF垂直平分AB，∴BE=12AB=2． 
【解析】(1)作AB的垂直平分线与AC的交点即为所求；
(2)根据直角三角形的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的性质是解题的关键．

24.【答案】解：过点D作DF⊥l2，垂足为F，

∵∠DEB=60°，∠DAB=30°，
∴∠ADE=∠DEB−∠DAB=30°，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE=AE=20，
在Rt△DEF中，EF=DE⋅cos60°=20×12=10，
∵DF⊥AF，
∴∠DFB=90°，
∴AC//DF，
由已知l1//l2，
∴CD//AF，
∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=30，
答：C、D两点间的距离为30m． 
【解析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=20，进而求出EF的长，再得出四边形ACDF为矩形，则CD=AF=AE+EF求出答案．
此题主要考查了两点之间的距离以及等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，得出EF的长是解题关键．

25.【答案】解：(1)把点A(4,3)代入函数y=ax得：a=3×4=12，
∴反比例函数表达式为y=12x．
OA= 32+42=5，
∵OA=OB，
∴OB=5，
又∵点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为(0,−5)，
把B(0,−5)，A(4,3)代入y=kx+b得：
b=−54k+b=3
解得：k=2b=−5
∴一次函数的表达式为y=2x−5；
(2)如图，

∵点C(0,5)，B(0,−5)，
∴OB=OC，
∴x轴是线段BC的垂直平分线，
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴点M在x轴上，
又∵点M同时在一次函数y=2x−5上，
∴令y=0，则2x−5=0，解得x=52，
∴点M的坐标为(52,0)． 
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
(1)利用待定系数法即可解答；
(2)根据MB=MC，OB=OC=5判断点M在x轴上，再由点M同时在一次函数y=2x−5图象上即可解答．

26.【答案】解：(1)如图，

在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°−∠ABC=90°=∠D，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，
∠D=∠CBFDC=BC∠1=∠3，
∴△CDE≌△CBF．
(2)在正方形ABCD中，AD//BC，AB=BC=AD=1，
∴△GBF∽△EAF，
∴BGAE=BFAF，
由(1)知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=12，
∵正方形的边长为1，
∴AF=AB+BF=32，AE=AD−DE=12，
∴BG12=1232，
∴BG=16，
∴CG=BC−BG=56；
(3)不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE//CG，AE=CG，
∴AD−AE=BC−CG，
∴DE=BG，
由(1)知，△CDE≌△CBF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形． 
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，解(1)的关键是判定∠1=∠3，解(2)的关键是判断出△GBF∽△EAF，解(3)的关键是判断出∠CFA=90°．
(1)先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；
(2)先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
(3)假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．

27.【答案】解：(1)连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC⋅sin∠COH，
∴h=OC⋅sin60°= 32OC，
∴OC=2h 3=2 33h，
∴AB=2OC=4 33h；

(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，

则∠AOF=∠COF=12∠AOC=12(180°−60°)=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC⋅sin∠DCH=DC⋅sin30°=12DC，
∴12CD+OD=DH+FD．
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD(即12CD+OD)最小，
此时FH=OF⋅sin∠FOH= 32OF=6，
则OF=4 3，AB=2OF=8 3．
∴当12CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8 3． 
【解析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把12CD+OD转化为DH+FD是解决第(3)小题的关键．
(1)连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；
(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H，易得DH=12DC，从而有12CD+OD=DH+FD.根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD(即12CD+OD)最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

28.【答案】解：(1)∵由y=12x2+2x得，y=12(x+2)2−2，
∴抛物线的顶点A的坐标为(−2,−2)，
令12x2+2x=0，解得x1=0，x2=−4，
∴点B的坐标为(−4,0)，
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为(−2,−2)，点D的坐标为(−2,0)，
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

(2)四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为12，且过顶点C的坐标是(2,−4)，
∴抛物线的解析式为：y=12(x−2)2−4，即y=12x2−2x−2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交于点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE−EF=2，
∴OC= OE2+EC2= 22+42=2 5，
同理，AC=2 5，OC=AC，
由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．

(3)如图1，点C′不在抛物线y=12x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE//OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=CE=4，C′G=OE=2，
∴点C′的坐标为(−4,2)，
把x=−4代入抛物线y=12x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=12x2+2x上；

(4)存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q(a,12(a−2)2−4)，
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴12(a−2)2−4−42=0，解得a1=6，a2=−2(当a=−2时Q点坐标为(−2,4)，此时C，Q，O三点在同一条直线上)，
∴点Q的坐标为(6,4)． 
【解析】(1)由y=12x2+2x得，y=12(x+2)2−2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令12x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；
(2)由题意可知抛物线m的二次项系数为12，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交于点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论；
(3)过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE//OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=−4代入抛物线y=12x2+2x进行检验即可得出结论；
(4)由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q(a,12(a−2)2−4)，由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．